《材料力学》课件1西电社 材力 第6章-弯曲应力

第6章弯曲应力第6章弯曲应力§6.2纯弯曲时的正应力§6.3弯曲正应力强度计算§6.4弯曲切应力§6.6提高弯曲强度的措施§6.1截面图形的几何性质§6.5弯曲切应力强度计算§6.1截面图形的几何性质返回总目录zyOdAyz——图形对于

z轴的静矩——图形对于y

轴的静矩1.静矩常用单位：mm3，cm3，m3也称图形对某轴的一次矩返回

一、静矩与形心——即均质薄板的重心2.形心zyOdAyzAzCCyC若图形对某轴的静矩为0，则该轴过形心；若某轴过形心，则图形对该轴的静矩为0。返回例6-1

矩形截面试求阴影部分面积对z轴、y轴的静矩。解：1.计算静矩Sz阴影部分图形的面积，阴影部分面积对z轴的静矩形心坐标2.计算静矩Sy因为y轴通过阴影部分图形的形心C1，故Sy = 0返回3.组合图形的形心返回

已知：图形尺寸如图所示。

求：图形的形心5027030300解：1．将图形分解2.建立坐标系，确定形心位置ⅠⅡyz由于图形对称，故例6-2C2C1返回——图形对z

轴的惯性矩——图形对y轴的惯性矩zyOdAyzA二、惯性矩也称图形对某轴的二次矩常用单位：mm4，cm4，m4返回bhCyz已知：矩形截面b×h求：

Iz，IyydydA解：取平行于z轴的微元例6-3同理可得微元面积返回已知：圆截面直径d求：Iz，IydCyz解：例6-4dA

截面对点C的极惯性矩CyzDd对空心圆截面返回例6-5求：No：20a工字钢的Iz解：查型钢表Iz=得2370cm4返回图形对z

轴的惯性半径图形对y轴的惯性半径zyOdAyz三、惯性半径返回三、惯性半径返回矩形的惯性半径bhCyz三、惯性半径返回空心圆截面的惯性半径CyzDd圆形截面的惯性半径dCyz图形对yz轴的惯性积zyOdAyzA

四、惯性积常用单位：mm4，cm4，m4Iyz=(yizidA-yizidA)图形有对称轴时=0zyCdAdAyyz-z返回五、平行移轴定理dAyzAzcyczyOabCyczc两对平行轴，yC、zC轴过形心同理可得：返回

已知：图形尺寸如图所示。求：图形对zC

轴的惯性矩5027030300例6-6解：由例题Ⅰ-1解得

Izc=Izc(Ⅰ)+Izc(Ⅱ)yzyC1C2ⅡⅠCzC返回zyOz1y1

六、转轴公式Iz1,Iy1,Iy1z1，随

变化

当Iz1y1=0时,Iz1,Iy1有极值,一为最大,一为最小，这对轴称为主惯性轴(简称主轴)返回IZ1,Iy1,Iz1y1，随

变化当Iz1y1=0时,Iz1,Iy1有极值,一为最大,一为最小——这对轴称为主惯性轴(简称主轴)形心主轴——过形心的主轴主惯性矩——图形对主轴的惯性矩形心主惯性矩——图形对形心主轴的惯性矩zyOz1y1

返回有对称轴截面的惯性主轴zyCdAdAyyz-zIzy=(yizidA-yizidA)=0故：当图形有对称轴时，对称轴和与之垂直的任意轴可组成多组主轴。

因：返回§6.2纯弯曲时的正应力返回总目录一、纯弯曲梁的横截面上同时有弯矩和剪力，称为横力弯曲。横截面上只有正应力而无切应力。

梁横截面上一般有两个内力分量:剪力和弯矩。若只有弯矩，称为纯弯曲。横截面上有正应力也有切应力。CD段为纯弯曲AC、DB段为横力弯曲PP返回从变形、物理及静力平衡三方面分析。1.变形几何关系◆

变形后，横向线仍为直线，旋转了一个角度，仍与纵向线正交；◆

纵向线弯成弧线，近凹边缩短，近凸边伸长。MM二、纯弯曲时横截面上的正应力提出假设：◆

梁的横截面在变形后仍保持为平面，并和弯曲后的梁轴线垂直。◆

梁内各纵向“纤维”受到单向拉伸或压缩，彼此间互不挤压、互不牵拉。MM——弯曲变形的平面假设——单向受力假设中性轴

◆梁中间部位必然有一层既不伸长也不缩短的纵向“纤维”——中性层得出推论：◆纵向纤维可视为简单拉压。中性层中性层与横截面的交线——中性轴变形前的长度:变形后的长度:应变即：纯弯曲时横截面上各点的纵向应变沿截面高度呈线性分布。距中性层y处纵向纤维的应变返回2.物理关系

因纵向纤维可视为简单拉压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有:即:

纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴的距离y成正比，正应力沿截面高度呈线性分布。返回yzxOMzyσdA横截面上的内力:3.静力关系式中返回yzxOMzyσdA方程1：中性轴z

过形心式中返回yzxOMzyσdA方程2：因y

轴为对称轴，故成立。式中返回yzxOMzyσdA方程3：式中——计算梁弯曲变形的基本公式——纯弯曲梁横截面正应力公式返回纯弯曲时正应力公式返回说明：◆

M为弯矩；◆

y为点到中性轴的距离；◆

中性轴过横截面形心；◆

Iz为横截面对中性轴的惯性矩。(3)公式是从纯弯曲梁推得，可推广至横力弯曲。纯弯曲时正应力公式

公式的适用范围(1)梁有纵向对称面，且载荷作用在对称面内;(2)材料服从胡克定律;返回横力弯曲时，横截面上有切应力平面假设不再成立纵向纤维无挤压假设也不成立.但进一步分析表明：

将纯弯曲时的正应力公式推广至横力弯曲，并不会引起很大误差，一般能满足工程问题所需的精度。返回例6.7已知：10号槽钢制成的悬臂梁上作用有集中力F=1.2kN，集中力偶Me = 2.2kN·m。试求：(1) 1-1截面上A、B两点的正应力；(2) 2-2截面上C点的正应力。解：

1.绘制弯矩图M1=1kN·m，M2=1.2kN·m2.中性轴位置和惯性矩Iz查表得：10号槽钢t=5.3mm，b=48mm，y0=15.2mm，Iz=25.6×04mm4

3.计算1-1截面A、B点的正应力，解：

1.绘制弯矩图M1=1kN·m，M2=1.2kN·m2.中性轴位置和惯性矩Iz查表得：10号槽钢t=5.3mm，b=48mm，y0=15.2mm，Iz=25.6×04mm4

4.计算2-2截面C点的正应力，§6.3弯曲正应力强度计算返回总目录

一、横截面上的最大正应力令：则有：——抗弯截面系数1.中性轴为对称轴的截面返回常见截面的Iz和Wz矩形截面圆形截面空心圆截面返回2.中性轴为非对称轴的截面常用于抗拉压能力不等的脆性材料。返回

二、弯曲强度条件1.中性轴为对称轴的截面常用于抗拉压能力相同的塑性材料2.中性轴为非对称轴的截面常用于抗拉压能力不等的脆性材料返回已知：

[s]=100MPa，P

=25.3kN。解：试：校核心轴强度。2.作弯矩图支反力例6-81.作计算简图3.危险面

I截面

II截面

III截面返回4.强度校核

I截面返回4.强度校核

II截面返回4.强度校核III截面结论注意心轴满足强度要求最大正应力并非发生在弯矩最大的截面，也非发生在尺寸最小的截面。返回已知:

a=150mm，

[s]=140MPa解：求:压紧力P的许用值压板可简化为外伸梁1.作弯矩图例6-9且B截面最薄弱2.确定危险截面B为危险截面3.计算B截面WZ返回看成组合体解：3.计算B截面WZ返回危险截面B：由强度条件：解：4.由强度条件计算许可载荷P返回已知:T形截面铸铁梁，[s拉]=30MPa，[s压]=160MPa。

Iz=763cm4,且|y1|=52mm。试：校核梁的强度。解：2.作弯矩图例6-102.5kN10.5kN3.确定危险面

B截面

C截面最大正弯矩为:最大负弯矩为:1.求支反力返回4.强度校核

B截面解：M返回4.强度校核C截面解：M结论梁满足强度要求返回§6.4弯曲切应力返回总目录

弯曲切应力的概念

当梁发生横力弯曲时，横截面上存在剪力，截面上与剪力对应的分布内力在各点的强弱程度称为切应力，用

表示。切应力作用线位于横截面内。返回一、矩形截面梁的切应力公式推导*儒拉夫斯基假设1）截面上任意一点的切应力

t与剪力FS的方向平行。2）切应力沿宽度均匀分布，即t的大小只与距离中性轴的距离有关。返回一、矩形截面梁的切应力公式推导*取梁中dx微段分析微段两侧截面切应力与剪力平行两侧截面弯矩不同，正应力也不相同。返回一、矩形截面梁的切应力公式推导*

为了研究横截面上距离中性层y处的切应力，在该处用一个平行于中性层的纵截面，将微段的下半部分截出。返回一、矩形截面梁的切应力公式推导*研究x方向的平衡距中性轴为y处的横线以外部分横截面积A1对中性轴的静矩。同理可得返回一、矩形截面梁的切应力公式推导*研究x方向的平衡由由于返回二、

矩形截面梁的切应力公式横截面上的剪力整个截面对中性轴的惯性矩梁横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩所求切应力点的位置的梁截面的宽度。上述公式对组合矩形截面梁亦可使用。返回二、矩形截面梁的切应力公式这样，公式可以改写为在截面上下边缘，y=±h/2在中性层，y=0切应力分布规律如图返回如图所示，倒T形截面，若求图示A点的切应力，则在应用公式时b

和Sz*应该如何计算？1.b

指的是A点截面宽度例6-11解：2.A点横线以外面积对中性轴的静矩可用

A点横线以下面积计算：也可用

A点横线以上面积计算：b=20

mm返回1.截面上各点

∥FS切应力分布假设:2.沿宽度,

均匀分布返回三、常见截面梁的切应力矩形截面返回三、常见截面梁的切应力圆形截面返回三、常见截面梁的切应力圆环形截面

最大切应力位于中性轴，大小为:横截面中性轴z一侧面积（上部或下部对z轴的静矩）腹板宽度三、常见截面梁的切应力梯形截面返回由型钢表查得腹板承担了绝大部分剪力。腹板切应力近似公式:式中b,h为腹板宽和高腹板切应力近似为均匀分布;返回三、常见截面梁的切应力工字形截面§6.5弯曲切应力强度计算返回总目录一、弯曲切应力的强度条件≤[τ]下列几种情况的梁，需进行切应力强度校核：梁的跨度较短，或者有较大载荷作用在支座附近时。由钢板和型钢所组成的组合截面梁，如果腹板厚度和截面高度相比很小。由几部分经铆接或胶合而成的组合梁一般需对铆钉或胶合面进行切应力强度校核。二、需进行切应力强度计算的情况

一般梁的高度远小于跨度，弯曲切应力远小于弯曲正应力，弯曲正应力是控制梁强度的主要因素，一般不必进行切应力校核。返回例6.12已知：图示的工字钢截面简支梁，l = 2 m，a = 0.2，梁的载荷q = 10 kN/m，F = 200 kN，许用正应力[σ]= 100MPa，许用切应力[τ]=160 Mpa。 试：选择工字钢型号。

返回解：

(1)确定最大内力(2)根据正应力强度条件选择工字钢查型钢表，22a号工字钢Wz=309 cm3

(3)校核切应力强度查型钢表得腹板厚度d = 7.5 mm。最大切应力重新选择25b号工字钢d = 10 mm故满足强度条件返回例6-13已知：图示由两根20a号工字钢铆接而成的悬臂梁，承受集中力作用，载荷F = 40kN，铆钉直径d=20mm，铆钉的许用切应力[τ]=90MPa，不计两工字钢接触面上的摩擦力。试：求铆钉间所必需的间距。返回解：(1)计算铆接面上的切应力。查型钢表得20a号工字钢：A=3.55×103mm2

，I′z=2.37×107 mm4，高度h = 200 mm，翼缘宽度b = 100 mm铆接面上的切应力返回(2)计算铆钉间距设铆钉间距为t，则在此范围内的切向内力系的合力

由两个铆钉来承担铆钉的剪切强度条件故铆接间距不能大于471mm返回§6.6提高弯曲强度的措施