《电路分析》课件第6章

第6章正弦稳态电路的分析

6.1相量法6.2电路基本定律的相量形式

6.3阻抗和导纳及其连接方式

6.4正弦稳态电路的分析6.5正弦稳态电路的功率

6.6三相电路6.7变压器电路习题6【本章要点】本章首先介绍正弦量的三要素及其相量表示、KCL、KVL及元件VCR的相量形式，阻抗和导纳的概念，正弦稳态电路的相量法求解和功率的计算；然后介绍正弦三相电路电源和负载的连接及其计算；最后介绍耦合电感电路的分析及变压器的概念。本章讨论的是激励和响应都是同频率正弦量的线性时不变电路。由电路理论可知，在同频率正弦激励作用下，线性电路达到稳态时，电路中所有的响应都是同频率正弦量。由于正弦稳态电路的应用范围十分广泛，因此，正弦稳态电路分析是电路理论中的重要内容。6.1相量法

1893年斯台麦兹首先把复数理论应用于电路，从而为分析电路的正弦稳态响应提供了最有力的工具。运用复数分析电路的方法称为相量法。相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简便而有效的方法，可以简化正弦信号的代数运算和微积分运算。借用复数表示正弦信号可以使正弦稳态电路的分析和计算得到简化。6.1.1复数一个复数有多种表示形式。复数A的代数形式为

A=a+jb式中：a为复数A的实部，a∈R;b为复数A的虚部，b∈R;为虚数单位。取复数A的实部和虚部分别用下列符号表示：即Re［A］是取方括号内复数A的实部，Im［A］是取其虚部。在直角坐标系中，以横坐标为实数数轴，纵坐标为虚数数轴，这样构成的平面叫做复平面。一个复数A用对应坐标点的有向线段(向量)表示，如图6－1所示。根据图6－1可知，若复数A与横轴正方向之间的夹角为θ，则复数A可以写成三角形式：图6－1复数的几何表示式中：|A|为复数的模；θ为复数的辐角，θ可以用弧度或度表示。由图6－1可知如下关系式：根据欧拉公式ejθ=cosθ+jsinθ可以把复数的三角形式改写成指数形式，即A=|A|ejθ

复数的指数形式还可以改写成极坐标形式，即A=|A|∠θ复数的加、减运算用代数形式进行。设两个复数分别为A1=a1+jb1，A2=a2+jb2,则

A1±A2=(a1+jb1)±(a2+jb2)

=(a1±a2)±j(b1±b2)即几个复数相加或相减就是它们的实部和虚部分别相加或相减。复数的加、减运算也可用平行四边形法则在复平面上以向量的相加和相减求得，如图6－2示。图6－2复数代数和的图解法(a)相加；(b)相减复数的乘法运算既可采用代数形式，又可采用指数形式(或极坐标形式)。两个复数相乘，用代数形式可表示为

A1×A2=(a1+jb1)×(a2+jb2)

=(a1a2－b1b2)+j(a1b2+a2b1)复数相乘用指数形式比较方便，即可见，两个复数乘积的模等于这两个复数的模的乘积，而其辐角等于这两个复数辐角的和。复数的除法运算也有两种方法，即代数形式和指数形式(或极坐标形式)。两个复数相除，用代数形式可表示为式中(a2－jb2)为A2的共轭复数。当用指数形式(或极坐标形式)进行复数的除法运算时，有由上式可见，两个复数商的模等于这两个复数模的商,而其辐角等于这两个复数辐角的差。可见，采用指数运算形式进行除法运算更具优越性。例6－1已知A1=4＋j3，A2=6－j8。求：

(1)A1+A2；

(2)A1－A2；

(3)A1·A2；

(4)A1/A2。解(1)A1+A2=(4+j3)+(6－j8)=10－j5=11.18∠－-26.6°

(2)A1－A2=(4+j3)－(6－j8)=－2+j11=11.18∠100.3°

(3)A1·A2=5∠36.9×10∠－53.1°=50∠－16.2°

(4)6.1.2正弦量电路中按正弦规律随时间作周期变化的电压、电流，统称为正弦量。正弦量可用正弦函数表示，也可用余弦函数表示。本书用余弦函数表示正弦量。正弦量在任一瞬时的值称为瞬时值，用i、u表示。设有正弦电流i，i的图形如图6－3所示，其数学表达式为(6－1)

图6-3正弦交流电流同理，正弦电压的数学表达式为(6－2)式中的三个常数Im(Um)、和称为正弦量的三要素。下面以正弦电流i为例，具体讨论正弦量的三要素。

Im

称为正弦量的振幅。它是正弦量在整个变化过程中所能达到的最大值，即时，有imax=Im是随时间变化的角度，反映的是正弦量的变化进程，称为正弦量的相位或相角。ω称为正弦量的角频率，它是正弦量的相位随时间变化的角速度，即角频率的单位为rad/s。正弦量变化一周，瞬时相位变化2π弧度，于是得正弦量的角频率ω、周期T和频率f之间的关系为频率f的单位为赫［兹］(Hz)。我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率，有些国家(如美国、日本等)采用60Hz。工程中还常以频率区分电路，如音频电路、高频电路、甚高频电路等。

t=0时的瞬时相位，称为正弦量的初相位(角)，简称初相。初相的单位用弧度或度表示，一般规定初相的绝对值在0～π之间，即。这里须说明，正弦量的初相与所选的时间起点有关。在工程中，常需要把正弦电流或电压在一个周期内产生的平均效应换算为与之相等的直流电。可以用有效值来表征这种效应，用相对应的大写字母表示。有效值I定义如下：令正弦电流i和直流电流I分别通过阻值相等的电阻R，如果在相等的时间T内，两个电阻消耗的能量相等，即可得I为(6－3)由于，代入上式可得(6－4)同理可得正弦电压的有效值与振幅的关系为(6-5)在电路中，任意两个同频率的正弦量之间的相位之差称为相位差,用表示。相位差用来区别同频率正弦量的相位关系。例如，设两个同频率的正弦电压u、正弦电流i分别为它们的相位差用表示，则有由上式可知，同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与时间无关的常数。当=0时，表明，称为电压u与电流i同相位，简称同相。如图6－4(a)所示，电压u和电流i同时达到零点，同时达到最大值。当＞0时，表明u＞i，称为电压u超前于电流i，或称电流i滞后于电压u,如图6－4(b)所示。当＜0时，表明u＜i，称为电流i超前于电压u，或称电压u滞后于电流i,如图6－4(c)所示。当=±π时，称为电压u和电流i相位相反，简称反相，如图6－4(d)所示。当=±π/2时，称为电压u和电流i正交，如图6－4(e)所示。图6－4两同频率正弦量的相位关系通过以上的讨论可知，两个同频率的正弦量的计时起点(t=0)不同时，它们的相位和初始相位不同，但它们的相位差不变，即两个同频率的正弦量的相位差与计时起点无关。

例6－2

已知正弦交流电压u=311cos(314t+30°)V，求电压的有效值和频率。

解根据式(6－5)可知电压的有效值为

电压的频率为

例6－3在某电路中，电流为i=8cos(ωt+30°)A，u1=120cos(ωt－180°)V,u2=90sin(ωt+45°)V，求i与u1及i与u2的相位关系。

解

i与u1的相位差

取在－π与π之间，，i滞后于u1150°。先将u2化为余弦函数

i与u2的相位差

所以i

超前于u275°。6.1.3相量法基础在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频正弦量。处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路，又可称为正弦电路。在分析线性电路的正弦稳态响应时，经常进行正弦量的代数运算和微分、积分运算，利用三角函数关系进行正弦量的这些运算比较麻烦。若利用复数表示正弦量，可以使正弦稳态电路的分析和计算得到简化。下面，介绍相量的概念及如何将它用于正弦稳态分析。如果复数A=|A|ejθ中的辐角，则A是一个复指数函数，根据欧拉公式ejθ=cosθ+jsinθ可展开为

显然

所以正弦量可以用上述形式的复指数函数表示，使正弦量与其实部一一对应起来。若以正弦电流为例，有

(6－6)由式(6－6)可以看出，复指数函数中的是以正弦量的有效值的模为模，以初相为辐角的一个复常数，这个复常数定义为正弦量的相量，记为,即(6－7)在大写字母I上加小圆点来表示相量，不但可区分有效值的表示，而且也可以与一般的复数区分开来。同理，设正弦电压则其相量为(6－8)在实际应用中，只要已知正弦量就可以直接写出它的相量。反之，当已知相量写出相对应的正弦量时，必须给出正弦量的角频率ω，因为相量没有反映正弦量的频率。例如，正弦量，它的有效值相量就是220∠45°，若已知角频率ω=100rad/s的正弦量的有效值相量为10∠30°，则此正弦量为。相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图，如图6－5所示。图6－5正弦量的相量图这里须说明：只有正弦量才能用相量表示，相量不能表示非正弦量。只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，不同频率的正弦量不能画在一个相量图上，否则无法比较和计算。相量也可用正弦量的振幅与初相构成的复数表示，即

例6－4

试写出下列各式电流的相量，并画出相量图(如图6－6所示)。

(1)；

(2)；

(3)。图6－6例6－4的相量图解(1)

(2)因为所以，

(3)因为所以，例6－5已知正弦量的角频率为ω，相量表示如下：(1)(2)求各电压相量所代表的电压瞬时值表达式。解(1)因是振幅相量，所以

U1m=5V故

u1=5cos(ωt－30°)V

(2)因是有效值相量，所以

故

6.2电路基本定律的相量形式基尔霍夫定律和各种元件上的伏安关系是分析电路的基础。为了使用相量分析正弦稳态电路，必须研究基尔霍夫定律和各种元件上伏安关系的相量形式。6.2.1基尔霍夫定律的相量形式

1．KCL的相量形式在第1章里介绍的KCL方程为∑i=0在正弦交流电路中，如果各项电流均为同频率的正弦量,如图6－7所示，则节点0的KCL表达式为i1+i2－i3－i4=0其中…。根据式(6－6)可得因对所有t上式成立，所以经推导可得上式为图6－7(a)所示回路的KCL的相量形式。与其对应的相量形式的电路模型如图6－7(b)所示。此结论推广后，即为相量形式的KCL，对任一节点满足(6－9)图6－7

KCL的相量形式

2．KVL的相量形式时域内的KVL为∑u=0在正弦交流电路中，此式各项为同频率的正弦量。电路如图6－8(a)所示，回路的电压方程为u1+u2+u3－u4=0其中,…。经与KCL相量形式类似的推导可得图6-8KVL的相量形式上式为图6－8(a)所示回路的KVL相量形式。与其对应的电路相量模型如图6－8(b)所示。同理可以推出相量形式的KVL，对任一回路满足(6－10)式(6－10)表明正弦电压用相量表示后，KVL仍然适用。6.2.2基本元件VAR的相量形式

1．电阻元件VAR的相量形式

设电阻元件中流过的电流为，其两端的电压为，如图6－9(a)所示。图6－9电阻元件电压、电流瞬时值关系电阻元件的伏安关系为u=Ri

将电流和电压代入上式可得(6－11)比较式(6－11)可得相量关系式(6－12)由式(6－12)可以看出：

(1)电阻元件电压、电流大小关系为U=RI或Um=RIm

(2)电阻元件电压、电流相位关系为即电压与电流同相。电阻元件的电压、电流波形如图6－9(b)所示，其相量模型和电压、电流的相量图分别如图6－10(a)、(b)所示。图6－10电阻元件电压、电流相量关系

2．电感元件VAR的相量形式

设电感元件中流过的电流为两端的电压为，其，如图6-11(a)所示。图6－11电感元件电压、电流瞬时值关系电感元件的伏安关系为将电流和电压代入上式可得(6－13)由式(6－13)可得由上式可得电感元件电压、电流相量关系为(6－14)由式(6－14)可以看出：

(1)电感元件电压、电流大小关系为U=ωLI或Um=ωLIm

(2)电感元件电压、电流相位关系为

即电压超前电流90°。

(3)电压与电流的大小之比还可以表示为(6－15)式中，XL=ωL=2πfL所起的作用与电阻相同，具有电阻的量纲，称为感抗，单位是Ω。由式(6－15)可见，感抗与ω和L成正比，即对于一定的电感，频率越高，电感呈现的感抗越大，反之越小。因此，电感对低频呈现的阻力小。直流相当于频率为零的交流，在这种情况下，电感呈现的阻力为零，可看成短路，这就是我们讲的电感具有“通直隔交”的特性。有了感抗的概念后，式(6－14)还可表示为(6-16)电感元件的电压、电流波形如图6－11(b)所示，其相量模型和电压、电流的相量图分别如图6－12(a)、(b)所示。图6－12电感元件电压、电流相量关系

例6－6如图6－13(a)所示电路，设电压，求电感电流i。图6－13例6－6用图

解首先，画出相量模型(如图6－13(b)所示)。感抗为XL=ωL=100×4=400Ω由电压V可得由电感元件电压、电流相量关系可得所以电流i为

3．电容元件VAR的相量形式设电容元件中流过的电流为，其两端的电压为，如图6－14(a)所示。图6－14电容元件电压、电流瞬时值关系电感元件的伏安关系为将电流和电压代入上式可得比较式(6－17)可得由上式可得电容元件电压、电流相量关系为(6－18)由式(6－18)可以看出：

(1)电容元件电压、电流大小关系为(2)电容元件电压、电流相位关系为即电压滞后电流90°。由式(6－18)可见，电压与电流的大小之比还可以表示为(6－19)式中，所起的作用与电阻相同，具有电阻的量纲，称为容抗，单位是Ω。由式(6－19)可见，容抗与ω和C成反比，即对于一定的电容，频率越高，电容呈现的容抗越小，反之越大。因此，电容对高频呈现的阻力小。直流相当于频率为零的交流，在这种情况下，电容呈现的阻力为无穷大，可看成开路，这就是我们讲的电容具有“通交隔直”的特性。有了容抗的概念后，式(6－18)还可表示为(6－20)电压、电流的相量图分别如图6－15(a)、(b)所示。图6－15电容元件电压、电流相量关系例6－7电路如图6－16(a)所示，设电流，求电容电压u。图6－16例6－7用图解首先，画出相量模型(如图6－16(b)所示)。容抗为由电压可得由电容元件电压、电流相量关系可得所以电压u为6.3阻抗和导纳及其连接方式为了方便分析正弦稳态电路，已经引入相量的概念。若把我们已熟悉的电阻电路的分析方法引入到正弦稳态电路的分析中，需了解正弦稳态电路的阻抗和导纳的概念。6.3.1阻抗和导纳图6－17(a)所示为一个不含独立电源的线性二端网络，在正弦稳态情况下，其端口电流和电压均为同频率的正弦量。应用相量法，把端口的电压相量和端口电流相量之比定义为该无源二端网络的阻抗Z，即(6－21)等效电路如图6－17(b)所示，阻抗的单位为欧［姆］(Ω)。式(6－21)中，是阻抗Z的模，称为阻抗模，即电压有效值除以电流有效值，阻抗模的单位为欧［姆］(Ω)。是阻抗Z的辐角，称为阻抗角，即电压和电流的相位差。阻抗可用代数形式表示为

Z=R+jX(6－22)其实部R称为阻抗的电阻分量，虚部X称为阻抗的电抗分量，它们的单位都是欧［姆］(Ω)。由式(6－21)和式(6－22)可知如下关系式：二者关系可用一个三角形表示，如图6－17(c)所示，此三角形称为阻抗三角形。6－17无源二端网络及其阻抗由阻抗的定义可知，如果该网络是由单一元件R、L或C组成的，则对应的阻抗分别为式中：XL称为感抗;XC称为容抗。把阻抗Z的倒数定义为导纳，用Y表示，即(6－23)等效电路如图6－18(b)所示，导纳的单位为西［门子］(S)。|Y|是导纳的模，称为导纳模，是导纳的辐角，称为导纳角，其中导纳Y的代数形式为Y=G+jB其实部G称为导纳的电导分量，虚部B称为导纳的电纳分量，它们的单位都是西［门子］(S)。 由式(6－23)和式(6－24)可知如下(6－24)关系式：(6－24)二者关系可用一个三角形表示，如图6－18(c)所示。图6－18无源二端网络及其导纳由导纳的定义可知，如果该网络是由单一元件R、L或C组成的，则对应的导纳分别为式中:G称为电导；BL称为感纳;BC称为容纳。对于不含独立电源的线性二端网络(如图6－19(a)所示)，可以等效为一个阻抗(如图6－19(b)所示)，也可以等效为一个导纳(如图6－19(c)所示)。阻抗和导纳互为倒数关系，即(6－25)图6－19阻抗与导纳由式(6－25)可知，阻抗与导纳的模和相位角的关系分别为若用代数形式表示，则(6－26)式中同理，将阻抗变换为导纳时，有(6-27)式中由以上各式可知，一般情况下，阻抗中的电阻和导纳中的电导、阻抗中的电抗和导纳中的电纳都不是互为倒数关系。6.3.2阻抗、导纳的串联和并联引入阻抗和导纳的概念后，阻抗和导纳串、并联电路的计算，在形式上与电阻的串、并联电路相似，计算公式相同。下面以两个阻抗和导纳的串、并联为例，给出相应计算公式，此结论可以推广到n个阻抗和导纳的串、并联的情况。

1．阻抗的串联和并联如图6－20(a)所示为两个阻抗的串联。设阻抗Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2，其等效阻抗为(6－28)分压公式为(6－29)图6－20(b)所示为两个阻抗的并联，其等效阻抗为(6－30)分流公式为(6－31)

2．导纳的串联和并联图6－21(a)所示为两个导纳的串联。设导纳Y1=G1+jB1，Y2=G2+jB2，其等效导纳为(6－32)分压公式为(6－31)图6-21两个导纳的串、并联图6－21(b)所示为两个导纳的并联，其等效导纳为Y=Y1+Y2=G1+G2+j(B1+B2)(6-34)分流公式为(6-35)例6－8正弦稳态电路如图6－22(a)所示。已知ω=2000rad/s，求电路的等效阻抗，并求出最简等效电路。图6－22例6－8用图解由图6－22(a)所示的元件参数可知感抗和容抗分别为由此可知两条支路的阻抗分别为等效阻抗为可将电路等效为电阻与电感的串联或电阻与电感的并联，如图6－22(b)、(c)所示。其中取阻抗的倒数，得所以

例6－9如图6－23(a)所示为正弦稳态电路，已知R1=50Ω，R2=100Ω，C=0.1μF，L=1mH，ω=105rad/s,求a、b端的等效阻抗Za、b。图6-23例6-9图

解首先计算感抗与容抗，即设电感支路的阻抗为Z1，R2与C串联支路的阻抗为Z2，即相量模型电路如图6－23(b)所示。根据阻抗串、并联关系得所以

例6－10

在图6－20(a)中，已知两个阻抗分别是Z1=j10Ω，Z2=10－j10Ω，电源电压为，求电路中的总阻抗Z及电流、和。解首先写出阻抗的极坐标形式，即可用两种方法求总电流解法1：两个阻抗并联的等效阻抗为所以电路总电流相量为解法2：电路的等效导纳为所以电路总电流相量为因此，各支路电流相量分别为6.4正弦稳态电路的分析对于正弦稳态电路，一般采用相量法对电路进行分析。相量法的实质是将正弦稳态中的电压和电流用相量表示，元件的参数用阻抗或导纳表示，即电路用相量模型表示。对于一般网络，前面介绍的如网孔电流法、节点电压法和电源等效法都适合分析电路的相量模型。

1．网孔电流法例6－11图6－24所示为一正弦稳态电路的相量模型，列写网孔方程。图6-24网孔分析法示例

解由于非公共支路有一电流源，因此只需列两个网孔方程：整理得2．节点电压法

例6－12图6－25所示为一正弦稳态电路的相量模型，列写节点电压方程。图6－25节点电压法示例解选节点电位、及参考点如图6－25所示，则节点电压方程为

3．等效电源定理例6－13图6－26(a)所示为一正弦稳态电路的相量模型，求戴维宁相量模型。图6－26戴维宁定理示例

解由图6－26(a)可见，2Ω电阻和－j2Ω电容并联，所以，首先可将图6－26(a)化简为图6－27(a)。图6－27图6－26的化简图由图6－27(a)可得所以求等效阻抗采用外加电压法，其相量模型如图6－26(b)所示，将图中的电容与电阻的并联化简可得图6－27(b)，由图6－27(b)可得所以根据求得的和Z0可得戴维宁相量模型,如图6－28所示。

图6-28戴维南相量模型6.5正弦稳态电路的功率在正弦稳态下，正弦稳态电路的功率和能量如何计算，这是我们关心的问题。本节主要讨论正弦稳态一端口电路的平均功率、无功功率、视在功率、功率因数及复功率的概念和计算。如图6－29所示的一端口电路N，其内部仅含电阻、电感和电容等无源元件。在正弦稳态情况下，设则一端口电路N在任一瞬间所吸收的功率为图6-29一端口电路的功率我们把p称为一端口电路N的瞬时功率。如果令电压和电流的相位差，则得(6-36)由式(6－36)可知，瞬时功率有两个分量：第一个为恒定分量，且恒大于零；第二个为正弦分量，其频率为电压或电流频率的两倍。电压u、电流i和瞬时功率p的波形如图6－29(b)所示。瞬时功率是随时间而改变的正弦函数，其实际意义不大，为更明确地表述正弦稳态电路中能量的消耗和交换的情况，需引入以下几种功率的概念。

1．平均功率所谓平均功率,是指瞬时功率在一个周期内的平均值，又称为有功功率，用P表示，即由于是在一个周期内积分，故上式第二项积分为零，于是得平均功率为(6－37)由式(6－37)可知，平均功率表示一端口实际消耗的功率。在正弦稳态情况下，平均功率P不仅与电压和电流的有效值的乘积有关，而且与它们之间的相位差有关。平均功率的单位是瓦［特］(W)。式(6－37)中,称为功率因数，用λ表示，即。

2．无功功率无功功率可用来描述电路内部与外电路能量交换的速率，其定义为(6-38)无功功率只是一个计算量，并不表示作功的情况。无功功率的单位是乏(var)。

3．视在功率为表示电力设备的容量而引入了视在功率，其定义为S=UI(6-39)即视在功率等于一端口电压和电流有效值的乘积，其单位为伏安(V·A)。有功功率P、无功功率Q和视在功率S之间存在下列关系：如果一端口N为纯电阻电路，则=0，平均功率P=UI=RI2=GU2；无功功率QR=0，表示纯电阻电路与外电路没有能量交换现象发生，为纯耗能电路。如果一端口N为纯电感电路，则，平均功率P=0，无功功率QL=UI

；如果一端口N为纯电容电路，则，平均功率P=0，无功功率QL=－UI

。这表示电感(电容)的平均功率为零，它们不消耗能量，但与外界有能量交换。4．复功率

为了分析计算的方便，将平均功率P、无功功率Q和视在功率S的关系用复功率描述，用表示，即(6-40)式中，为端口电流相量的共轭复数。复功率的单位为V·A。

如果电路为无源电路，则(6-41)由式(6－41)可知，视在功率S是复功率的模，其辐角为电压和电流的相位差。引入复功率后，可以使用相量法计算所得的电压相量和电流相量，使平均功率、无功功率和视在功率的表达和计算更为简便。但应注意，复功率只是一个计算量，不代表任何物理意义。可以证明，正弦稳态电路中总有功功率是电路各部分有功功率之和，总的无功功率是电路各部分无功功率之和，即有功功率和无功功率分别守恒。

例6－14电路如图6－30所示，求电源向电路提供的有功功率、无功功率、视在功率及功率因数。图6-30例6-11图

解解法1：利用各功率定义计算功率。首先求出从电源端看进去的等效阻抗，即电流为有功功率为无功功率为视在功率为功率因数为解法2：利用复功率计算功率。有功功率为

P=105.64W无功功率为

Q=－28.82var视在功率为

S=109.5V·A功率因数为

例6－15电路如图6－31所示，已知U=20V,且和同相，电路吸收的平均功率为P=100W，求XC、XL。图6-31例6-12图

解因为和同相，则电路吸收的平均功率为P=UI

从而求得电路等效阻抗为纯电阻，由阻抗串联的关系得因为阻抗Z的实部为4，虚部为0，即故XC=10Ω(负根无意义，舍去),XL=2Ω。6.6三相电路三相电路是由频率和振幅相同、相位互差120°的3个正弦交流电源同时供电的系统，其应用涉及工业用电和日常生活用电等领域。目前，国内外电力系统普遍采用三相制供电方式。三相电路分析中，以对称三相电路分析为主，且对称三相电路的分析方法可以扩展到非对称三相电路。6.6.1三相电源及其连接三相电源是由3个正弦电压源组成的，3个电压源的频率和振幅相同，相位互差120°，它们分别记为uA、uB、uC，分别称为A相、B相和C相电压，电路符号如图6－32所示。图6-32三相电源电路符号若以A相为参考正弦量，其瞬时值表达式为(6－42)它们的波形如图6－33(a)所示，对应的相量形式为(6－43)相量图如图6－33(b)所示。uA、uB、uC

就是对称三相正弦电压，它们对应的电源称为对称三相电源。对称三相电压的和满足：(6－44)即对称三相电源的电压瞬时值之和为零，电压相量之和也为零。相位的次序称为相序，上述三相电源的次序为A、B、C，称为正相序。反之，若B相电压超前A相电压120°，C相电压又超前B相电压120°，则称为反相序。由此可知，只要知道相序和任一相电压，就可以确定其他两相的电压。图6－33对称三相电源波形和相量图在实际使用中，对称三相电源常接成Y形(星形)和△形(三角形)向外供电。图6－34(a)[JP]是三相电源的Y形连接方式，从三相电源的正极性端引出三根输出线，称为相线(俗称火线)，三相电源的负极性端连接为公共点N，称为中性点。由中性点引出的线称为中性线(俗称零线)。图6－34三相电源的Y形连接及相量图(a)Y形连接；(b)相量图在Y形连接中，相线与中性线间的电压、、称为相电压，相电压的有效值用Up表示。相线之间的电压、、称为线电压，线电压的有效值用Ul表示。Y形连接线电压和相电压的关系为(6－45)由式(6－45)可知，线电压的有效值是相电压的有效值的倍，即，线电压的相位超前相应相电压30°。线电压和相电压的关系可用如图6－34(b)所示的相量图表示。如果将三相电源的正、负极端依次连接，从三个连接点引出三根相线，则称为三相电源的△形连接方式，如图6－35所示。图6－35三相电源的△形连接由图可知，线电压等于相电压。即(6－46)由上式可知，线电压的有效值与相电压的有效值相等，即Ul=Up，且相位相同。当对称三角形正确连接时，，所以电源内部无环流。若接错，将形成很大的环流，从而使三相电源无法工作。所以，三相电源一般不接成三角形。6.6.2三相电路的分析在三相电路中，三个负载可连接成Y形或△形，并且三个负载可分别用三个阻抗等效代替。如果三个阻抗参数相同，则称为对称三相负载，否则称为不对称负载。在这里只讨论对称三相负载电路的连接。如图6－36所示为负载的Y形连接，也是最常用的一种电路结构。其中，NN′称为中性线，ZN为中性线阻抗。三相电源和三相负载之间用四根导线连接的电路系统称为三相四线制。三相电路中，流过相线的电流称为线电流，其有效值用Il表示；流过各相负载的电流称为相电流，其有效值用Ip表示。显然，在负载Y形连接时，各相电流等于各线电流。图6－36负载的Y形连接(对称三相四线制)图6－36中只有两个节点，设N为参考点，节点N′与N之间的电压用表示，负载阻抗，可列出节点方程为(6-47)++由于三相电源对称满足，因此可得(6-48)由此可知，电源中性点N和负载中性点N′间电压为零，即中性线上的电流。因此，中性线可断路处理，也可短路处理。在图6－36中，把中性线短路，设，各线电流(相电流)分别为(6-49)式中，Ip为各相电流的有效值，为阻抗角。由上式可知，各线电流(相电流)对称，中线电流为(6-50)式(6－50)表明，在负载Y形连接的三相电路中，中线可以省去。但应注意，当负载不对称时，中线不能随意去掉。需要说明的是，在实际的三相电路中，有许多小功率单相负载分别连接到各相，很难使各相负载完全对称，而且当对称三相电路发生断线、短路等故障时，也将使电路成为不对称的三相电路。在不对称的三相电路中，中性线上电流不为零，两端的电压也不为零，这种现象称为中心点位移。当较大时，会造成负载端电压的严重不对称(有的相电压过高，有的相电压过低)，甚至引发事故，因此应尽量减小中性线阻抗ZN。过高，以中性线断路最为严重，因此在实际电路中，中性线上不能安装开关和保险丝。如图6－37所示为负载的△形连接，从图中可以看出，负载端的线电压和相电压是相等的。图6－37负载的△形连接设其线电压分别为(6－51)负载的相电流分别为(6－52)式中，负载相电流的有效值为，由图6－37可求得各线电流分别为由此可以看出，三相负载△形连接时，如果相电流对称，则线电流也是对称的。线电流的有效值是相电流有效值的，即。线电流在相位上滞后于相应的相电流30°。例6－16

已知Y形连接三相对称负载阻抗Z=100∠45°Ω，线电压Ul=380V，求负载相电压Up、线电流Il。解相电压每相负载流过的电流因为负载是Y形连接，所以Ip=Il=2.2A

例6－17已知对称三相三线制的线电压为380V，每相负载阻抗为Z=10∠53.1°Ω，求负载Y形连接和△形连接时电路的电流。解(1)当负载为Y形连接时，电路如图6－38(a)所示。相电压的有效值为可以设想电源中点N与负载中点N′用短路线连接，设,可得根据对称关系可以知道其他两相电流分别为

(2)当负载为△形连接时，电路如图6－38(b)所示。设,可得其他两相负载的电流分别为由式(6－53)可得线电流为图6－38例6－17用图(a)Y形连接；(b)△形连接6.6.3三相功率在三相电路中，不论负载是Y形连接还是△形连接，总的有功功率必定等于各相有功功率之和。当三相负载对称时，每相的有功功率是相等的，即(6－54)当对称负载Y形连接时，有当对称负载△形连接时，有因此，不论对称三相负载是Y形连接还是△形连接，三相负载的总有功功率为(6-55)即三相负载的总有功功率的计算公式是相同的。同理，可得三相无功功率和视在功率分别为(6-56)(6-57)

例6－18有一台三相电动机，每相绕组的等效阻抗为Z=16+j12Ω，对称三相电源的线电压为Ul=380V，求:(1)当电动机作Y形连接时的有功功率；(2)当电动机作△形连接时的有功功率。解(1)当电动机作Y形连接时，有(2)当电动机作△形连接时，有从例6－18有功功率的计算结果可看出，电动机作不同连接时所消耗的功率是不同的，作△形连接时消耗的功率等于作Y形连接时消耗的功率的3倍。在本例中，电源电压为线电压，电动机作Y形连接时消耗的功率较小，所以当电源电压为线电压时，电动机应作Y形连接；而当电源电压为相电压时，电动机应作△形连接。6.7变压器电路

耦合电感和变压器在工程中有着广泛的应用。本节介绍耦合电感的概念和含有耦合电感电路的计算及变压器电路的分析。6.7.1互感耦合电路

1．耦合电感

图6－39所示是两个距离很近的电感线圈，线圈1有N1匝，线圈2有N2匝。当线圈1通以电流i1时，在线圈1中产生的磁通为Φ11

，称为自感磁通；其中一部分磁通Φ21也穿过线圈2，称为互感磁通。同理，当线圈2通以电流i2时，在线圈2中产生的磁通为Φ22，称为自感磁通；其中一部分磁通Φ12也穿过线圈1，称为互感磁通。于是可得互感磁链Ψ12和Ψ21，即图6－39耦合电感元件(6-58)仿照自感系数的定义，互感系数为(6-59)与自感系数一样，互感系数简称为互感，其单位与自感单位相同。可以证明，线性耦合电感M21=M12，通常用M表示，且M为常数。为了定量表示两个线圈耦合的紧密程度，定义一个参数k，称为耦合系数，即(6－60)即耦合系数等于互感系数与两线圈自感系数比值的几何平均值。耦合系数是一个无量纲的参数。由式(6－60)可知0≤k≤1，k值的大小反映了两线圈耦合的强弱。若k=0，则说明两线圈之间没有耦合；若k=1，则说明两线圈之间耦合最紧，称全耦合。在工程实际中，为了消除两线圈之间的耦合，可将它们互相垂直放置，如图6－40(a)所示；若想增加两线圈的耦合，可以将两线圈进行双线并绕，如图6－40(b)所示。图6－40耦合系数与线圈相互位置的关系(a)互相垂直；(b)双线并绕2．耦合电感元件的电压、电流关系

当两个互感线圈上通有电流时，每一线圈的磁链可以看做是自磁链与互磁链之和。当自磁通与互磁通方向一致时，称磁通相助，如图6－41(a)所示。线圈1的总磁链Ψ1和线圈2的总磁链Ψ2分别为(6－61)设两线圈上电压、电流参考方向关联，且电流的方向与自磁通方向符合右手螺旋定则，则有(6－62)当两线圈的自磁通与互磁通方向相反时，称为磁通相消，如图6－41(b)所示。线圈1的总磁链Ψ1和线圈2的总磁链Ψ2分别为(6－63)线圈上的电压分别为(6－64)图6－41磁通相助与磁通相消

(a)磁通相助；(b)磁通相消通过上述分析可知，线圈的电压、电流参考方向为关联参考方向时，线圈电压等于该线圈自感电压与互感电压的代数和。其中，自感电压项前恒取正号；互感电压项前，磁通相助时取正号，磁通相消时取负号。因此，在列写耦合电感元件的电压和电流的关系式时，必须知道两线圈是磁通相助还是相消。为了方便判断磁通相助还是相消，引入同名端的概念。同名端是这样规定的：当电流从两线圈各自的某个端子同时流入(或同时流出)时，若两线圈产生的磁通相助，则称这两个端子为耦合线圈的同名端，并用“·”或“*”表示。在图6－42(a)中，a和c(b和d)端是同名端；b和c(a和d)端则为异名端。如果电流不是同时从两个互感线圈同名端流入(或流出)，则它们各自产生的磁通相消。有了同名端的规定后，图6－42(a)所示的互感线圈可用图6－42(b)所示的模型表示。图6－42互感线圈的同名端在图6－42(b)中，设电流i1、i2分别从a端、c端流入，可认为磁通相助。设线圈上的电压、电流为关联参考方向，则两线圈上的电压分别为(6－65)图6－43磁通相消情况的互感线圈模型在图6－43中，设电流i1、i2分别从a端、c端流入，可以认为磁通相消。设两个互感线圈上的电压、电流为关联参考方向，则两线圈上的电压分别为(6－66)例6－19

电路如图6－44所示，求出互感线圈的电压、电流关系式。图6－44例6－19用图解因为L1上的电压u1与电流i1为非关联参考方向，所以u1中的自感压降为。观察本互感线圈的同名端位置及两电流i1、i2流向，可知i1从同名端流出，i2也从同名端流出，属磁通相助，则u1中的互感压降部分与它的自感压降部分同号，即为。将L1上自感压降部分与互感压降部分代数和相加，即得L1上电压为因为L2上的电压u2与电流i2为关联参考方向，所以u2中的自感压降部分为。考虑磁通相助情况，互感压降部分与自感压降部分同号，所以u2中的互感压降部分为。将L2上自感压降部分与互感压降部分代数和相加，即得L2上电压为6.7.2含有耦合电感电路的计算两个具有耦合关系的互感线圈，每一线圈上的电压不但与本线圈上的电流变化率有关，而且与另一线圈上的电流变化率也有关。其电压、电流关系是因同名端的位置及电压、电流参考方向的不同而不同。为了使含有互感电路的分析简单化，可用电路等效变化的原理，把耦合电感线圈进行去耦等效，使其转化成不含有互感的电路。本节讨论耦合电感线圈在不同连接关系下的去耦等效方法。1．耦合电感的串联等效如图6-45(a)所示为互感线圈顺向串联，其相连的端子是异名端。设电压、电流参考方向和线圈的同名端如图6-45(a)所示，根据KVL，可得式中(6-67)称为两互感线圈顺接串联时的等效电感。图6-45(b)所示为等效电感电路。图6-45耦合电感的顺串等效如图6－46(a)所示为互感线圈反向串联电路，其相连的端子是同名端。同理可得等效电感为

Lab=L1+L2－2M

(6－68)式(6－68)称为两互感线圈反接串联时的等效电感。图6－46(b)所示为互感线圈反向串联的等效电感电路。图6－46耦合电感的反串等效

2．耦合电感的并联等效如图6-47(a)所示为互感线圈同侧并联，其同名端相接。设电压、电流的参考方向和同名端如图所示，根据KCL。可得i=i1+i2

(6－69)图6-47互感线圈同侧并联等效根据互感的电压、电流关系，其电压方程为(6－70)设外加正弦交流电压，则式(6-70)可写为相量形式，即(6－71)解得式中(6－72)互感线圈同侧并联的等效电路如图6－47(b)所示。互感线圈异侧并联的电路如图6－48(a)所示，即异名端相接。同理可知等效电感为(6-73)互感线圈异侧并联的等效电路如图6－48(b)所示。图6-48互感线圈异侧并联等效

3．耦合电感的T型等效互感线圈的T型去耦等效属于多端子电路的等效，分同名端为公共端和异名端为公共端两种情况。下面讨论这两种情况的等效方法。

1)同名端为公共端的T型去耦等效图6-49(a)所示为同名端为公共端的互感电路，设电压、电流的参考方向如图所示，根据耦合电感的电压、电流关系，可得(6－74)经数学变换，式(6-74)可改写为(6-75)(6-76)由式(6-75)、(6-76)可得T型等效电路如图6-49(b)所示。图6-49(b)所示T型结构电路中电感间无互感(无耦合)，其自感系数分别为L1－M、L2－M

、M，所以称其为互感线圈的T型去耦等效电路。图6-49(b)中的b、d端为公共端，而与之等效的图6-49(a)中互感线圈的b、d端是同名端，所以，将这种情况的去耦等效称为同名端是公共端的T型去耦等效。若把图6-49(a)中的a、c端看作公共端，则可将其等效为图6-49(c)所示的形式。图6－49同名端为公共端的T型去耦等效

2)异名端为公共端的T型去耦等效图6－50(a)所示的是异名端为公共端的互感电路。设电压、电流的参考方向如图6－50(a)所示，根据耦合电感的电压、电流关系，可得(6－77)经数学变换，式(6－77)可改写为(6-78)(6-79)由式(6-78)、(6-79)可得T型等效电路如图6-50(b)所示。同样，把a、c端看作公共端，图6-50(a)也可等效为6-69(c)的形式。图6-50异名端为公共端的T型去耦等效例6－20如图6－51(a)所示的并联互感线圈，接在f=50Hz，u=31.4V的正弦交流电源上，已知R1=20Ω，L1=0.1H，R2=30Ω，L2=0.2H，M=0.1H，求等效阻抗Z和电流i。图6－51例6－20用图解：首先用T型等效法将图6-51(a)等效为图6-51(b)所示电路，等效阻抗Z为电流i为6.7.3空芯变压器不含铁芯(或磁芯)的耦合线圈称为空芯变压器。如图6－52所示为空芯变压器的电路模型，R1和R2表示初级和次级线圈的电阻。通常，空芯变压器的初级接交流变压器，次级接负载。电源提供的能量通过磁场耦合传递到负载。下面讨论含空芯变压器电路的正弦稳态分析。图6－52空芯变压器的电路模型1．端接负载的空芯变压器图6－53(a)所示为空芯变压器次级接负载的相量模型。可采用外加电压源计算端口电流的方法求输入阻抗，然后得到单口的等效电路。该电路模型的网口方程为(6-80)(6-81)由式(6－81)可求出(6－82)式中:Z22=R2+jωL2+ZL是次级回路的阻抗。将它代入式(6－80)，可求得输入阻抗(6－83)式中：Z11=R1+jωL1是初级回路阻抗;Zref是次级回路在初级回路的反映阻抗,即(6－84)若负载开路Z22→∞，Zref=0，则Zi=Z11=R1+jωL1，不受次级回路的影响；若，则输入阻抗Zi=Z11+Zref，其中Zref反映次级回路的影响。例如，Zref的实部反映次级回路中电阻的能量损耗，Zref的虚部反映次级回路中储能元件与初级的能量交换。由式(6-83)可得到空心变压器次级接负载时次级等效电路，如图6-53(b)所示。若已知这个等效电路，给定输入电压源，用下式求得初级回路电流，即(6-85)。再由式(6－82)即可求得次级电流。若改变图6－53(a)电路中的同名端位置，则式(6－80)、式(6－81)和式(6－82)中M前的符号要改变，但不会影响输入阻抗、反映阻抗和等效电路。图6-53端接负载的空心变压器2．端接电源的空芯变压器

为求得空芯变压器初级接电源时，次级负载获得的最大功率，需分析除负载以外含源单口网络的戴维宁等效电路。图6－54(a)所示为该单口的相量模型。先求出开路电压，即(6－86)用与求输入阻抗Zi相似的方法，求出阻抗，即(6-87)式中得到的戴维宁等效电路如图6－54(b)所示。根据最大功率传输定理，当负载ZL与Z0共轭匹配，即ZL=Z*0时，可获得最大功率为(6-88)图6－54端接电源的空芯变压器6.7.4理想变压器变压器是各种电气设备及电子系统中应用很广的一种多端子磁耦合基本电路元件，用于实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号。常用的实际变压器有空芯变压器和铁芯变压器两种类型。空芯变压器是由两个绕在非铁磁材料制成的芯子上且具有互感的线圈组成的；铁芯变压器是由两个绕在铁磁材料制成的芯子上且具有互感的线圈组成的。本节要讨论的理想变压器可看成是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的一种理想科学抽象，即是极限情况下的耦合电感。理想变压器多端元件可以看做为互感多端元件在满足下述3个理想条件极限演变而来的：

(1)耦合系数k=1，即全耦合。

(2)自感系数L1、L2无穷大且L1/L2等于常数。由式(6－60)并考虑条件(1)可知，也为无穷大，此条件可简述为参数无穷大。

(3)无损耗。这意味着绕线圈的金属导线无任何电阻，或者说，绕线圈的金属导线材料的导电率σ→∞,做铁芯的铁磁材料的磁导率μ→∞。以上3个条件，在工程实践中是无法满足的。由此可以看出，实际中使用的变压器都不是这样定义的理想变压器。但是在实际制造变压器时，从选材到工艺都着眼于这3个条件作为“努力方向”。譬如说，选用良金属导线绕线圈，选用磁导率高的硅钢片并采用叠式结构成芯，都是为尽可能地减小损耗。再如，采用高绝缘层的漆包线紧绕、密绕、双线绕，并采取对外的磁屏蔽措施，都是为使耦合系数尽可能地接近条件(1)。又如，理想条件(2)要求参数无穷大，固然难于做到，但在绕制实际铁芯变压器时也常常用足够的匝数(有的达几千匝)，以使参数有相当大的数值。而在一些实际工程概算中，如计算变压比、变流比等，又往往在工程误差允许的范围以内，把实际使用的变压器当做理想变压器对待，以使计算过程简化。从理论上讲，满足上述的3个理想条件的互感线圈，就发生了由量变到质变的飞跃，由互感线圈多端电路元件演变为另一种新的多端电路元件即理想变压器。在性能上理想变压器与互感线圈有着本质的区别。究竟理想变压器具有哪些主要性能呢？这正是我们要重点讨论的问题。

1．理想变压器端口电压、电流之间的关系为便于讨论，以图6－55(a)所示来分析理想变压器的主要性能。图中N1、N2既代表初、次级线圈，又代表其各自的匝数。由图6－55(a)可判定a、c端是同名端。设i1、i2分别从同名端流入(属磁通相助情况)，并设初、次级电压u1、u2与各自线圈上i1、i2参考方向为关联。若Φ11、Φ22分别为穿过线圈N1和线圈N2的自磁通；Φ21为第1个线圈N1中电流i1在第2个线圈N2中激励的互磁通；Φ12为第2个线圈N2中电流i2在第1个线圈N1中激励的互磁通。由图6－55(a)可以看出与线圈N1、N2交链的磁链Ψ1、Ψ2分别为考虑全耦合k=1的理想条件，又因为则有(6－89)(6－90)将式(6－90)代入式(6－89)，得(6－91)图6－55变压器示意图及其模型

1)变压关系对式(6－91)求导，得初、次级电压分别为所以有(6－92)式(6－92)中的n称为匝比或变比，其值等于初级线圈匝数与次级线圈匝数之比。若将图6－55(a)画为图6－55(b)所示的理想变压器模型图，观察图6－55(b)与式(6－92)可知，若u1、u2参考方向“+”极性端都分别设在同名端，则u1与u2之比等于N1与N2之比。若u1、u2参考方向“+”极性端一个设在同名端，一个设在异名端，如图6－56所示，则此种情况的u1与u2之比为(6-93)式(6－92)与式(6－93)都是理想变压器的变压关系式。注意：在进行变压关系计算时是选用式(6－92)还是选用式(6－93)决定于两电压参考方向的极性和同名端的位置，而与两线圈中电流参考方向如何假设无关。图6－56变压关系带负号情况的模型

2)变流关系考虑理想变压器是L1、L2

无穷大，且L1/L2

为常数，k=1的无损耗互感线圈，这里从互感线圈的电压、电流关系着手，代入理想条件，即得理想变压器的变流关系式。由图6－57互感线圈模型得图6－57变流关系带负号情况的模型(6－94)设电流初始值为零并对式(6－94)两端作0~t的积分，得(6－95)由图6－55(a)所示，联系M、L1定义，并考虑k=1的条件，有(6－96)将式(6－96)代入式(6－95)并考虑L1=∞，于是得所以有(6-97)式(6－97)说明，当初、次级电流i1、i2分别从同名端同时流入(或同时流出)时，则i1与i2之比等于N2与N1之比的负值。若假设i1、i2参考方向中的一个是从同名端流入，一个是从同名端流出，如图6－58所示，则这种情况的i1与i2之比为(6－98)图6－58变流关系不带负号情况的模型式(6－97)与式(6－98)都是理想变压器的变流关系式。也需注意：在进行变流关系计算时是选用式(6－97)还是选用式(6－98)取决于两电流参考方向的流向与同名端的位置，而与两线圈上电压参考方向如何假设无关。由理想变压器的变压关系式(6－92)、变流关系式(6－97)，得理想变压器从初级端口到次级端口吸收的功率和为（6－99）式(6－99)说明：理想变压器不消耗能量，也不储存能量，所以是不耗能、不储能的无记忆多端电路元件，这一点与互感线圈有着本质的不同。参数有限(L1、L2和M均为有限值)的互感线圈是具有记忆作用的储能多端电路元件。

2．阻抗变换作用理想变压器在正弦稳态电路里还表现出有变换阻抗的特性。如图6－59所示的理想变压器，次级接负载阻抗ZL，由式(6－97)和式(6－98)可知，在正弦稳态电路里，理想变压器的变压、变流关系的相量形式也是成立的。对图6－59所示电路，由假设的电压、电流参考方向及同名端位置可得（6－100）（6－101）图6－59理想变压器阻抗变换由初级看，输入阻抗由于负载ZL上电压、电流参考方向非关联，，代入上式即得（6－102）式（6－102）表明了理想变压器的阻抗变换关系。习惯把这里的Zin称为次级对初级的折合阻抗。理想变压器的折合阻抗与互感电路的反映阻抗是有区别的。理想变压器的阻抗变换作用只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。也就是说，负载阻抗为感性时，折合到初级的阻抗也为感性，负载阻抗为容性时，折合到初级的阻抗也为容性。在实际应用中，一定的电阻负载RL接在变压器次级，根据式(6－102)可知，在变压器的初级相当于接(N1/N2)2RL的电阻。如果n=N1/N2改变，输入电阻n2RL也改变，则可利用改变变压器的匝数比来改变输入电阻，实现与电源匹配，使负载上获得最大功率。收音机的输出变压器就是为此目的而设计的。例6－21电路如图6－60(a)所示，电源内阻Rs=10kΩ,负载RL=25Ω。为了使负载从电源获得最大功率，求理想变压器的变比n应取多少。图6－60例6－21用图解根据理想变压器的阻抗变换性质，可得一次侧等效电路，如图6－60(b)所示。由于理想变压器不消耗功率，因此等效电阻Rin获得的功率就是负载RL获得的功率。根据最大功率匹配条件，有所以习题6

6－1求下列正弦电压或电流的振幅、角频率、周期和初相位，并画出波形。(1)(2)(3)6－2写出下列正弦量的相量，