《电工电子学》课件第4章

第4章动态电路的时域分析

4.1换路定则及初始值的计算

4.2一阶电路的零输入响应

4.3一阶电路的零状态响应

4.4一阶电路的全响应

4.5一阶电路的三要素法

4.6二阶电路

4.1换路定则及初始值的计算

4.1.1过渡过程的概念

电路元件的伏安关系要用微分或积分形式来表述的元件称为动态元件，如电容和电感就属于动态元件。凡用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。一阶电路在结构上只含有一个且仅有一个(或可等效成一个)动态元件。按照此概念可定义二阶电路、三阶电路等等。

如图4-1所示电路。图4-1实验电路4.1.2换路定则及初始值的确定

前已述及，若电容电流和电感电压为有限值，则电容电压和电感电流均不能发生跃变，即在换路的瞬间，有

(4-1)

式(4-1)表述的换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变的结果，通常称为换路定则。独立初始值，可通过作换路前t=0－的等效电路求得。具体步骤为：

(1)作t=0－等效电路，此时对于直流电路来说，电容C开路，电感L短路，求出uC(0－)和iL(0－)；

(2)根据换路定则确定出uC(0+)和iL(0+)。非独立初始值，可通过作换路后t=0+等效电路来计算。具体步骤为：

(1)用电压为uC(0+)的电压源和电流为iL(0+)的电流源取代原电路中C和L的位置，可得t=0+等效电路；

(2)用t=0+等效电路求出所要求解的非独立初始值。

【例4-1】图4-2(a)所示电路中，已知US=18V，

R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，L=0.5H，C=4.7μF，开关S

在t=0时合上，设S合上前电路已进入稳态。试求i1(0+)、

i2(0+)、i3(0+)、uL(0+)、uC(0+)。图4-2例4-1图

解第一步，作t=0－等效电路，如图4-2(b)所示，这时电感相当于短路，电容相当于开路。

第二步，根据t=0－等效电路，计算换路前的电感电流和电容电压：根据换路定则，可得

uC(0+)=uC(0－)=12V

iL(0+)=iL(0－)=6A

i2(0+)=6A

第三步，作t=0+等效电路，如图4-2(c)所示，这时电

感L相当于一个6A的电流源，电容C相当于一个12V的电

压源。第四步，根据t=0+等效电路，计算其他的非独立初

始值：

【例4-2】图4-3(a)所示电路在t=0时换路，即开关S由位置1合到位置2。设换路前电路已经稳定，求换路后的初始值i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。图4-3例4-2图

解

(1)作t=0－等效电路，如图4-3(b)所示，则有

(2)作t=0+等效电路，如图4-3(c)所示，由此可得

4.2一阶电路的零输入响应

4.2.1

RC电路的零输入响应

如图4-4所示的电路，在开关S未闭合前，电容C已经充电，电容电压uC(0－)=U0。当t=0时刻开关S闭合，RC电路接通，根据换路定则，有uC(0+)=uC(0－)=U0，电路在uC(0+)作用下产生的电流为根据图4-4所示电路电流、电压的参考方向，依据KVL，有

而由R和C的电压电流关系，有图4-4

RC电路的零输入响应将其代入上式可得

(4-2)

式(4-2)是一个常系数一阶线性齐次微分方程。由高等数学知识可知其通解形式为uC(t)=Aept。其中，常数p是特征方程的根，A为待定的积分常数。特征方程为

特征根为

所以将初始条件uC(0+)=U0代入上式，可得A=U0，则

(4-3)

式(4-3)就是零输入响应，即电容放电过程中电容电压uC随时间变化规律的表达式。电路中的放电电流i(t)和电阻电压uR(t)分别为

(4-4)

(4-5)

从式(4-3)、式(4-4)和式(4-5)中可以看出，电压uC(t)、

uR(t)和电流i(t)都是按同一指数规律衰减的，它们随时间变化的曲线如图4-5(a)、(b)所示。图4-5

RC电路的零输入响应曲线以上各式中的RC具有时间的量纲，因为

所以称其为时间常数，并令

τ=RC

(4-6)引入时间常数τ后式(4-3)、式(4-4)和式(4-5)可表示为时间常数τ是表征电路过渡过程快慢的物理量。τ值越大，过渡过程的进展越慢。RC电路的时间常数τ仅由电路的参数R和C来决定。当R越大时，电路中放电电流就越小，

放电时间就越长；当C越大时储存的电场能量就越大，放电时间也就越长。τ对暂态过程的影响如图4-6所示。图4-6时间常数τ对暂态过程的影响现以电容电压uC(t)为例来说明时间常数τ的意义。

将t=τ、2τ、3τ、…的不同时间的响应uC值列于表4-1

之中。

【例4-3】如图4-7(a)所示电路，在t=0时刻开关S闭合，S闭合前电路已稳定。试求t≥0时的i1(t)、i2(t)和iC(t)。

解

(1)作t=0－时的等效电路，如图4-7(b)所示，则有

uC(0+)=uC(0－)=2×3=6V图4-7例4-3图

(2)作t≥0时的电路，如图4-7(c)所示，其等效电路如图4-7(d)所示，则等效电阻

故电路的时间常数为

τ=RC=2×0.5=1s

根据式(4-3)可得

uC(t)=6e－tV

(t≥0)在图4-7(c)所示电路中，可求得4.2.2

RL电路的零输入响应

如图4-8(a)所示电路，开关S动作前电路已稳定，则电感L相当于短路，此时电感电流为图4-8

RL电路的零输入响应在图4-8(b)中，依KVL，可得

将电感的伏安关系代入上式，可得

(4-7)式(4-7)也是一个常系数一阶线性齐次微分方程，与式(4-2)相似，其通解的形式为

其中，τ是RL电路的时间常数。特征方程和特征值分别为

Lp+R=0

则其中

代入初始条件iL(0+)=I0，可得A=I0，故电路的零输入响应为

(4-8)

电阻和电感上的电压分别为

(4-9)

(4-10)从式(4-8)、式(4-9)和式(4-10)中可以看出，iL(t)、uR(t)

和uL(t)都是按同一时间常数的指数规律衰减的，它们随时

间变化的曲线如图4-9所示。图4-9

RL电路零输入响应曲线图从以上的分析可见，RC电路和RL电路中所有的零输入响应都是由初始值开始以指数规律衰减的，而且都可写成相同的形式，即

(4-11)

【例4-4】如图4-10(a)所示为一测量电路，已知

L=0.4H，R=1Ω，US=12V，电压表的内阻RV=10kΩ，量程为50V。开关S原来闭合，电路已处于稳态。在t=0时，将开关S打开，试求：

(1)电流i(t)和电压表两端的电压uV(t)；

(2)t=0时(S刚打开)电压表两端的电压。图4-10例4-4图

解

(1)t≥0时的电路如图4-10(b)所示，是一个RL电路。电路的时间常数为

电感中电流的初始值为根据式(4-11)，可得电感电流的表达式为

电压表两端的电压为

(2)当t=0时，

uV=－12×104V

该数值远远超过电压表的量程，将损坏电压表。在断开电感电路时，必须先拆除电压表。

从上例分析中可见，电感线圈的直流电源断开时，线圈两端会产生很高的电压，从而出现火花甚至电弧，轻则损坏开关设备，重则引起火灾。因此工程上都采取一些保护措施，常用的办法是在线圈两端并联续流二极管或接入阻容吸收电路，如图4-11(a)、(b)所示。图4-11

RL保护电路

4.3一阶电路的零状态响应

4.3.1

RC电路的零状态响应

如图4-12所示RC串联电路，开关S闭合前电容初始状态为零，即uC(0－)=0，在t=0时开关S闭合，电路接通直流电源US，US向电容充电。在t=0+瞬间，根据换路定律，有uC(0+)=0，电容相当于短路，电源电压全部加在电阻R两端，这时电流值为最大，即图4-12

RC电路的零状态响应随着时间的推移，电容被充电，电容电压随之升高，这时电路中的电流为

i逐渐减小，直到电容电压uC=US，i=0，充电过程结束，电路进入稳态。根据图4-12中S闭合后的电路，依KVL，有

将R与C的伏安关系uR=Ri和代入上式后，可得

(4-12)式(4-12)是一个常系数一阶线性非齐次微分方程。由高等数学知识可知，它的解由其特解ucp和相应齐次方程的通解uch两部分组成，即

对应于式(4-12)的齐次微分方程即式(4-2)，其通解为非齐次方程式(4-12)的特解为电路达到稳态时的解

因此uC(t)的全解为

将初始条件uC(0+)=0代入上式，可得则电容电压的零状态响应为

(4-13)

式(4-13)也就是充电过程中电容电压的表达式。它表明了这一过程中电压uC(t)随时间变化的规律。令τ=RC，则

(4-14)充电电流i(t)和电阻电压uR(t)为

(4-15)

(4-16)

uC(t)、uR(t)和i(t)随时间变化的曲线如图4-13(a)、(b)所示。图4-13

RC电路的零状态响应曲线4.3.2

RL电路的零状态响应

如图4-14所示RL串联电路，开关S闭合前电路中的电流为零，即iL(0－)=0，在t=0时开关S闭合，电路接通直流电源US。在开关闭合后的初始时刻t=0+，根据换路定律，有iL(0+)=0，电感相当于开路，电源电压US加于电感的两端，即uL(0+)=US。此后，电流逐渐增大，电阻两端的电压也随之逐渐增大，则电感两端的电压逐渐减少。最后电感电压uL=0，电感相当于短路，电源电压US全部加于电阻元件两端，电路中的电流到达稳态值图4-14

RL电路的零状态响应根据图4-14中S闭合后的电路，依KVL，有

(4-17)

式(4-17)也是一常系数一阶线性非齐次微分方程，它的解同样由其特解icp和相应的齐次方程的通解ich组成，即其中，特解仍是电路达到稳态时的解

齐次微分方程的通解与RL串联电路的零输入响应形式相同，即令故得

将iL(0+)=0代入上式可得则电路的零状态响应iL(t)为

(4-18)

电感电压uL(t)和电阻电压uR(t)分别为

(4-19)

iL(t)、uL(t)和uR(t)随时间变化的波形曲线如图4-15(a)、(b)

所示。图4-15

RL电路的零状态响应曲线由上述分析可知：RC电路的零状态响应电压uC(t)和RL电路的零状态响应电流iL(t)都是由零状态逐渐上升到新的稳态值，而且都可以写成相同的形式，即

(4-20)

式(4-20)中，f(∞)是响应的稳态值。套用此式即可求得RC电路的零状态响应电压uC(t)和RL电路的零状态响应电流iL(t)。

【例4-5】如图4-16所示电路，t=0时开关S闭合。已知uC(0－)=0，求t≥0时的uC(t)、iC(t)和i(t)。图4-16例4-6图

解因为uC(0－)=0，故换路后电路属于零状态响应。因此电容电压可套用式(4-20)求出。又因为电路稳定后，电容相当于开路，所以

时间常数为根据式(4-20)得

则有

【例4-6】如图4-17所示电路，换路前电路已达稳态，在t=0时开关S打开，求t≥0时的iL(t)和uL(t)。图4-17例4-7用图

解因为iL(0－)=0，故换路后电路的响应为零状态响应。因此电感电流表达式可套用式(4-20)。又因为电路稳定后，电感相当于短路，所以

时间常数为根据式(4-20)得

则

4.4一阶电路的全响应

所谓全响应，就是既有动态电路的初始储能又有电路外加激励时电路中所产生的响应。

现以图4-18所示的RC电路为例进行讨论。电路的初始状态为uC(0+)=U0，t=0时开关S闭合，电路输入直流电压US。图4-18

RC电路的全响应根据图4-19中S闭合后的电路，依KVL，有

(4-21)

对应于式(4-21)的齐次微分方程的通解为

非齐次微分方程的特解为因此，微分方程式(4-21)的全解为

代入初始条件uC(0+)=U0，可得

A=U0－US

则全响应为

(4-22)可以看出，上式右边第一项是受输入激励制约的稳态分量；第二项是随时间增长而衰减的暂态分量。也就是说，电路的全响应可分解为稳态分量和暂态分量之和，即

全响应=稳态分量+暂态分量

(4-23)

图4-19中的(a)、(b)、(c)分别给出了U0<US、U0=US

、U0>US三种不同初始状态下，RC电路的全响应uC(t)的曲线。图4-19三种情况下uC随时间变化的曲线另外，还可将式(4-22)写成下列形式:

可以看出，上式等号右边第一项是uC(t)的零输入响应，第二项是uC(t)的零状态响应，也就是说，电路的全响应还可以分解为零输入响应和零状态响应的叠加，即

全响应=零输入响应+零状态响应

(4-24)当US=0时，响应uC(t)′由初始状态uC(0+)作用所产生，它就是零输入响应，则

当uC(0+)=0时，响应uC(t)″由外加激励US所产生，它就是零状态响应，则

因此，电路的全响应为

上式与式(4-22)完全相同，其分解的波形如图4-20所示。图4-20三种情况下uC随时间变化的曲线

【例4-7】如图4-21所示电路，在t=0时开关S打开，uC(0+)=5V。求t≥0后电路的全响应uC(t)。图4-21例4-8图

解作t≥0时的电路，如图4-21(b)所示。用响应的两种分解方法求全响应uC(t)。

方法1：全响应分解为零输入响应和零状态响应的叠加。

按图4-21(b)所示电路，当IS=0时，uC(0+)=5V，则电路的零输入响应为

故得出按图4-21(b)所示电路，当uC(0+)=0时，IS=1A，则电路的零状态响应为

电路的全响应uC(t)为方法2：全响应分解为稳态分量和暂态分量的叠加。

稳态分量为

暂态分量为

所以全响应为4.5一阶电路的三要素法

由于一阶电路的全响应为零输入响应与零状态响应之和，所以全响应是动态电路响应的一般形式。若全响应变量用f(t)表示，则全响应可按下式求出:

(4-25)

【例4-8】如图4-22(a)所示电路，在t=0时开关S打开，设S打开前电路已处于稳态，已知US=24V，R1=8Ω，R2=4Ω，L=0.6H。求t≥0时的iL(t)和uL(t)，并画出其波形。图4-22例4-9图

解

(1)求初始值iL(0+)、uL(0+)。作t=0－时的等效电路，如图4-22(b)所示，则有

作t=0+时的等效电路，如图4-22(c)所示。依KVL，可得

(2)求稳态值iL(∞)、uL(∞)。作t=∞时的稳态等效电路，如图4-22(d)所示，则有

(3)求时间常数τ。先计算电感元件断开后端口电路的输入电阻，电路如图4-22(e)所示，于是有

则时间常数为根据式(4-25)计算出各响应量为

iL(t)和uL(t)的波形如图4-22(f)所示。

【例4-9】如图4-23(a)所示电路，在t=0时开关S闭合，S闭合前电路已达稳态。求t≥0时uC(t)、iC(t)和i(t)。图4-23例4-10图

解

(1)求初始值uC(0+)、iC(0+)和i(0+)。作t=0－时的等效电路，如图4-23(b)所示，则有

uC(0+)=uC(0－)=20V

作t=0+时的等效电路，如图4-23(c)所示。列出支路电流方程:联立求解，可得

(2)求稳态值uC(∞)、iC(∞)和i(∞)。作t=∞时的稳态等效电路，如图4-23(d)所示，则有

(3)求时间常数τ。将电容元件断开，电压源短路，如图4-23(e)所示，求得等效电阻为

时间常数为

(4)根据式(4-25)得出电路的响应电压、电流分别为

【*例4-10】如图4-24(a)所示含受控源电路，开关S

闭合前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。求t≥0时的iL(t)、uL(t)和i(t)。图4-24例4-11图

解

(1)求iL(0－)。因此时电路已处于稳态，2H电感相当于短路线，故iL(0－)=1A。

(2)求初始值iL(0+)、uL(0+)和i(0+)。因iL(0－)=1A，故由换路定律得

iL(0+)=iL(0－)=1A

作t=0+时的等效电路，如图4-24(b)所示，这时电感相当于

1A的电流源。列出节点电位方程:解之，得

则

(3)求稳态值iL(∞)、uL(∞)和i(∞)。作t=∞时的稳态等效电路，如图4-24(c)所示，则有

(4)求时间常数τ。先计算电感元件断开后端口电路的输入电阻，其等效电路如图4-24(d)所示。图中在端口外加电压U，产生输入电流为故

则时间常数为

(5)根据式(4-25)计算出各响应量为

【*例4-11】如图4-25(a)所示电路中，已知US=12V，R1=3kΩ，R2=6kΩ，C=5μF，开关S原先断开已久，电容中无储能。t=0时将开关S闭合，经0.02s后又重新打开，试求t≥0时的uC(t)及其波形。图4-25例4-12图

解由于开关S闭合后又打开，故电路的过渡过程分为两个阶段。

(1)t=0作为换路时刻，开关S闭合后，为电容的充电过程，利用三要素法求得电容电压uC(t)的变化规律。

(2)以t=0.02s作为新的换路时刻，开关S打开后，电容的放电过程开始，利用三要素法求出电容放电时电压的变化规律。

则

uC(t)的变化曲线如图4-25(b)所示。*4.6二阶电路

如图4-26所示的RLC串联电路，若电容电压及电感电流的初始值分别为uC(0+)和iL(0+)，开关S在t=0时闭合，则储能元件将通过电路进行放电。这是一个零输入响应电路。下面对电路的响应情况进行分析。依KVL，得

uR+uL－uC=0图4-26

RLC串联电路的零输入响应按图中标定的电压、电流参考方向有将以上各式代入KVL方程，便可以得出以uC为响应变量的微分方程:

(4-26)

式(4-26)为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为其特征根为

(4-27)

式中，α=R/2L称为衰减系数，称为固有振荡角频率。由式(4-27)可见，特征根由电路本身的参数R、L、C的数值来确定，反映了电路本身的固有特性。根据电路参数R、L、C数值的不同,特征根p1、p2可能出现以下四种情况。

(1)当(R/2L)2>1/LC时，p1、p2为不相等的负实根，称为过阻尼情况。特征根为

微分方程的通解为

(4-28)式中，待定常数A1、A2由初始条件来确定，其方法是当t=0+时，由式(4-28)可得

uC(0+)=A1+A2(4-29)

对式(4-28)求导，可得t=0+时刻uC(t)对t的导数的初始值为

(4-30)

而电路中

i(0+)=0

联立求解式(4-29)和式(4-30)，便可以解出A1、A2。根据(4-28)，零输入响应uC(t)是随时间按指数规律衰减的，为非振荡性质。uC(t)的波形如图4-27所示。图4-27过阻尼时的uC(t)波形

(2)当(R/2L)2=1/LC时，p1、p2为相等的负实根，称为临界阻尼情况。特征根为

p1=p2=－α

微分方程的通解为

uC(t)=(A1+A2t)e－αt

(4-31)

式中，常数A1、A2由初始条件uC(0+)和uC′

(0+)来确定。

根据式(4-31)可知，这种情况的响应也是非振荡的。uC(t)随时间变化的波形图如图4-28所示。图4-28临界阻尼情况下零输入响应uC(t)的波形图

(3)当(R/2L)2<1/LC时，p1、p2为具有负实部的共轭复

根，称为欠阻尼情况。特征根为