江苏徐州沛县2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

6/24江苏徐州沛县2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题本大题有8小题，每小题3分，共24分。1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2．如图，两个三角形是全等三角形，则∠α的度数是（）A．50° B．58° C．60° D．72°【分析】根据图形得出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出∠α＝∠A，再代入求出答案即可．解：因为△ABC≌△DEF，所以∠α＝∠A，因为∠A＝50°，所以∠α＝50°，故选：A．3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，下列结论中不一定正确的是（）A．∠B＝∠C B．BC＝2BD C．∠BAD＝∠CAD D．AD＝BC【分析】证Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），得∠B＝∠C，BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，则BC＝2BD，当∠BAC＝90°时，AD＝BC，即可得出结论．解：因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，所以Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），所以∠B＝∠C，BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，所以BC＝2BD，当∠BAC＝90°时，AD＝BC，故选：D．4．如图，木工师傅做门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不易变形，这种做法的依据是（）A．三角形稳定性 B．长方形是轴对称图形 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线【分析】用木条EF固定矩形门框ABCD，即是组成△CEF，故可用三角形的稳定性解释．解：加上EF后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ECF，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选：A．5．使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．故选：D．6．如图，已知AP平分∠BAC，点M、N分别在边AB、AC上，若添加一个条件，即可推出AM＝AN，则该条件不可以是（）A．MN⊥AP B．MP＝NP C．∠APM＝∠APN D．∠AMP＝∠ANP【分析】根据已知条件结合三角形全等的判定方法，验证各选项提供的条件是否能证△APM≌△APN即可．解：因为AP平分∠BAC，所以∠BAP＝∠CAP，A、因为MN⊥AP，所以∠APM＝∠APN＝90°，又由∠BAP＝∠CAP，AP＝AP，能判定△APM≌△APN（ASA），所以AM＝AN，故选项A不符合题意；B、由∠BAP＝∠CAP，PM＝PN，AP＝AP，不能判定△APM≌△APN，所以不能推出AM＝AN，故选项B符合题意；C、由∠BAP＝∠CAP，AP＝AP，∠APM＝∠APN，能判定△APM≌△APN（ASA），所以AM＝AN，故选项C不符合题意；D、由∠BAP＝∠CAP，AP＝AP，∠AMP＝∠ANP，能判定△APM≌△APN（AAS），所以AM＝AN，故选项D不符合题意；故选：D．7．用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案，若要使所围成阴影部分的三角形是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不可以是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．2，3，5【分析】根据图形可知，三个正方形的面积正好是直角三角形三边的平方，再根据两直角边的平方之和等于斜边的平方，从而可以判断哪个选项符合题意．解：由图可知，三个正方形的面积正好是直角三角形三边的平方，因为1+2＝3，2+2＝4，3+4≠5，2+3＝5，所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，故选：C．8．如图，直线l1、l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1、l2上找一点C，使△ABC为一个等腰三角形．满足条件的点C有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【分析】以A为圆心，AB长为半径画弧；以B为圆心，AB长为半径画弧，再作AB的垂直平分线分别找出交l1、l2点的个数即可．解：以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点；以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点，再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点，共有8个点，故选：D．二、填空题本大题有8小题，每小题4分，共32分。9．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有3种．【分析】根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，得出结果．解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，故涂法有3种，故答案为：3．10．甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东45°方向走了120m，乙往南偏东45°方向走了90m，这时甲、乙相距150m．【分析】直接利用方向角画出图形，进而利用勾股定理得出答案．解：如图所示：由题意可得，∠AOB＝90°，AO＝120m，BO＝90m，则AB＝＝150（m）．故答案为：150．11．在△ABC中，∠C＝90°，点D为边AB的中点，且CD＝4，则AB＝8．【分析】根据“斜边上的中线等于斜边的一半”计算即可．解：在△ABC中，∠C＝90°，点D为边AB的中点，且CD＝4，所以AB＝2CD＝8．故答案是：8．12．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值是3．【分析】过P作PE⊥OB于E，根据垂线段最短得出此时PE的长最小，根据角平分线的性质得出PE＝PD，再求出答案即可．解：过P作PE⊥OB于E，此时PE的长最小，因为OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PE＝PD，因为PD＝3，所以PE＝3，即PE的最小值是3，故答案为：3．13．若△ABC≌△DEF，AB＝DE＝4，△DEF面积为10，则在△ABC中AB边上的高为5．【分析】根据全等三角形的性质得出△ABC的面积也是10，再根据三角形的面积公式求出AB上的高即可．解：设△ABC的边AB上的高为h，因为△ABC≌△DEF，△DEF面积为10，所以△BAC的面积是10，因为AB＝4，所以h＝10，解得：h＝5，即△ABC中AB边上的高为5，故答案为：5．14．如图，△ABC中，点D在边BC上，将点D分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，连接AE、AF．根据图中标示的角度，可知∠EAF＝106°．【分析】连接AD，利用轴对称的性质解答即可．解：如图，连接AD，因为D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，所以∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，因为∠B＝55°，∠C＝72°，所以∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣55°﹣72°＝53°，所以∠EAF＝2∠BAC＝106°，故答案为：106．15．如图，将△ABC折叠，使点B落在AC边的中点D处，折痕为MN，若BC＝3，AC＝2，则△CDN的周长为4．【分析】根据折叠的性质知BN＝DN，将△CDN的周长转化为BC+CD即可．解：因为将△ABC折叠，使点B落在AC边的中点D处，所以BN＝DN，CD＝AC，所以△CDN的周长为DN+CN+CD＝BC+AC，因为BC＝3，AC＝2，所以BC+AC＝3+1＝4，所以△CDN的周长为4，故答案为：4．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，按如下步骤尺规作图：（1）分别以B、C为圆心，BC的长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中：①△BCD是等边三角形；②AD垂直平分BC；③DC⊥AC；④∠BAD＝∠CAD；⑤S四边形ABDC＝AD•BC．其中一定正确的结论是：①②④（填序号）．【分析】利用基本作图得到BD＝CD＝BC，则根据等边三角形的定义可对①进行判断；根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对②进行判断；利用△BCD为等边三角形得到∠DCB＝60°，则只有当∠ACB＝30°时，DC⊥AC，于是可对③进行判断；BC与AD相交于点O，如图，由于AB＝AC，AO⊥BC，根据等腰三角形的性质可对④进行判断；利用三角形面积公式可对⑤进行判断．解：由作法得BD＝CD＝BC，所以△BCD为等边三角形，所以①正确；因为DB＝DC，AB＝AC，所以AD垂直平分BC，所以②正确；因为△BCD为等边三角形，所以∠DCB＝60°，所以只有当∠ACB＝30°时，DC⊥AC，所以③错误；BC与AD相交于点O，如图，因为AB＝AC，AO⊥BC，所以AO平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，所以④正确；因为AD垂直平分BC，所以OB＝OC，因为S△ABD＝•OB•AD，S△ABD＝•OC•AD，所以S四边形ABDC＝•OB•AD+OC•AD＝（OB+OC）•AD＝BC•AD，所以⑤错误．故答案为：①②④．三、解答题本大题有9小题，共84分。17．如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD＝BC，AC＝BD．求证：∠C＝∠D．【分析】根据SSS证明△ADB与△BCA全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：在△ADB与△BCA中，，所以△ADB≌△BCA（SSS），所以∠C＝∠D．18．已知：如图，在△ABC中，CD是中线，且CD＝AB．求证：△ABC是直角三角形．【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知△ACD与△BCD均为等腰三角形，所以运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证得结论．【解答】证明：因为CD是中线，所以AD＝BD＝AB．因为CD＝AB，所以AD＝BD＝CD．所以∠A＝∠DCA，∠B＝∠DCB．又因为∠A+∠DCA+∠B+∠DCB＝180°，所以∠DCA+∠DCB＝90°．所以∠ACB＝90°．所以△ABC是直角三角形．19．如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．【分析】（1）由平行线的性质求出∠EDC，再由三角形的内角和定理解决问题即可．（2）证△DEC是等边三角形，得CE＝CD，再证∠CEF＝∠F＝30°，得EC＝CF，即可得出结论．【解答】（1）解：因为△ABC是等边三角形，所以∠B＝60°，因为DE∥AB，所以∠B＝∠EDC＝60°，因为DE⊥EF，所以∠DEF＝90°，所以∠F＝∠DEF﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；（2）证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠B＝∠ACB＝60°，因为DE∥AB，所以∠B＝∠EDC＝60°，所以∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，所以△DEC是等边三角形，所以CE＝CD，因为∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，所以∠CEF＝∠F＝30°，所以EC＝CF，所以CD＝CF．20．如图，格点△ABC在网格中的位置如图所示．（1）画出△ABC关于直线MN的对称△A'B'C'；（2）若网格中每个小正方形的边长为1，则△A'B'C'的面积为；（3）在直线MN上找一点P，使PA+PC最小（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线MN的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）用矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可；（3）连接A′C，与直线MN的交点即为所求．解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．（2）△A'B'C'的面积为3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝，故答案为：；（3）如图所示，点P即为所求．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）若∠CAD＝50°，求∠B的度数；（2）如图，若点E在边AC上，过点E作EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据三角形的内角和即可得到∠B＝40°；（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠F＝∠BAD，等量代换得到∠CAD＝∠F，于是得到结论．【解答】（1）解：因为AB＝AC，AD⊥BC于点D，所以∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，又因为∠CAD＝50°，所以∠C＝90°﹣∠CAD＝40°，所以∠B＝∠C＝40°；（2）证明：因为AB＝AC，AD⊥BC于点D，所以∠BAD＝∠CAD，因为EF∥AB，所以∠F＝∠BAD，所以∠CAD＝∠F，所以AE＝FE．22．如图，点A是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站B或C处乘车前往，且AB＝BC，因市政建设，点C到点A段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的H处修建了一临时车站（点H在线段BC上），由H处亦可直达A处，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km．（1）判断△ACH的形状，并说明理由；（2）求路线AB的长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．解：（1）△ACH是直角三角形，理由如下：因为AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km，所以AC2＝AH2+CH2，所以△ACH是直角三角形；解：（2）因为△ACH是直角三角形，所以AH⊥BC，设AB＝BC＝xkm，则BH＝BC﹣HC＝（x﹣0.6）km，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，即x2＝12+（x﹣0.6）2，解得：x＝，所以AB＝km．23．等腰直角△ABC按如图所示放置，AC＝BC，直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．（1）求证：EC＝BD；（2）设△AEC三边长分别为EC＝a，AE＝b，AC＝c，试通过两种方法计算直角梯形AEDB的面积证明勾股定理．【分析】（1）通过AAS证得△CAE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等证得结论；（2）利用等面积法证得勾股定理．【解答】证明：（1）因为∠ACB＝90°，所以∠ACE+∠BCD＝90°．因为∠ACE+∠CAE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD．在△AEC与△BCD中，所以△CAE≌△BCD（AAS）．所以EC＝BD；（2）由①知：BD＝CE＝a，CD＝AE＝b，所以S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2．又因为S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC＝ab+ab+c2＝ab+c2．所以a2+ab+b2＝ab+c2．整理，得a2+b2＝c2．24．在“延时课堂”数学实践活动中，同学们了解到，工人师傅常用角尺作一个已知角的角平分线．作法如下：如图①，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺0刻度的顶点P的射线OP就是∠AOB的角平分线．（1）联系三角形全等的条件，通过证明△OMP≌△ONP，可知∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．则这两个三角形全等的依据是；（2）在活动的过程，同学们发现用两个全等的三角形纸片也可以作一个已知角的角平分线．如图②所示，△CDE≌△STR，将全等三角形的一组对应边DE、TR分别放在∠AOB的两边OA、OB上，同时使这组对应边所对的顶点C、S分别落在OB、OA上，此时CE和SR的交点设为点Q，则射线OQ即为∠AOB的角平分线．你认为他们的作法正确吗？并说明理由．【分析】（1）利用SSS证明三角形全等即可；（2）证明△ECO≌△RSO（AAS），推出OE＝PR，同法可证，△STO≌△CDO（AAS），推出OS＝OC，SE＝CR，再证明△SQE≌△CQR（AAS），推出SQ＝CQ，证明△OQS≌△OQC（SSS），可得∠QOA＝∠QOB．解：（1）在△POM和△PON中，，所以△POM≌△PON（SSS），所以∠POA＝∠POB，故答案为：SSS；（2）正确．理由：如图2中，因为△CDE≌△STR，所以EC＝RS，∠CED＝∠SRT，在△ECO和△RSO中，，所以△ECO≌△RSO（AAS），所以OE＝PR，同法可证，△STO≌△CDO（AAS），所以OS＝OC，所以SE＝CR，在△SQE和△CQR中，，所以△SQE≌