《材料力学》课件第9章

第9章压杆稳定9.1引言9.2细长压杆的临界载荷9.3压杆的临界应力9.4压杆的稳定条件与合理设计 9.1引言

1.平衡稳定性的概念

构件在压力或其他特定载荷作用下，在某一位置保持平衡，这一位置称为刚体的平衡位形或弹性体的平衡构形。刚体的平衡位形与弹性体的平衡构形都存在稳定与不稳定的问题。例如，图9－1(a)所示竖直放置的刚性直杆AB，下端铰支，上端用刚度系数为k的水平弹簧支持。在铅垂载荷F作用下，刚杆在竖直位置保持平衡，此时弹簧处于自然状态。假设刚杆受到微小侧向扰动，使杆端产生微小的侧向位移δ（见图9－1(b)），则弹簧产生水平恢复力kδ。此时，载荷F对A点的力矩Fδ将使杆更加偏离竖直的平衡位形，而弹簧力的力矩kδl将使杆恢复其初始平衡位形。如果Fδ<kδl，即F<kl，则在上述干扰解除后，刚杆将自动恢复至初始平衡位形，说明在该载荷作用下，刚杆在竖直位置的平衡位形是稳定的。如果Fδ>kδl，即F>kl，则在干扰解除后，刚杆不仅不能自动返回其初始的平衡位形，而且还将继续偏转，这说明在该载荷作用下，刚杆在竖直位置的平衡位形是不稳定的。如果Fδ=kδl，即F=kl，则刚杆既可以在竖直位置保持平衡，也可以在任意微小偏斜状态下保持平衡，这种平衡称为随遇平衡。随遇平衡实质上也是一种不稳定平衡，它介于稳定平衡与不稳定平衡之间，也称为临界平衡。可见，当杆长l与弹簧常数k确定之后，刚性直杆AB竖直平衡位形的性质，由载荷F的大小而定。使刚体的平衡位形由稳定向不稳定过渡的临界状态的载荷值称为临界载荷，并用Fcr表示。图9－1对于轴向受压的细长弹性直杆也存在类似情况。图9－2所示两端铰支的细长理想直杆，受力后处于直线平衡构形。在任意微小侧向干扰下，压杆将产生微小弯曲（见图9－2(a)）。外界微小干扰去除后将出现两种不同情况：当轴向压力较小时，压杆最终将恢复其直线平衡构形（见图9－2(b)）；当轴向压力较大时，压杆不仅不能恢复其直线平衡构形，而且将继续弯曲，产生显著的弯曲变形（见图9－2(c)），甚至破坏。上述情况表明：当轴向压力小于临界载荷Fcr时，压杆直线平衡构形是稳定的；当轴向压力大于临界载荷Fcr时，压杆直线平衡构形是不稳定的，在任意微小的外界扰动下，压杆的直线平衡构形会突然转变为弯曲的平衡构形，这种过程称为屈曲或失稳。在临界载荷Fcr作用下，压杆既可在直线构形下保持平衡，也可在微弯构形下保持平衡。所以，当轴向压力达到或超过临界载荷时，压杆直线平衡构形将会失稳。

2.工程中的失稳现象

工程中受压的杆件是很多的，例如各种建筑的立柱、各种液压机械的活塞杆、机床的丝杠、曲柄连杆机构中的连杆、桥梁与钻井井架等桁架结构中的压杆等等，它们都有平衡构形的稳定性问题。除细长压杆外，其他弹性构件也存在稳定性问题。例如,薄壁圆管受压或受扭时，当轴向压力或扭矩达到或超过一定数值时，圆管将突然发生皱褶（见图9－3）。图9－4(a)所示狭长矩形截面梁，当载荷F达到或超过一定数值时，梁将突然发生翘曲；图9－4(b)所示承受径向外压的圆柱形薄壳，当外压p达到或超过一定数值时，圆环形截面将突然变为椭圆形。图9－3图9－4

9.2细长压杆的临界载荷

9.2.1两端铰支细长压杆的临界载荷

如图9－5所示，两端铰支的等截面细长直杆承受轴向压力作用。在临界状态下，压杆除了直线形式的平衡构形外，还可能存在与之无限接近的微弯平衡构形。现以微弯平衡构形作为其临界状态特征，确定其临界载荷。图9－5在杆内应力不超过材料的比例极限时，根据小挠度挠曲轴的近似微分方程，压杆的挠曲轴方程w=w(x)应满足（a）考察微弯状态下任意一段压杆的平衡，得到弯矩方程为（b）将式（b）代入式（a），得到（c）二阶常微分方程（c）的通解为（e）式中，均为未知，其值由压杆的位移边界条件与微弯变形状态确定。两端铰支压杆的位移边界条件为（f）将式（f）代入式（e），得到（g）由于压杆处于微弯状态，A和B不全为零，则应有（h）而要满足此条件，则要求(n=0,1,2…)（i）将式（i）代入式（d），于是得(n=0,1,2…)(j)使压杆在微弯状态下保持平衡的最小轴向压力即为压杆的临界载荷。由式(j)取n=1，即得两端铰支细长压杆的临界载荷为（9－1）式(9－1)是由欧拉于1744年最早提出的，所以通常称为临界载荷的欧拉公式，该载荷又称为欧拉临界载荷。可以看出，两端铰支细长压杆的临界载荷与截面弯曲刚度成正比，与杆长的平方成反比。对于各个方向约束相同的情形，上式中的惯性矩I应为压杆横截面最小主形心惯性矩。在临界载荷作用下，即k=π/l时，由式（e）得，即两端铰支细长压杆临界状态的挠曲轴为一半波正弦曲线，其最大挠度A则取决于压杆微弯的程度。可见，压杆在临界状态下的平衡是一种有条件的随遇平衡，微弯程度可以任意，但挠曲轴形状一定。9.2.2大挠度理论与实际压杆

式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方程进行理论分析，则轴向压力F与压杆最大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉临界载荷。

可以看出：当轴向压力F<Fcr时，压杆只有直线一种平衡构形，而且直线平衡构形是稳定的；当F>Fcr时，压杆存在两种平衡构形——直线平衡构形(分支AC所对应)与屈曲平衡构形(分支AB所对应)，但前者是不稳定的，后者是稳定的。直线AC与曲线AB的交点A称为临界点，也称为分叉点，因为从A点开始，出现两种平衡构形。在A点附近，曲线AB极为平坦，可近似地用水平线代替曲线，其力学意义是：认为在F=Fcr时，压杆既可在直线构形保持平衡，也可在微弯构形保持平衡。由此可见，以微弯构形作为临界状态的特征，并根据挠曲轴的近似微分方程确定临界载荷的方法，不仅简单、正确，而且合理、实用。另外，由于曲线AB在A点附近极为平坦，因此，当轴向压力F略高于临界值Fcr时，挠度即急剧增加。例如，当F=1.015Fcr时，wmax=0.11l，即轴向压力超过临界值的1.5%时，最大挠度竟高达杆长的11%。大挠度理论明确指出了失稳的危险性。以上讨论是针对理想压杆而言的。对于工程中的实际压杆，由于其轴线可能存在初始曲率，载荷也可能偏心，材料也非绝对均匀等等，这些因素都相当于使得压杆发生压弯组合变形。实际压杆的压缩试验给出的载荷与挠度之间的关系如图9－6中的虚线OD所示：当压力不大时，压杆即发生微小弯曲变形；弯曲变形随压力增大而缓慢增长,而当压力F接近于临界值Fcr时，挠度急剧增大。试验说明，欧拉临界载荷同样导致实际压杆失效或破坏。所以，用理想压杆作为分析模型解决压杆的承载能力问题是行之有效的方法，这也是常用的模型化方法的一个范例。图9－69.2.3两端非铰支细长压杆的临界载荷

1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷

图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自由、长为l的细长压杆的临界载荷为（9－3）图9－7

2.两端固定的细长压杆的临界载荷

图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8(b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两端固定的压杆的临界载荷为（9－4）图9－8

3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷

图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆，在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为0.7l，则该压杆的临界载荷为（9－5）图9－99.2.4欧拉公式的一般形式

由式（9－1）、式（9－3）、式（9－4）与式（9－5）可知，上述几种细长压杆的临界载荷公式基本相似，只是分母中l的系数不同。为了应用方便，将上述公式统一写成如下形式:（9－6）式中，乘积μl称为压杆的相当长度或有效长度，即相当于两端铰支压杆的长度;系数μ称为长度因数，代表支持方式对临界压力的影响。几种常见细长压杆的长度因数与临界载荷如表9－1所示。表9－1几种常见细长压杆的长度因数及临界载荷

例9－1

图9－10所示细长圆截面连杆，长度l=800mm，直径d=20mm，材料为Q235钢，其弹性模量E=200GPa。试计算该连杆的临界载荷。图9－10

解该连杆为两端铰支细长压杆，μ=1。根据欧拉公式，其临界载荷为讨论：在此临界压力作用下，压杆在直线平衡位置时横截面上的应力为

Q235钢的比例极限σp≈200MPa，表明连杆在临界状态时仍处于线弹性范围内，欧拉公式是适用的。另外，Q235钢的屈服极限σs=235MPa，因此，使连杆压缩屈服的轴向压力为显然，该细长压杆的承载能力是由稳定性要求确定的。

9.3压杆的临界应力

1.临界应力与柔度

压杆处于临界状态时横截面上的平均应力，称为压杆的临界应力，并用σcr表示。根据式（9－6），细长压杆临界应力为（a）式中，比值I/A是仅与横截面的形状及尺寸有关的几何量，将其用i2表示，即（9－7）i称为截面的惯性半径，具有长度量纲。将i代入式（a），并令（9－8）则细长压杆的临界应力为（9－9）式(9－9)称为欧拉临界应力公式。式中的λ为一无量纲量，称为柔度或细长比，它综合地反映了压杆的长度、支持方式与截面几何性质对临界应力的影响。式（9－9）表明，细长压杆的临界应力与柔度的平方成反比，柔度愈大，临界应力愈低。

2.欧拉公式的适用范围

欧拉公式是根据挠曲轴近似微分方程建立的，它只在线弹性范围才适用，即要求或式中:（9－10）（9－11）即仅当λ≥λp时，欧拉公式才成立。

λp

仅随材料而异，对于不同材料的压杆，由于E、σp各不相同，λp的数值亦不相同。例如对于Q235钢制成的压杆，E≈200GPa，σp=200MPa，于是由式(9－11)得λp≈100。

柔度λ≥λp的压杆，称为大柔度杆或细长杆。这类压杆可能发生弹性失稳，其临界应力可用欧拉公式计算。

3.临界应力的经验公式

工程实际中存在着大量柔度小于λp的非细长压杆，其临界应力超过材料的比例极限，属于弹塑性失稳问题。这类压杆的临界应力也可以通过理论分析求得，但工程中通常用经验公式进行计算。

1)直线型经验公式

对于钢材、铸铁、合金钢、铝合金和木材等制成的压杆，直线型经验公式的一般表达式为（9－12）式中,a与b为与材料有关的常数,单位为MPa，其适用范围为（9－13）式中，λ0是与材料的压缩极限应力σcu有关的值，因为当临界应力达到压缩极限应力,即（9－14）几种常用材料的a、b、λp、λ0值如表9－2所示。表9－2几种常用材料的a、b、λp、λ0值

总之，根据柔度的大小，压杆可以分为三类：λ≥λp的压杆属于细长杆或大柔度杆，临界应力按欧拉公式计算；λ0≤λ≤λp的压杆属于中柔度杆或中长杆，临界应力按经验公式计算；λ<λ0的压杆属于小柔度杆或粗短杆，这类压杆一般不会发生失稳，可能发生屈服失效，临界应力等于材料压缩极限应力。在上述三种情况下，临界应力随柔度变化的曲线如图9－11所示，称为临界应力总图。图9－11

2)抛物线型经验公式

对于由结构钢与低合金钢等材料制作的非细长压杆，工程中还采用抛物线型经验公式计算其临界应力，即（9－15）式中，a1=σs与b1=σ2s/(4π2E)是与材料有关的常数。例如，对于Q235钢，a1=235MPa，b1=0.0068MPa。根据欧拉公式与抛物线型公式，得到结构钢等的临界应力总图如图9－12所示。图9－12

例9－2图9－13所示连杆用铬钼钢制成，连杆两端为柱状铰，横截面积A=720mm2，惯性矩Iz=6.5×104mm4，Iy=3.8×104mm4。试确定连杆的临界载荷。

解（1）失稳形式判断。在轴向压力作用下，连杆可能在x－y平面内失稳（即横截面绕z轴转动），连杆两端柱状铰（见图9－14）的销轴对杆的约束相当于铰支，长度因数μz=1，连杆的柔度为图9－13图9－14在轴向压力作用下，连杆也可能在x－z平面内失稳（即横截面绕y轴转动），连杆两端柱状铰的销轴对杆的约束接近于固定端，其长度因数介于铰支与固定端之间，如取μy=0.7，连杆的柔度为由于λz>λy，故连杆将在x－y平面内失稳。（2）临界载荷计算。由表9－2查得，铬钼钢的λ0=0,λp=55,a=980MPa，b=5.29MPa，该连杆属于中柔度压杆。根据直线型经验公式，其临界载荷为

讨论:该连杆既可能在x－y平面内失稳，也可能在x－z平面内失稳。为使连杆在这两个平面内抵抗失稳的能力接近相等，在截面设计时，应大致保持λy与λz比较接近。该连杆的柔度分别为λz=52.6，λy=48.2，设计比较合理。 9.4压杆的稳定条件与合理设计

9.4.1压杆的稳定条件

为了保证压杆的直线平衡构形是稳定的，并具有一定的安全储备，必须使压杆承受的工作载荷F满足下述条件（9－16）或者（9－17）式（9－16）与式（9－17）中，nst为稳定安全因数，［Fst］为稳定许用压力，为压杆直线平衡构形横截面上的工作应力为稳定许用应力。由于压杆失稳大都具有突发性，危害严重，而且考虑到工程实际中的压杆有初曲与加载偏心等不利因素，因此稳定安全因数一般大于强度安全因数。几种常见压杆的稳定安全因数如表9－3所示。表9－3几种常见压杆的稳定安全因数

需要指出的是，压杆的稳定性取决于整个杆件的弯曲刚度，杆件局部削弱（铆钉孔或油孔）对压杆整体稳定的影响很小，因此，在确定杆的临界载荷与临界应力时，均按未削弱截面计算横截面的惯性矩与截面面积。但是，对于受削弱的横截面，还应进行强度校核。9.4.2折减系数法

在工程中，常采用所谓折减系数法进行稳定性计算，特别是进行截面的设计计算。这种方法借助于材料的强度许用应力［σ］，将其乘以小于1的系数φ，以此作为稳定许用应力，于是，压杆稳定条件为（9－18）式中，φ称为稳定系数或折减系数，其值与压杆的柔度及所用材料有关。结构钢、低合金钢以及木质压杆的φ－λ曲线如图9－15所示。各种轧制与焊接构件的折减系数可查阅有关规范。图9－15

例9－3

图9－16所示立柱，下端固定，上端承受轴向压力F=200kN。立柱用No25a工字钢制成，柱长l=2m，材料为Q235钢，许用应力［σ］=160MPa，规定稳定安全因数nst=5。在立柱中点C处，因结构需要钻一直径d=70mm的圆孔。试校核立柱的稳定性与强度。

解（1）计算立柱柔度，确定压杆类型。由型钢表中查得，No25a工字钢的截面面积A=48.541cm2,截面的主惯性矩分别为Imax=5020cm4,I

min=280cm4,惯性半径分别为imax=10.2cm,imin=2.40cm。因为立柱在铅垂面内左右弯曲与前后弯曲时约束都相同，所以失稳时立柱横截面绕惯性矩最小的形心主轴转动侧弯，因此对于Q235钢，λp=100,λ0=61,该立柱属于中柔度杆。图9－16（2）稳定性校核。对于Q235钢，直线型经验公式中的a=304,b=1.12，立柱的临界应力为立柱的临界载荷为立柱的稳定许用载荷为（3）强度校核。从型钢表中查得，No25a工字钢的腹板厚度δ=8.0mm，所以立柱中点C处横截面的净面积为该截面的工作应力为其值远小于许用应力［σ］，立柱的强度也符合要求。显然，该立柱的承载能力是由稳定性决定的。9.4.3压杆的合理设计

1.尽量减小压杆长度

对于细长杆，其临界载荷与压杆相当长度的平方成反比，因此，减小杆长可以显著提高压杆的承载能力。在某些情况下，通过改变结构或增加支点可以达到减小杆长的目的。例如，图9－17所示的两种桁架，其中的1杆和4杆均为压杆，但图9－17(b)中的压杆的承载能力，要远远高于图9－17(a)中的压杆。图9－17

2.改变压杆的约束条件

支承的刚性越大，压杆的长度系数μ值越小，临界应力越大。例如，将两端铰支的细长压杆变成两端固定约束时，临界应力将成数倍地增加。实际