江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第13周阶段性训练模拟练习【含答案】

江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第13周阶段性训练模拟练习一．选择题（共4小题）1．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（）A．0 B． C． D．22．如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（）A．7 B．8 C．9 D．103．如图，将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，MN为折痕．若，的值为（）A． B． C． D．4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC＝1：2，DF＝6，则EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共11小题）5．若两个相似三角形面积之比为16：9，则它们的对应中线之比为．6．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），BC＝4，则线段AC的长为．7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AE是⊙O的直径，连接BE，若AE⊥BC，∠ADC＝2∠AEB，则∠ABC＝°．8．在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为．10．如图，PA，PB与⊙O相切于点A，B，若⊙O的半径为6，∠APB＝60°，则弦AB与所围成的图形的面积是．11．已知二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（﹣2，1），则函数y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣2的图象经过的定点坐标为．12．如图，正五边形ABCDE的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中△AFG是黄金三角形（底边与腰的比为的等腰三角形）．若△AFG的面积为1，则正五角星的面积为．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0），函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣101234…y…10y12125…当y＜y1时，自变量x的取值范围是．14．如图，在四边形ABCD中，BC、CD、DA分别与⊙O相切于B、E、A三点，AB为⊙O的直径．若BC＝4cm，AD＝3cm，则⊙O的半径为cm．15．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，点P为AB上动点，点Q在AB的延长线上，且BP＝2BQ，CP、DQ相交于点E．当点P从点A运动到点B时，点E运动的路线长度为cm．三．解答题（共5小题）16．已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．17．已知直线y1＝2x﹣2与抛物线y2＝ax2+ax﹣2a（a为非0常数）．（1）求证：直线与抛物线总有公共点；（2）无论x为何值，总有y1≤y2，结合图象，直接写出a的值或取值范围．18．为了归纳“相似三角形对应线段的比等于相似比”，我们探索过相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比，那么相似三角形的内切圆半径的比呢？已知：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，△ABC的内切圆⊙O与AB相切于点D，△A'B'C'的内切圆⊙O'与A'B'相切于点D'，求证：＝k．19．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD互相垂直，垂足为E，以CE，BE为邻边作矩形CEBF，其对角线FE的延长线交AD于点G．（1）求证：∠D＝∠CFE．（2）若EG＝3.6，EF＝10，①求CE的长；②求⊙O的半径．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，3），（1，﹣1）两点．（1）求b的值；（2）求证该二次函数的图象与x轴的总有两个公共点；（3）设该函数图象与x轴的两个公共点分别为（m，0）、（n，0）．当mn＜0时，直接写出a的取值范围．

参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数），∴顶点坐标为（a，﹣a2+b）．又∵A（2，0），B（0，2），∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+2．∵二次函数图象的顶点在线段AB上，∴﹣a2+b＝﹣a+2，且0≤a≤2，则b＝a2﹣a+2＝（）2+，∴当a＝时，b有最小值为．故选：C．2．【解答】解：连接OP，过P作弦AB⊥OP，此时AB是过P的最短的弦，∴AB＝2AP，∵圆的半径为5，OP＝3，∴AP＝＝＝4，∴AB＝8，∵过P的最长的弦是圆的直径是10，∴8≤经过点P的弦的长≤10，∴经过点P的弦的长度不可能是7．故选：A．3．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，由折叠可知：△AMN与△DMN关于MN对称，∴AM＝DM，AN＝DN，∠A＝∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠CDN＝120°，∵∠BDM+∠BMD＝120°，∴∠BMD＝∠CDN，∵∠B＝∠C，∴△BDM∽△CND，∴＝＝，∵，设BD＝x，∴CD＝2x，∴BC＝AB＝AC＝3x，设AM＝DM＝k，∴BM＝3x﹣k，∴＝，∴CN＝，∴＝，∴DN＝，∵DN+CN＝AN+CN＝AC＝3x，∴+＝3x，∴k＝x，∴DN＝＝x，∴＝＝×＝，故选：C．4．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵DF＝6，∴，∴EF＝4，故选：C．二．填空题（共11小题）5．【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，两个相似三角形的面积之比为16：9，∴它们对应边上的中线之比为4：3．故答案为：4：3．6．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），BC＝4，∴＝，∴AC＝2﹣2，故答案为：2﹣2．7．【解答】解：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥BC，∴∠BFE＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠AEB，∵∠ADC＝2∠AEB，∴∠ADC＝2∠ABC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，即3∠ABC＝180°，∴∠ABC＝60°．故答案为：60．8．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∵AB＝2CD，∴CD＝2，∵函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线x＝1，∴C（0，0），D（2，0），∴平移后抛物线的解析式为y＝x（x﹣2），即y＝x2﹣2x．故答案为：y＝x2﹣2x．9．【解答】解：过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，∵DE与⊙O相切，设切点为M，∴ME＝HE，MD＝GD，∵△CDE的周长是4，CG+CH＝4，∴CG＝CH＝2，设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，∴（x+y）2＝（x+2）2+（y+2）2，化简得xy＝2（x+y）+4①，∵△ABC的面积是30，∴BC•AC＝30，∴（x+2）（y+2）＝60，∴xy＝60﹣2（x+y）②，由①②得x+y＝13，∴AB＝13．故答案为：13．10．【解答】解：连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，∴AB＝2AH，∵PA，PB与⊙O相切于点A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝×（180°﹣120°）＝30°，∴OH＝OA＝×6＝3，∴AH＝OH＝3，∴AB＝2AH＝6，∴△AOB的面积＝AB•OH＝×6×3＝9，∵扇形OAB的面积＝＝12π，∴弦AB与所围成的图形的面积＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积＝12π﹣9．故答案为：12π﹣9．11．【解答】解：∵y＝ax2+bx＝x（ax+b），∴二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（0，0），将二次函数y＝ax2+bx的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣2，∵二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（0，0），（﹣2，1），∴函数y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣2的图象经过的定点坐标为（1，﹣2），（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1），（1，﹣2）．12．【解答】解：如图，连接GH，GM，由对称性可知，AF＝BF＝BH，FG＝FH，S△AFG＝S△GHM＝1，∵△AFG是黄金三角形，即＝，∴＝＝，∵S△AFG＝1，∴S△FGH＝，∴S阴影部分＝6S△AFG+2S△FGH＝6+﹣1＝5+．故答案为：5+．13．【解答】解：由题意得，抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2，开口向上，∴当x＝0时的函数值与x＝4时的函数值相等，∴当y＜y1时，自变量x的取值范围是0＜x＜4，故答案为：0＜x＜4．14．【解答】解：过D作DH⊥BC于H，∵BC、CD、DA分别与⊙O相切于B、E、A三点，∴DE＝AD＝3cm，CE＝BC＝4cm，直径AB⊥AD，直径AB⊥BC，∴四边形ABHD是矩形，∴DH＝AB，BH＝AD＝3cm，∴CH＝BC﹣BH＝4﹣3＝1（cm），∵DC＝DE+CE＝3+4＝7（cm），∴DH＝＝4（cm），∴AB＝4（cm），∵AB为⊙O的直径，∴⊙O的半径为2cm．故答案为：2．15．【解答】解：当点P在点A处时，如图，，∵BP＝2BQ，BP＝3cm，∴BQ＝1.5cm，当点P运动到点B时，如图，，所以点E运动的路线EE′，如图，，过E作EF⊥AQ，交AQ于点F，即∠AFE＝∠EFQ＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AD＝3cm，在Rt△ABC中，AC＝＝3cm，∵∠AFE＝∠ABC＝90°，∠CAB＝∠EAF，∴△EAF∽△CAB，∴＝，∵AB＝BC，∴EF＝AF，设EF＝xcm，则BF＝（3﹣x）cm，QF＝（4.5﹣x）cm，∵∠EQF＝∠DQA，∠EFQ＝∠DAQ＝90°，∴△EQF∽△DQA，∴，即，解得：x＝，∴EF＝cm，E′F＝BF＝cm，在Rt△EFE′中，EE′＝＝＝（cm），故答案为：．三．解答题（共5小题）16．【解答】（1）证明：方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0中，∵a＝1，b＝﹣（2m+2），c＝m2+2m，∴Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4＞0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程有一个根为1，∴12﹣（2m+2）×1+m2+2m＝0，即m2﹣1＝0，∴m＝±1．17．【解答】解：（1）证明：令y1＝y2，得2x﹣2＝ax2+ax﹣2a，整理得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0．∵Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）＝a2﹣4a+4+8a2﹣8a＝9a2﹣12a+4＝（3a﹣2）2≥0，∴该一元二次方程总有实数根，即直线与抛物线总有公共点．（2）解：抛物线y2＝ax2+ax﹣2a的对称轴为直线x＝＝﹣，令y2＝0，得x1＝1，x2＝﹣2，∴抛物线y2＝ax2+ax﹣2a与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣2，0）．根据题意画出草图如下：∴a＞0，抛物线y2＝ax2+ax﹣2a与直线y1＝2x﹣2没有交点或只有一个交点，令y1＝y2，可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0，则Δ＝b2﹣4ac＝（3a﹣2）2≤0，∴3a﹣2＝0，解得a＝．18．【解答】证明：连接OA，OB，OA′，OB'，∵△ABC的内切圆⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB．同理O'D'⊥A'B'；∵△ABC∽△A'B'C'；，相似比为k，∴∠CAB＝∠C'A'B'；∠CBA＝∠CBA′，＝k，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，即，，同理∠O′A′D′＝∠C′A′B′，∠O′B′A′＝∠C′B′A′，∴∠OAD＝∠O′A′D，∠OBA＝∠O'B'A'，∴△OAB∽△O′A′B′，∵OD，O'D'为对应高，∴＝＝k．19．【解答】（1）证明：连接BC，如图，∵四边形CEBF为矩形，∴EF＝BC，FC＝BE，在△BCE和△FEC中，，∴△BCE≌△FEC（SSS），∴∠CBE＝∠CFE，∵∠CBE＝∠D，∴∠D＝∠CFE；（2）解：①∵∠D＝∠CFE，∠DEG＝∠CEF，∴△DEG∽△FEC，∴＝，∵直径AB⊥CD，∴CE＝DE，∴CE2＝EF•EG＝36，解得CE＝6或CE＝﹣6（舍去），即CE的长为6；②∵AB⊥CD，∴∠CEB＝90°，∵BC＝EF＝10，∴EB＝＝＝8，∵∠D＝∠CBE，∠A＝∠BCE，∴△DEA∽△BEC，∴＝，∴AE＝＝，∴AB＝AE+BE＝+8＝，∴⊙O的半径为．20．【解答】解：（1）由题意，∵二次函数图象经过（