《电路与信号》课件模块5

模块5基本信号及信号的运算5.1基本信号

5.2信号的运算

本模块小结习题5 5.1基本信号

5.1.1指数信号

1.实指数信号

实指数信号的表达式为

f(t)=Eeat

(5.1.1)

式中,a为实数。f(t)的波形与a的大小有关，如图5.1.1所示。

指数衰减信号在t＜0时函数值为零，称为单边指数衰减信号，其表示式为

其波形如图5.1.2所示。在电路瞬态分析中该信号用得较多。(5.1.2)图5.1.1指数信号图5.1.2单边指数衰减信号

2.复指数信号

当式(5.1.1)中的实指数因子a变为一复数s时，函数变为复指数信号，其表示式为

f(t)=Eest

(5.1.3)

式中，s=σ+jω。根据欧拉公式：

ejωt=cos(ωt)+jsin(ωt)

可知，复指数信号又可以表示为

f(t)=Ee(σ+jω)t=Eeσtcos(ωt)+jEeσtsin(ωt)

(5.1.4)5.1.2单位斜变信号

单位斜变信号是指从某一时刻开始随时间正比例增长的信号，如果增长的变化率是1，就称为单位斜变信号，通常用R(t)表示，其波形如图5.1.3(a)所示，其表示式为

如果将起点移至t0处，则其波形如图5.1.3(b)所示，称为R(t)的时移信号，表示式为(5.1.5)(5.1.6)图5.1.3单位斜变信号5.1.3单位阶跃信号

1.单位阶跃信号的定义式

单位阶跃信号简称为阶跃信号，通常用ε(t)表示，其波形如图5.1.4(a)所示，表示式为

在t=0时刻，函数未定义，可根据实际的物理意义，定义ε(t)在t=0处的函数值为0、1、1/2等。(5.1.7)图5.1.4单位阶跃信号单位阶跃信号的物理意义是：当ε(t)为电路的电源时，相当于该电路在t=0时刻接入单位直流电源，且不再变化，其示意图如图5.1.5所示。图5.1.5

ε(t)的物理意义图5.1.4(b)、(c)分别表示将ε(t)右移至t0位置和左移至－t0位置所形成的图形，它们的函数表达式分别是

ε(t－t0)和ε(t+t0)均称为ε(t)的时移信号。(5.1.9)(5.1.8)

2.单位阶跃信号的性质

单位阶跃信号具有截取信号的能力。所谓截取信号的能力，是指任一信号f(t)与单位阶跃信号ε(t)的乘积f(t)ε(t)所表示的信号是f(t)中t>0的部分。同理，f(t)ε(t－t0)表示的信号是f(t)中t>t0的部分。

对实际问题中的信号，在确定时间以后或在有限的时间范围内，利用阶跃信号幅度值为1的特点，就可以将这些信号用单位阶跃信号及其时移信号来表示信号存在的时间范围。

例如，单边指数衰减信号可表示为

f(t)=Ee－atε(t)

(5.1.10)单位斜变信号可表示为

R(t)=tε(t)

(5.1.11)

比较式(5.1.10)和式(5.1.11)与式(5.1.2)和式(5.1.5)即可看出，这种表示法比分段表示的函数形式简便得多。

应注意单边指数衰减信号、单位斜变信号图像与图5.1.6所示的函数图的区别。图5.1.6指数衰减函数和正比例函数又如，一般的正弦信号是定义在全时间范围内的(见图5.1.7(a))，即

f(t)=sin(ωt)

(－∞<t<∞)

(5.1.12)

(1)取t>0以后的正弦信号(见图5.1.7(b))，即

f(t)=sin(ωt)

(t>0)

(5.1.13)

即可用ε(t)去限制它的时间区间，表示为

f1(t)=sin(ωt)ε(t)

(5.1.14)

(2)取t≥t0以后的正弦信号(见图5.1.7(c))，用ε(t)可表示为

f2(t)=sin(ωt)ε(t－t0)

(5.1.15)图5.1.7存在于不同区间的正弦信号

3.由阶跃信号组成的门信号

门信号是另一个重要的信号，常用Gτ(t)表示，其波形如图5.1.8所示，它是宽度为τ、幅度为1的矩形脉冲，且门信号的宽度的位置是可以任意选定的。

图5.1.8所示的门信号的表示式为(5.1.16)(5.1.17)图5.1.8门信号

【例5.1.1】分别用门信号和阶跃信号表示图5.1.9所示的信号。

解：f1(t)=2［ε(t+1)－ε(t)］+ε(t)－ε(t－2)=2ε(t+1)－ε(t)－ε(t－2)

因T=4π， ，故图5.1.9例5.1.1图5.1.4单位冲激信号

1．δ(t)函数的定义式

冲激函数的定义方式有多种，现给出它的工程定义式：

单位冲激信号的波形如图5.1.10(a)所示。(5.1.18)图5.1.10冲激信号冲激函数的另一种定义式是通过对某些满足一定条件的规则信号取广义极限而建立起来的。例如，选取图5.1.11所示的矩形脉冲f(t)，该脉冲的宽度为τ，幅度为，面积为1。如果减小脉宽τ，则脉冲幅度必增大，但面积仍为1。当τ趋于零时，必趋于无穷大，但面积恒等于1不变。这个矩形脉冲在τ→0时的极限就是单位冲激信号δ(t)。它的数学表达式为(5.1.19)图5.1.11冲激函数的另一种定义

2.冲激信号的主要性质

单位冲激信号不同于其他常见的信号，它有几个性质比较突出。

(1)如果f(t)是一个在t=0或t=t0点连续且处处有界的函数，则有

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

(5.1.20)

f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)

(5.1.21)

(2)冲激函数的抽样性(也称筛选性)如下：(5.1.22)(5.1.23)

(3)冲激函数是偶函数,即

δ(t)=δ(－t)

(5.1.24)

(4)冲激函数与阶跃函数的关系如下：(5.1.25)(5.1.26)(5.1.27)

【例5.1.2】完成下列运算。

(1)(t2－t+1)δ(t+1)；

(2)e－t［δ(t)－δ(t－1)］；

解：(1)(t2－t+1)δ(t+1)=3δ(t+1)

(2)e－t［δ(t)－δ(t－1)］=δ(t)－e－1δ(t－1)(3)；(4)。(3)(4)

【例5.1.3】已知信号f(t)的波形如图5.1.12所示，试求出f(t)、f'(t)的表达式，并画出导函数f'(t)的波形图。

解：

f1(t)=ε(t)－ε(t－1)+t［ε(t－1)－ε(t－2)］

f'1(t)=δ(t)－δ(t－1)+ε(t－1)－ε(t－2)+t［δ(t－1)

－δ(t－2)］

=δ(t)+(t－1)δ(t－1)－tδ(t－2)+ε(t－1)－ε(t－2)

=δ(t)－2δ(t－2)+ε(t－1)－ε(t－2)图5.1.12例5.1.3图一这里的计算使用了公式f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)和 、 ，得

(t－1)δ(t－1)=0

－tδ(t－2)=－2δ(t－2)

又因 ， ，所以

f2(t)=2［ε(t)－ε(t－1)］+ε(t－1)－ε(t－2)

f'2(t)=2［δ(t)－δ(t－1)］+δ(t－1)－δ(t－2)

=2δ(t)－δ(t－1)－δ(t－2)

可见，f'2(t)是由3个冲激信号组成的。

f'1(t)、f'2(t)的波形图如图5.1.13所示。图5.1.13例5.1.3图二由图5.1.12和图5.1.13可归纳出另一种求导函数f'(t)的更为简捷的方法，具体步骤如下(以f1(t)为例)：

(1)因

所以

(2)若已知在函数f(t)不连续点处的跳变值，则导函数f'(t)在该点是一个强度等于这个跳变值的冲激信号。

因此，函数f1(t)在不连续点t=0处，f1(t)的跳变值是1，则该处的导函数f'1(t)是一个强度为1的冲激信号δ(t)；在不连续点t=2处，f1(t)的跳变值是－2，则该处的导函数f'1(t)是一个强度为－2的冲激信号－2δ(t－2)。

综合以上两步骤得知，导函数f'1(t)是由一个门信号和两个冲激信号组成的,因此不难画出f'1(t)的波形图如图5.1.13(a)所示。5.1.5正负号信号

正负号函数又称符号函数，用sgn(t)表示，其表示式为

该函数的波形图如图5.1.14(a)所示。

图5.1.14(b)、(c)的表示式是

f1(t)=Esgn(t)

(5.1.29)

f2(t)=sgn(t+t0)

(5.1.30)(5.1.28)

5.2信号的运算

5.2.1信号的和、积、微分与积分运算

1.信号的和、积运算

信号的和与积运算的方法是：信号在同一瞬间的函数值之和(积)等于和(积)信号在该瞬间的函数值。这一运算比较简单，易于理解。

2.信号的微分与积分运算

信号的微分运算f'(t)已在5.1节例5.1.3中作了详细的说明。应该特别注意的是，在不连续点处的微分是一个强度为跳变量大小的冲激函数。信号的积分运算定义为： ，表示从－∞到t时间内对函数f(t)的积分，t为任一时刻，是一变量。

【例5.2.1】已知f(t)的波形如图5.2.1(a)所示，试求出信号的微分运算f'(t)和信号的积分运算 ，并作出函数f'(t)和f－1(t)的波形图。图5.2.1例5.2.1图

解：(1)微分运算。因为在1<t<2时，f'(t)=0，而t=1时，函数f(t)不连续，其跳变量为1，所以在t=1处，导函数f'(t)有一个冲激强度为1的冲激函数δ(t－1)。在t=2处，函数f(t)也不连续，其跳变量为－1，所以在t=2处，导函数f'(t)有一个冲激强度为-1的冲激函数δ(t－2)。

总结以上几点，可将导函数f'(t)的波形图画出，如图5.2.1(b)所示。

(2)积分运算。因为在t<1时，f(t)=0，所以因为在1<t<2时，f(t)=1，所以

因为在t>2时，f(t)=0,所以

总结以上几点，可将导函数f－1(t)的波形图画出，如图5.2.1(c)所示。5.2.2信号的时移、反折、尺度运算

1.信号的时移运算

信号的时移运算是指将信号f(t)表达式中的t用t±t0替换，成为f(t±t0)(t0>0)，同时f(t)定义域中的t也要被t±t0替换，新信号f(t±t0)称为原信号f(t)的时移信号。例如，图5.1.3(b)所示的R(t－t0)，图5.1.4(b)、(c)所示的ε(t－t0)和ε(t+t0)，图5.1.10(b)、(d)所示的δ(t－t0)和Bδ(t－t0)，图5.1.14(c)所示的sgn(t+t0)，均为时移信号。

由以上波形图可知，f(t+t0)的波形比f(t)的波形在时间上超前t0，即f(t+t0)的波形是f(t)的波形沿时间轴向左平移t0；f(t－t0)的波形比f(t)的波形在时间上滞后t0，即f(t－t0)的波形是f(t)的波形沿时间轴向右平移t0。

2.信号的反折运算

信号的反折运算是指将信号f(t)的表达式以及定义域中的所有自变量t用－t替换，成为f(－t)，新信号f(－t)称为原信号f(t)的反折信号。

信号的反折运算的方法是：将f(t)的波形图沿纵轴进行折叠(即左、右翻转180°)，就得到了反折信号f(－t)。

例如，ε(－t)的波形图如图5.2.2所示。图5.2.2反折运算

【例5.2.2】已知函数f(t)的波形图如图5.2.3(a)所示，试作出函数f(－t)的波形图。

解：按照反折运算的方法，画出f(t)的反折运算f(－t)的波形图如图5.2.3(b)所示。

信号的时移运算和反折运算经常是一起应用的，此时，建议读者按照先时移、后反折的顺序运算，这样不易出现错误。图5.2.3例5.2.2图

【例5.2.3】已知f(t)的波形图如图5.2.3(a)所示，试作出f(1－t)的波形图。

解：将f(t)先进行时移运算，f(t)变成了f(t+1)，如图5.2.4(a)所示，然后进行反折运算，则f(t+1)变成了f(1－t)，如图5.2.4(b)所示。图5.2.4例5.2.3图

3.信号的尺度运算

信号的尺度运算就是将信号f(t)转换成新信号f(at)的过程，即用新的时间变量at(a≠0)替换f(t)中的时间变量t后，所得到的新信号就是f(at)。f(at)就是f(t)经过尺度运算后的信号。

【例5.2.4】设信号f(t)的波形如图5.2.5(a)所示，其数学表达式为

试作出f(2t)、f(t/2)的波形图。图5.2.5例5.2.4图

解：(1)以新的时间变量2t替换f(t)中的时间变量t，可得到

据此画出f(2t)的波形图如图5.2.5(b)所示。

(2)以新的时间变量替换f(t)中的时间变量t，可得到

据此画出f(t/2)的波形图如图5.2.5(c)所示。

【例5.2.5】已知f(t)的波形如图5.2.3(a)所示，试作出f(1－2t)的波形图。

解：此例是含有尺度、时移、反折三种运算的综合题目。建议读者按下列顺序来进行运算：先时移，后反折，再尺度。这样不易出现时移错误，即按下列顺序进行：

f(t)→f(t+1)→f(1－t)→f(1－2t)

例5.2.3已将f(t+1)、f(1－t)的波形图画出，根据f(1－t)的波形图，对其进行尺度运算，即可得到f(1－2t)的波形图，如图5.2.6所示。图5.2.6例5.2.5图

本模块小结

1.基本信号

本模块重点介绍了常见信号的定义式、波形、特性以及信号的基本运算，包括指数信号、单位斜变信号、单位阶跃信号、门信号、单位冲激信号和正负号信号等。

单位阶跃信号和门信号均有截取信号的能力，可以用单位阶跃信号及其时移信号和门信号来表示信号存在的时间范围。

单位冲激信号的工程定义式为单位冲激信号具有以下性质：

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)

2．信号运算

(1)信号的和、积运算：两信号逐点逐段相加(乘)作为和(积)信号在该处的函数值。

(2)微分运算：先对f(t)求导，然后求在不连续点处的导函数，这是一个强度为跳变量大小的冲激函数。

(3)积分运算：表示从－∞到t时间内对函数f(t)积分。t为任一时刻，是一变量。

(4)时移运算：将f(t)波形沿横轴向右(左)平移t0就得到了f(t－t0)、f(t+t0)的波形。

(5)反折运算：将f(t)波形以纵铀为对称铀折叠(即翻转180°)便得到了f(－t)的波形。

(6)尺度运算：将f(t)的波形图由原点扩展(或压缩)到原来的1/a，即得到f(at)的波形。

习题5

5.1试用门函数写出习题5.1图所示信号的表达式。习题5.1图

5.2作以下各信号的波形图。

(1)f1(t)=－t［ε(t+1)－ε(t－1)］；

(2)f2(t)=sint［ε(t)－ε(t－6π)］；

(3)f3(t)=(t+1)［ε(t－1)－ε(t)］；

(4)f4(t)=－(t－2)［ε(t)－ε(t－1)］；

(5)f5(t)=e－(t－2)ε(t－1)；

(6)f6(t)=e－tε(t+1)；

(7)f7(t)=e－(t－1)ε(t+1)；