随州市高新区2022年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案

9/23随州市高新区2022年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。1．二次根式中，x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．解：由题意可知：x﹣1≥0，所以x≥1，故选：A．2．下列各组数是三角形的三边，不能组成直角三角形的一组数是（）A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．，，【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．解：A、因为12+12＝（）2，所以此三角形是直角三角形，不合题意；B、32+42＝52，所以此三角形是直角三角形，不合题意；C、52+122＝132，所以此三角形是直角三角形，不合题意；D、因为（）2+（）2≠（）2，所以此三角形不是直角三角形，符合题意．故选：D．3．下列图形：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形中是轴对称图形的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可得解．解：平行四边形不是轴对称图形，矩形是轴对称图形，菱形是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形，正方形是轴对称图形，所以，轴对称图形的是：矩形、菱形、等腰梯形、正方形共4个．故选：D．4．已知实数x，y满足，则x﹣y等于（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解：根据题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，所以，x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3．故选：A．5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B． C． D．2【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解：如图，连接AC、CF，因为正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，所以AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，所以∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，因为H是AF的中点，所以CH＝AF＝×2＝．故选：B．6．如图，x轴、y轴上分别有两点A（3，0）、B（0，2），以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（）A．（﹣1，0） B．（2﹣，0） C．（1，0） D．（3，0）【分析】根据勾股定理求得AB＝，然后根据图形推知AC＝AB，则OC＝AC﹣OA，所以由点C位于x轴的负半轴来求点C的坐标．解：如图，因为A（3，0）、B（0，2），所以OA＝3，OB＝2，所以在直角△AOB中，由勾股定理得AB＝＝．又因为以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，所以AC＝AB，所以OC＝AC﹣OA＝﹣3．又因为点C在x轴的负半轴上，所以C（3，0）．故选：D．7．若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）A．矩形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EH∥AC，EH＝AC，GF∥AC，GF＝AC，EF＝BD，根据菱形的性质解答即可．解：连接AC、BD，因为E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，所以EH∥AC，EH＝AC，GF∥AC，GF＝AC，EF＝BD，所以EH＝GF，EH∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形，因为四边形EFGH是菱形时，EH＝EF，所以BD＝AC，即顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形时，该四边形一定是对角线相等的四边形，故选：C．8．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，根据勾股定理得到OD′＝＝，于是得到结论．解：因为AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，所以OD′＝＝，因为C′D′＝2，C′D′∥AB，所以C′（2，），故选：D．9．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（）A．7m B．8m C．9m D．10m【分析】利用勾股定理进行解答．先求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离．解：梯子顶端距离墙角地距离为＝24m，顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15m，15m﹣7m＝8m．故选：B．10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF＝CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF＝3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF；易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN；易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．解：因为四边形ABCD是矩形，所以∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，因为BF平分∠EBC，所以CF＝MF，所以DF＝CF；故①正确；因为∠BFM＝90°﹣∠EBF，∠BFC＝90°﹣∠CBF，所以∠BFM＝∠BFC，因为∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，所以∠BFE＝∠BFN，因为∠BFE+∠BFN＝180°，所以∠BFE＝90°，即BF⊥EN，故②正确；因为在△DEF和△CNF中，，所以△DEF≌△CNF（ASA），所以EF＝FN，所以BE＝BN，假设△BEN是等边三角形，则∠EBN＝60°，∠EBA＝30°，则AE＝BE，又因为AE＝AD，则AD＝BC＝BE，而明显BE＝BN＞BC，所以△BEN不是等边三角形；故③错误；因为∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，所以BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，所以BE＝3EM，所以S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；故④正确．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：（）2＝3，＝2，＝．【分析】根据二次根式的性质化简即可得．解：（）2＝3，＝＝2，＝＝＝，故答案为：3、2、．12．若直角三角形的边长分别为3cm，4cm，则斜边上的中线长为2.5cm或2cm．【分析】分两种情况：当4cm为直角三角形的斜边时，当4cm为直角三角形的直角边时，进行计算即可解答．解：分两种情况：当4cm为直角三角形的斜边时，斜边上的中线长＝×4＝2（cm），当4cm为直角三角形的直角边时，根据勾股定理得：斜边＝＝5（cm），所以斜边上的中线长＝×5＝2.5（cm），综上所述：斜边上的中线长为：2.5cm或2cm，故答案为：2.5cm或2cm．13．在菱形ABCD中，对角线AC＝2，BD＝4，则菱形ABCD的周长是4．【分析】利用菱形的性质和勾股定理解答即可．解：因为菱形ABCD中，对角线AC＝2，BD＝4，所以AD＝，所以菱形ABCD的周长是4，故答案为：414．AD是△ABC的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，则BD＝．【分析】运用两个直角三角形根据勾股定理表示出AD，得到关于x的方程求解即可．解：设BD＝x，在Rt△ABD中，AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，在Rt△ADC中，AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得，x＝，故答案为：．15．如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是5．【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，即Q在AB上，因为MQ⊥BD，所以AC∥MQ，因为M为BC中点，所以Q为AB中点，因为N为CD中点，四边形ABCD是菱形，所以BQ∥CD，BQ＝CN，所以四边形BQNC是平行四边形，所以NQ＝BC，因为AQ＝CN，∠QAP＝∠PCN，∠APQ＝∠CPN，所以△APQ≌△CPN（AAS），所以AP＝PC，因为四边形ABCD是菱形，所以CP＝AC＝3，BP＝BD＝4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，即NQ＝5，所以MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，故答案为：5．16．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为．【分析】根据中位线定理可得AM＝2，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得A′M＝A′N＝2，过M点作MG⊥EF于G，可求A′G，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从而得到OD．解：因为EN＝1，所以由中位线定理得AM＝2由折叠的性质可得A′M＝2，因为AD∥EF，所以∠AMB＝∠A′NM，因为∠AMB＝∠A′MB，所以∠A′NM＝∠A′MB，所以A′N＝2，所以A′E＝3，A′F＝2过M点作MG⊥EF于G，所以NG＝EN＝1，所以A′G＝1，由勾股定理得MG＝＝，所以BE＝DF＝MG＝，所以OF：BE＝2：3，解得OF＝，所以OD＝﹣＝．故答案为：．三、解答题（共8小题，共72分）17．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先根据二次根式的除法法则、零指数幂的意义进行计算，然后分母有理化后合并即可．解：（1）原式＝（4﹣5）×＝﹣×＝﹣2；（2）原式＝3﹣2+1﹣＝﹣1﹣＝﹣1．18．已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值：（1）a2﹣2ab+b2；（2）a2﹣b2．【分析】（1）直接利用已知得出a+b，a﹣b的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；（2）结合平方差公式计算得出答案．解：因为a＝+2，b＝﹣2，所以a+b＝+2+﹣2＝2，a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4，（1）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝42＝16；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×4＝8．19．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，解得：x＝25．答：蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是25dm．20．已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE＝OF．【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，证出AE＝CF，∠E＝∠F，∠OAE＝∠OCF，由ASA证明△AOE≌△COF，即可得出结论．【解答】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD，因为BE＝DF，所以AB+BE＝CD+DF，即AE＝CF，因为AB∥CD，所以AE∥CF，所以∠E＝∠F，∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，所以△AOE≌△COF（ASA），所以OE＝OF．21．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于O点，DH垂直且平分AB，BD＝8cm，求：DH，AC的长和菱形的面积．【分析】利用菱形的边长，结合等边三角形的判定与性质求出DH以及AC，进而得出菱形的面积．解：因为DH垂直且平分AB，所以AD＝BD，因为四边形ABCD是菱形，AD＝BD＝8cm，所以AD＝AB＝BD＝8cm，所以△ABD是等边三角形，所以∠BAC＝∠DAC＝30°，因为DH⊥AB于点H，所以DH＝AD•sin60°＝4（cm），AO＝＝4（cm），所以AC＝8cm，则其面积为：×8×8＝32（cm2）．22．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1（1）判断△BEC的形状，并说明理由；（2）求证：四边形EFPH是矩形．【分析】（1）根据矩形性质得出CD＝2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可；解：（1）△BEC是直角三角形：理由是：因为矩形ABCD，所以∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，由勾股定理得：CE＝，同理BE＝2，所以CE2+BE2＝5+20＝25，因为BC2＝52＝25，所以BE2+CE2＝BC2，所以∠BEC＝90°，所以△BEC是直角三角形．（2）因为矩形ABCD，所以AD＝BC，AD∥BC，因为DE＝BP，所以四边形DEBP是平行四边形，所以BE∥DP，因为AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，所以AE＝CP，所以四边形AECP是平行四边形，所以AP∥CE，所以四边形EFPH是平行四边形，因为∠BEC＝90°，所以平行四边形EFPH是矩形．23．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．【分析】（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC＝∠ECB，再根据等边对等角得OE＝OC，同理OC＝OF，可得EO＝FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解：（1）因为CE平分∠ACB，所以∠ACE＝∠BCE，因为MN∥BC，所以∠OEC＝∠ECB，所以∠OEC＝∠OCE，所以OE＝OC，同理OC＝OF，所以OE＝OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO＝CO，EO＝FO，所以四边形AECF为平行四边形，因为CE平分∠ACB，所以∠ACE＝∠ACB，同理，∠ACF＝∠ACG，所以∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，所以四边形AECF是矩形．（3）当△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°时，在AC边上存在点O（为其中点），使四边形AECF是正方形．证明：因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC．因为MN∥BC，所以AC⊥MN，即AC⊥EF．由（2）知，四边形AECF是矩形，所以矩形AECF是正方形．24．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）