《电路与线性系统分析》课件第4章

4.1线性电路4.2叠加定理4.3戴维南定理4.4诺顿定理4.5最大功率传输定理4.6对偶性习题四线性电路定理阐述了线性电路具有的基本性质和一般性结论。学习这些定理不仅是为了认识线性电路，更重要的是能够把这些定理作为有效工具，利用它们去分析和解决线性电路的问题。本章将学习几个常用的线性电路定理，有叠加定理、戴维南定理、诺顿定理和最大功率传输定理。本章讨论的诸定理只适用于线性电路。通过下面这个特例，了解什么是线性电路以及线性电路具有哪些基本性质。4.1线性电路

例4.1-1电路如图4.1-1(a)所示，求电流I。图4.1-1例4.1-1电路

解：设参考节点与节点电压U的参考方向，见图4.1-1(a)。节点电压方程为整理得则电流为(1)式(1)表述了电流I与电路中两个独立源之间的关系，从中不难看出，如果电路中没有独立源，即Us=0V，Is=0A，就没有电流I；独立源是产生电流I的“原因”，电流I是独立源作用的“结果”，所以，式(1)揭示了电路中存在的因果关系，并且，隐含着两个基本性质。其一，如果令电流源Is=0，则图(a)中的电流源断开，对应电路为图(b)；这时，在电压源Us单独作用下，流过R1电阻的电流，这就是(1)式中的第一项；若令电压源Us=0，图(a)中的电压源短路，对应电路为图(c)；在电流源Is单独作用下，流过R1的电流，为式(1)中的第二项。式(1)告诉我们，在两个独立源共同作用下产生的电流I是每个独立源单独作用时产生电流的代数和，这就是叠加性。其二，若令，则Us与I′之间的因果关系又可表示为I′=k1Us。显然，当电压源Us变化a倍时，电流I′要跟着变化a倍，为k1aUs=aI′。若令，则Is与I″之间的因果关系记为I″=k2Is；同样，如果电流源Is变化b倍，电流I″也要变化b倍，这说明什么呢？说明因果之间存在着比例性。电流I与独立源Us、Is之间的关系式(1)又可用I=k1Us+k2Is的线性方程描述。该电路既有叠加性又有比例性，因此，该电路是线性电路。

在以上分析中，阐述了三个非常重要的基本概念，现归纳如下：

1.叠加性(又称为可加性)多个输入(亦称为激励，指独立源)共同作用下产生的输出(亦称为响应)是每个输入单独作用时产生输出的代数和。若把在激励e(t)作用下产生响应r(t)用符号e(t)→r(t)表示，叠加性又可用符号叙述为

e1(t)→r1(t)

e2(t)→r2(t)则有e1(t)+e2(t)→r1(t)+r2(t)

2.比例性(又称为齐次性)

当激励变化k倍时，响应也同样变化k倍。用符号叙述为e(t)→r(t)则有ke(t)→kr(t)

3.线性电路

同时具有叠加性和比例性的电路是线性电路。用符号叙述为

e1(t)→r1(t)

e2(t)→r2(t)则有k1e1(t)+k2e2(t)→k1r1(t)+k2r2(t)

注意：单有比例性或者是叠加性的电路不是线性电路。由电阻、受控源和独立源组成的电路，如果电阻、受控源是线性元件，那么电路是线性的，称为线性含源电阻电路。例4.1-2电路如图4.1-2所示，求电流I5。分析：若用等效法，首先要从右往左推，求出12端口的等效电阻以及U12，再利用分压公式逐步向右推出I5，这样做比较麻烦。该电路是线性含源电阻电路，因此具有比例性。利用比例性减少运算量的分析思路是这样的：假设I5

=1A，从右向左推，得出对应的电流源Is

；这个电流源电流不是题中给出的值，然后求出比值k=Is/I

s

；根据比例性，激励变化了k倍，为I

s=kI

s

，响应同样要变化k倍，为I5=kI5

=k

。图4.1-2例4.1-2电路

解：设各个支路电流及参考方向如图4.1-2所示。令I5

=1A，由图可推知电流源的变化系数为则例4.1-3图4.1-3中的网络N是不含独立源的线性电阻网络，已测出如下的一组数据：当Us=1V，Is=1A时，U=0V；当Us=10V，Is=2A时，U=4V。求：Us=15V，Is=-5A时，U=？图4.1-3例4.1-3电路

解：由题意知，这是含有两个独立源的线性电阻网络，故两个激励Is和Us与响应U之间存在着以下的线性关系U=k1Us+k2Is

把已测出的两组数据代入上式，确定系数k1和k2，有0=k1+k2

4=10k1+2k2联立两个方程，解得k1=0.5k2=-0.5则激励与响应的线性方程为U=0.5(Us-Is)当Us=15V，Is=-5A时，得U=0.5[15-(-5)]=10V4.2叠加定理

叠加定理阐述了线性电路的叠加性，它是许多线性电路分析方法的理论基础，应给予足够的重视。叠加定理叙述为：任何具有唯一解的线性电路，响应（指电路中各处的电压或电流）等于每个独立源单独作用时产生响应的代数和。对叠加定理做以下的诠释和理解：

(1)独立源与受控源是两种完全不同的源。如果电路中没有独立源，便没有各支路电流、各处的电压，也就没有受控源的控制量；受控源的控制量不存在，受控源也就不存在了。所以，从因果关系上看，受控源不是产生电路响应的“因”，独立源才是电路的真正“源泉”。在应用叠加定理时，受控源不能像独立源一样单独作用，不能作为电路的激励源。

(2)定理告诉我们，线性电路中各独立源产生的响应是互不影响的，因此，在分析多个独立源共同作用下的电路响应时，可以采用化整为零的方法，先分别求单个独立源产生的响应，再把这些部分响应叠加起来，组成总响应。当某个独立源单独作用时，其他独立源都要置零，即独立电压源短路，独立电流源开路，受控源保留不变。

(3)响应指电压或电流，不包括功率。换句话说，叠加法仅限于计算电压、电流，不能用于计算功率。因为功率是电压(或电流)的二次函数，与激励是非线性关系。例4.2-1

电路如图4.2-1(a)所示，求流过电压源的电流I和电压源的功率。图4.2-1例4.2-1电路解：运用叠加定理分析。

(1)10V电压源单独作用。在电压源单独作用时，独立电流源置0，即4A电流源断开，等效电路见图4.2-1(b)。这时，电路元件呈串、并连接，可求得

(2)4A电流源单独作用。在电流源单独作用时，独立电压源置0，即10V电压源短路，电路见图4.2-1(c)。利用分流公式可求得

(3)叠加电流

(4)计算电压源的功率归纳解题思路与要点：

(1)原电路是非串、非并连接的桥路结构。运用叠加定理时，在某个独立源单独作用，另一个独立源被置零的情况下，电路便呈现为简单的串并联结构，比原电路要容易分析得多。可见，利用叠加定理分析电路，是用多次简单电路的分析去替代一次复杂电路的分析。

(2)以上求功率的方法是：先用叠加定理求出流过电压源的总电流I，再求功率。如果采用以下叠加法求功率，是错误的。电压源单独作用时，电压源的功率为电流源单独作用时，电压源的功率为叠加功率为切记：不能用叠加定理求功率。

例4.2-2电路如图4.2-2(a)所示，请用叠加定理求电流I1。图4.2-2例4.2-2电路提示：(1)注意以下受控源的处理方法；(2)注意不同参考方向电量的叠加。

解：(1)10V电压源单独作用。5A电流源被断开，受控电压源保留，等效电路见图4.2-2(b)。有列图4.2-2(b)的网孔电压方程解得4.3戴维南定理

戴维南定理的陈述：具有唯一解的线性单口含源电阻电路N(见图4.3-1(a))，它对外电路的作用可用一个实际电压源等效(见图4.3-1(b))。电压源电压uoc等于电路N的端口开路电压(见图4.3-1(c))；串联电阻R0等于电路N中所有独立源置零时，ab端口的等效电阻(见图4.3-1(d))。图4.3-1戴维南定理的示意图戴维南定理为我们提供了一种化简含源电阻电路的方法。定理的第一句话陈述了一个结论：在一般情况下，由线性电阻、受控源和独立源组成的单口电路，都可化简为一个独立电压源与一个电阻串联的电路结构，我们把这种结构也叫做戴维南等效电路。也就是说，不同单口含源电阻电路的最简等效电路结构都相同，差别仅是元件参数不同，因此，找最简等效电路的工作就归结为求元件参数uoc和R0。定理的第二句话给出了一种求这两个元件参数的方法。确定独立电压源uoc的方法：断开电路N的ab端口外接电路，此时，ab端口电压被称为开路电压，记为uoc，该电压就是电压源电压。确定电阻R0的方法：移去电路N的ab端口外接电路，把电路N内部的独立电压源短路，独立电流源断开；如果电路N中有受控源，受控源保留；然后，求ab端口的等效电阻R0。在阅读下面例题时，请注意解题步骤和不同电源的处理方法。

例4.3-1电路如图4.3-2(a)所示，请用戴维南定理求端口的最简等效电路。图4.3-2例4.3-1电路原电路；(b)求Uoc电路；

(c)求R0电路；(d)原电路的等效电路解：第一步，求12端口的开路电压Uoc。把10A电流源与20Ω电阻构成的实际电流源等效变换成实际电压源；当12端口开路时，端口电流为0A；设网孔电流、端口开路电压的参考方向如图(b)所示。思路：列网孔电流方程，求I2；再通过欧姆定律Uoc=20I2求出开路电压。网孔1的KVL方程

100I1-20I2=300

(1)

网孔2的KVL方程

-20I1+44I2=-100

(2)式(2)×5+式(1)，消去电流I1，解得I2=-1A则开路电压为Uoc=20I2=-20V

第二步，求端口的等效电阻R0。把图(a)中的电压源短路，电流源断开，得图(c)纯电阻电路。利用电阻串并联化简公式求端口等效电阻，有R0=(80∥20+4)∥20=10Ω

第三步，画出戴维南等效电路。在画等效电路时，要注意电压源的方向。若Uoc>0，电压源的极性与开路电压的参考极性一致；若Uoc<0，电压源的极性与开路电压的参考极性相反。本题为第二种情况，电压源的极性与图(b)端口开路电压的参考极性相反，戴维南等效电路见图(d)。至此，已学过多种等效化简电路的方法，请读者再用其他方法验证以上分析结果的正确性。

例4.3-2运用戴维南定理再求例4.2-1中的电流I。

图4.3-3例4.3-2电路(a)原电路；(b)求Uoc；(c)求R0；(d)等效电路思路：求一条支路的电量常用等效化简法。先把图4.3-3(a)虚线左边的单口电路化简为一个实际电压源，再根据简化电路求I。由于虚线左端电路元件非串并连接，不能用第2章学习的串并联等效变换法化简电路，但该题可采用戴维南定理。

解：首先，化简图(a)虚线左边的单口电路。第一步，求戴维南等效电路的开路电压Uoc。断开图(a)中待求的10V电压源支路，见图(b)。当端口电流I=0A时，原电路元件的连接情况有了变化。这时，流过6Ω电阻与R3电阻的是同一个电流，故为串联。同样，电阻R2与4Ω电阻串联。设支路电流I2、I1以及开路电压Uoc的参考方向如图(b)所示。利用分流公式，得所以第二步，求端口的等效电阻R0。移去图(a)中10V电压源支路，断开4A电流源，电路见图(c)。注意，这时端口不是开路状态。利用电阻串并联化简公式可得第三步，画等效电路，见图(d)。第四步，求电流I。根据图(d)求得例4.3-3电路如图4.3-4(a)所示，用戴维南定理求1Ω电阻消耗的功率。图4.3-4例4.3-3电路原电路；(b)求开路电压；(c)求R0；(d)化简图(c)；(e)化简电路解：化简虚线左端电路。

(1)求开路电压Uoc。断开图4.3-4(a)中待求的1Ω电阻支路，设开路电压Uoc如图(b)所示。当端口开路时，端口电流I=0A，在此状态，两个电阻与10V电压源构成串联回路，利用分压公式可知10Ω电阻两端电压为5V，有得

(2)求端口等效电阻R0。移去图(a)中待求1Ω电阻支路，10V电压源短路，受控电压源保留在电路中，见图(c)。图(c)电路化简为图(d)。设图(d)端口电流I与端口电压U参考方向关联。列图(d)的KVL方程U=-4U+5I

所以

根据以上求出的两个参数，图(a)化简为图(e)电路。

(3)求1Ω电阻的功率。图(e)电路的回路电流为

1Ω电阻的功率为P=1×I2=0.25W应用戴维南定理的要点：

(1)求开路电压时，原电路中的所有电源，无论是独立源还是受控源都保留。

(2)求电阻R0时，独立源与受控源的处理方法不一样，电路中的独立源要全部置零，受控源则保留在电路中。因为R0值与独立源无关，而受控源具有电阻性，对R0值有贡献。

(3)受控源的控制量是随电路状态变化的，而控制量又控制受控源的输出，因而在不同的电路状态下，受控源会有不同的输出值。在实际应用中，获取开路电压Uoc和等效电阻R0值的有效方法是直接测量。测量开路电压Uoc的电路见图4.3-5，断开电路N的ab端口，把电压表跨接在ab两端，电压表的读数便是电路N的端口开路电压Uoc。测量等效电阻R0的电路见示意图4.3-6，在电路N的ab端口接一电阻，分别测出流过外接电阻的电流IN和电阻两端的电压UN，图4.3-6(b)是图4.3-6(a)的等效电路，图4.3-6(b)的KVL方程为可得法国电报工程师戴维南于1883年发表了等效电压源定理的论文后，定理受到了关注和推广应用，以后就以他的名字命名了该定理。定理不仅能用于直流电路(独立源是直流电源)分析，而且能用于交流电路分析，我们将在下一章了解到这一点。图4.3-5测量Uoc

图4.3-6测量R0的电路4.4诺顿定理

戴维南定理出现后43年，也就是1926年，在贝尔电话实验室工作的美国工程师诺顿针对交流电路提出了诺顿定理。而在同年同月，德国的梅耶针对直流电路也发表了同样定理的论文，但未被当时人们所知。诺顿定理的陈述：具有唯一解的线性单口含源电阻电路N(见图4.4-1(a))，它对外电路的作用可用一个实际电流源来等效(见图4.4-1(b))。电流源的电流isc等于电路N的端口短路电流(见图4.4-1(c))；并联电阻R0等于电路N中所有独立源置零时，端口的等效电阻(见图4.4-1(d))。不难理解，如果一个线性单口含源电路能等效为实际电压源，利用电源的等效变换，该电路也一定能等效为实际电流源，即存在诺顿等效电路。由定理可知，求实际电流源内阻R0的方法与前述戴维南定理一样。图4.4-1诺顿定理的示意图

例4.4-1请用诺顿定理求图4.4-2(a)所示电路中的电流I。图4.4-2例4.4-1电路解：首先利用诺顿定理化简虚线左边的单口电路。第一步，求短路电流Isc。把待求的3S支路换成短路线，并设短路电流Isc，见图(b)。列图(b)中节点1的电流方程，端口短路电流为Isc=4×2-3×4+22=18A第二步，求等效电阻。移去待求的3S支路，把电压源短路，电流源断开，电路见图(c)。端口的等效电导为G0=2+4=6S第三步，画诺顿等效电路。画等效电路时，要注意电流源的电流方向。在图(b)的短路线上，Isc是从1流向2，要得到这样一个外部电流流向，电流源内部的电流就要从2向1流，与外电路电流相反，因此，图(d)中等效电流源的电流流向是从2流向1。完成电路的等效化简后，再根据图(d)求电流I。利用分流公式可求得

例4.4-2电路如图4.4-3(a)所示，求ab端口的诺顿等效电路。图4.4-3例4.4-2电路(a)原电路；(b)求Isc；(c)求R0解：(1)求ab端口的短路电流Isc。把图(a)中的受控电流源等效变换为受控电压源，同时ab端口短路，电路如图4.4-3(b)所示。在图示Isc参考方向下，回路电压方程为-500Isc+(1000+1000)Isc+10=0得

(2)求R0。把图4.4-3(a)中的电压源短路，受控源保留，同时把受控电流源等效为受控电压源，见图(c)；再通过图(c)端口伏安关系求等效电阻R0。设端口电压U、端口电流I参考方向关联，如图(c)所示，回路电压方程为U=-500I+2000I=1500I则

根据参数Isc、R0与图(b)所示Isc的参考方向，有图4.4-4所示的诺顿等效电路。注意：在图(b)中，短路线上Isc从b流向a，等效电流源的电流流向则是从a流向b，但因Isc是负值，所以，仍是从b流向a。有些读者可能会有这样的想法，既然实际电压源和实际电流源可以等效互换，那么，戴维南定理与诺顿定理中的一个就是多余的？其实不然，这两个定理是完全独立的，不能相互替代。在特殊情况下，若等效电阻R0=0，电路只能等效为理想电压源，其戴维南等效电路存在，而诺顿等效电路不存在；如果等效电阻R0=∞，电路等效为理想电流源，其诺顿等效电路存在，而戴维南等效电路则不存在。4.5最大功率传输定理

在许多实际应用中，比如通信领域，由于发射系统的发射功率有限，同时信号在传输中又存在损耗，所以，如何使负载获得最大功率是人们特别关注的一个课题。这类问题可以用图4.5-1(a)来概括。一般来说，前端电路是已定的，不能变动，负载能够改变。如果前端电路是线性含源电阻电路，那么，可等效为一个实际电压源，从而把分析图4.5-1(a)的最大功率问题转换为分析图(b)。因此，最大功率传输研究的问题归结为：在给定参数uoc和R0的条件下，负载RL取何值时能从电源获取最大功率？最大功率是多少？图4.5-1最大功率传输定理示意图最大功率传输定理的陈述：当负载电阻满足RL=R0时，负载RL能获得最大功率，最大功率为(4.5-1)不难看出，最大功率传输定理是建立在戴维南定理基础之上的，其分析思路十分明晰。首先，是从负载处把电路分为两部分；然后把前端电路等效为实际电压源，即求出参数uoc和R0；再依据最大功率传输定理，确定负载电阻RL值和负载的最大功率PLmax。通常把RL=R0的电路状态称为最大功率匹配。从电路图4.5-1(b)不难看出，在最大功率匹配的条件下，负载RL只能获得等效电源uoc提供的一半功率，uoc提供的另一半功率则被等效内阻R0消耗。例4.5-1电路如图4.5-2(a)所示，求：

(1)RL为何值时能从电路获得最大功率？最大功率是多少？

(2)当RL获最大功率时，360V电压源提供的功率是多少？

(3)在最大功率匹配时，电路的功率传递效率是多少？图4.5-2例4.5-1电路解：(1)把图4.5-2(a)虚线左边的电路化简为实际电压源。断开负载支路，电路如图4.5-2(b)所示。利用分压公式得移去图(a)中负载支路，电压源短路，见图(c)，R0为R0=30∥150=25Ω化简电路见图4.5-3。当R0=RL=25Ω时，RL能获最大功率，最大功率为

(2)当RL=25Ω时，由图4.5-3可知，RL两端电压为在最大功率匹配情况下，原电路图(a)中的电流I为

360V电压源的功率Ps=-360×7=-2520W图4.5-3例4.5-1的等效电路

(3)在最大功率匹配情况下，电路的功率传输效率为可见，在最大功率匹配的情况下，电路的功率传输效率并不高。4.6对偶性

我们把前面讨论过的某些关系式呈现在表4.6-1中，请观察后，尝试找出其中存在的规律。

表4.6-1

不难发现，若把第二列各式中的u换成i，R换成G，i换成u，就是第三列的各式。反之，若把第三列的各式做同样对换，便得到第二列各关系式。我们把这种对应关系称为对偶性。其中，电压与电流、电阻与电导被称为对偶元素。对偶元素除了电量、元件参数外，还可以是电路结构、定律等等，电路中的对偶元素还有：电压源us与电流源is，开路与短路，串联与并联，网孔与节点等等。如果电路中某一定理、公式或表达式成立，把其中的元素用它的对偶元素置换所得到的表述也成立，这就是对偶性。对偶性是电路的一个普遍性质，了解它有助于我们理解电路的概念和方法，帮助我们记忆各种关系式，并且根据对偶性探索新的规律。电路中还有许多对偶元素和关系，请读者在后续的学习中留意观察与总结。习题四

4-1电路如题图4-1所示，计算：(1)电流I。(2)如果把电压源改为10V，电流I是多少？题图4-1

4-2电路如题图4-2所示。(1)求电压U。(2)若电流源减至1μA，电压U是多少？题图4-2

4-3电路如题图4-3所示，试用叠加定理求电压U。题图4-3

4-4试用叠加定理求题图4-4所示电路中的电流I。题图4-4

4-5电路如题图4-5所示，N是线性无源电路，已知：当Us=1V，Is=2A时，U0=0V；当Us=2V，Is=5A时，U