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文档简介
2023届辽宁省盘锦市高三下第一次阶段性检测试题数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.偶函数关于点对称,当时,,求()A. B. C. D.2.已知集合,则集合真子集的个数为()A.3 B.4 C.7 D.83.下列说法正确的是()A.“若,则”的否命题是“若,则”B.在中,“”是“”成立的必要不充分条件C.“若,则”是真命题D.存在,使得成立4.已知函数,若对任意,都有成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中,已知点,,若动点满足,则的取值范围是()A. B.C. D.6.已知为非零向量,“”为“”的()A.充分不必要条件 B.充分必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.小明有3本作业本,小波有4本作业本,将这7本作业本混放在-起,小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为()A. B. C. D.9.已知函数fx=sinωx+π6+A.16,13 B.110.已知抛物线和点,直线与抛物线交于不同两点,,直线与抛物线交于另一点.给出以下判断:①直线与直线的斜率乘积为;②轴;③以为直径的圆与抛物线准线相切.其中,所有正确判断的序号是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③11.已知,,那么是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.若复数满足(是虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.展开式中的系数的和大于8而小于32,则______.14.将函数的图象向左平移个单位长度,得到一个偶函数图象,则________.15.已知两个单位向量满足,则向量与的夹角为_____________.16.已知,,分别为内角,,的对边,,,,则的面积为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(m为参数),以坐标点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=1.(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;(2)已知点M(2,0),若直线l与曲线C相交于P、Q两点,求的值.18.(12分)已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知函数.(1)求函数的零点;(2)设函数的图象与函数的图象交于,两点,求证:;(3)若,且不等式对一切正实数x恒成立,求k的取值范围.20.(12分)已知数列是等差数列,前项和为,且,.(1)求.(2)设,求数列的前项和.21.(12分)某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展,灯光展涉及到10000盏灯,每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为,并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长(单位:),得到下面的频数表:亮灯时长/频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.(1)试估计的值;(2)设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.①求的数学期望和方差;②若随机变量满足,则认为.假设当时,灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计,在一场灯光展中,处于最佳灯光亮度的时长(结果保留为整数).附:①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商;②若,则,,.22.(10分)设,函数.(1)当时,求在内的极值;(2)设函数,当有两个极值点时,总有,求实数的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
推导出函数是以为周期的周期函数,由此可得出,代值计算即可.【详解】由于偶函数的图象关于点对称,则,,,则,所以,函数是以为周期的周期函数,由于当时,,则.故选:D.【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值,推导出函数的周期性是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.2.C【解析】
解出集合,再由含有个元素的集合,其真子集的个数为个可得答案.【详解】解:由,得所以集合的真子集个数为个.故选:C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用,含有个元素的集合,其真子集的个数为个,属于基础题.3.C【解析】
A:否命题既否条件又否结论,故A错.B:由正弦定理和边角关系可判断B错.C:可判断其逆否命题的真假,C正确.D:根据幂函数的性质判断D错.【详解】解:A:“若,则”的否命题是“若,则”,故A错.B:在中,,故“”是“”成立的必要充分条件,故B错.C:“若,则”“若,则”,故C正确.D:由幂函数在递减,故D错.故选:C【点睛】考查判断命题的真假,是基础题.4.D【解析】
先将所求问题转化为对任意恒成立,即得图象恒在函数图象的上方,再利用数形结合即可解决.【详解】由得,由题意函数得图象恒在函数图象的上方,作出函数的图象如图所示过原点作函数的切线,设切点为,则,解得,所以切线斜率为,所以,解得.故选:D.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用,考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想,是一道中档题.5.D【解析】
设出的坐标为,依据题目条件,求出点的轨迹方程,写出点的参数方程,则,根据余弦函数自身的范围,可求得结果.【详解】设,则∵,∴∴∴为点的轨迹方程∴点的参数方程为(为参数)则由向量的坐标表达式有:又∵∴故选:D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力,熟练掌握代数式转换,能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积,属于中档题.求解轨迹方程的方法有:①直接法;②定义法;③相关点法;④参数法;⑤待定系数法6.B【解析】
由数量积的定义可得,为实数,则由可得,根据共线的性质,可判断;再根据判断,由等价法即可判断两命题的关系.【详解】若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以;若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.所以“”为“”的充分必要条件.故选:B【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.7.A【解析】
试题分析:由题意可得:.共轭复数为,故选A.考点:1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系8.A【解析】
利用计算即可,其中表示事件A所包含的基本事件个数,为基本事件总数.【详解】从7本作业本中任取两本共有种不同的结果,其中,小明取到的均是自己的作业本有种不同结果,由古典概型的概率计算公式,小明取到的均是自己的作业本的概率为.故选:A.【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.9.A【解析】
将fx整理为3sinωx+π3,根据x的范围可求得ωx+π3∈π【详解】f当x∈0,π时,又f0=3sin由fx在0,π上的值域为32解得:ω∈本题正确选项:A【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题,关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限,从而得到关于参数的不等式.10.B【解析】
由题意,可设直线的方程为,利用韦达定理判断第一个结论;将代入抛物线的方程可得,,从而,,进而判断第二个结论;设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,进而判断第三个结论.【详解】解:由题意,可设直线的方程为,代入抛物线的方程,有.设点,的坐标分别为,,则,.所.则直线与直线的斜率乘积为.所以①正确.将代入抛物线的方程可得,,从而,,根据抛物线的对称性可知,,两点关于轴对称,所以直线轴.所以②正确.如图,设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,则.所以③不正确.故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题.11.B【解析】
由,可得,解出即可判断出结论.【详解】解:因为,且.,解得.是的必要不充分条件.故选:.【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.12.A【解析】
由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.4【解析】
由题意可得项的系数与二项式系数是相等的,利用题意,得出不等式组,求得结果.【详解】观察式子可知,,故答案为:4.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题,涉及到的知识点有展开式中项的系数和,属于基础题目.14.【解析】
根据平移后关于轴对称可知关于对称,进而利用特殊值构造方程,从而求得结果.【详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象,即关于轴对称关于对称即:本题正确结果:【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题,关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴,进而利用特殊值的方式来进行求解.15.【解析】
由得,即得解.【详解】由题意可知,则.解得,所以,向量与的夹角为.故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.【解析】
根据题意,利用余弦定理求得,再运用三角形的面积公式即可求得结果.【详解】解:由于,,,∵,∴,,由余弦定理得,解得,∴的面积.故答案为:.【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式,考查计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)l:,C方程为;(2)=【解析】
(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.【详解】(1)曲线C的参数方程为(m为参数),两式相加得到,进一步转换为.直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=1,则转换为直角坐标方程为.(2)将直线的方程转换为参数方程为(t为参数),代入得到(t1和t2为P、Q对应的参数),所以,,所以=.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.18.(1)(2)【解析】
(1)当时,,当或时,,所以可转化为,解得,所以不等式的解集为.(2)因为,所以,所以,即,即.当时,因为,所以,不符合题意.当时,解可得,因为当时,不等式恒成立,所以,所以,解得,所以实数的取值范围为.19.(1)x=1(2)证明见解析(3)【解析】
(1)令,根据导函数确定函数的单调区间,求出极小值,进而求解;(2)转化思想,要证,即证,即证,构造函数进而求证;(3)不等式对一切正实数恒成立,,设,分类讨论进而求解.【详解】解:(1)令,所以,当时,,在上单调递增;当时,,在单调递减;所以,所以的零点为.(2)由题意,,要证,即证,即证,令,则,由(1)知,当且仅当时等号成立,所以,即,所以原不等式成立.(3)不等式对一切正实数恒成立,,设,,记,△,①当△时,即时,恒成立,故单调递增.于是当时,,又,故,当时,,又,故,又当时,,因此,当时,,②当△,即时,设的两个不等实根分别为,,又,于是,故当时,,从而在单调递减;当时,,此时,于是,即舍去,综上,的取值范围是.【点睛】(1)考查函数求导,根据导函数确定函数的单调性,零点;(2)考查转化思想,构造函数求极值;(3)考查分类讨论思想,函数的单调性,函数的求导;属于难题.20.(1)(2)【解析】
(1)由数列是等差数列,所以,解得,又由,解得,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)得,利用乘公比错位相减,即可求解数列的前n项和.【详解】(1)由题意,数列是等差数列,所以,又,,由,得,所以,解得,所以数列的通项公式为.(2)由(1)得,,,两式相减得,,即.【点睛】本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用,此类题目是数列问题中的常见题型,解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是在“错位”之后求和时,弄错等比数列的项数,能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.21.(1)(2)①,,②72【解析】
(1)将每组数据的组中值乘以对应的频率,然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数,将此平均数除以(个小时),即可得到的估计值;(2)①利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解;②先根据条件计算出的取值范围,然后根据并结合正态分布概率的对称
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