江苏省泰州市2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

6/28江苏省泰州市2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案一．选择题本大题共有6小题，每小题3分，共18分．1．下列图案属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义，寻找四个选项中图形的对称轴，发现只有，A有一条对称轴，由此即可得出结论．解：A、能找出一条对称轴，故A是轴对称图形；B、不能找出对称轴，故B不是轴对称图形；C、不能找出对称轴，故C不是轴对称图形；D、不能找出对称轴，故D不是轴对称图形．故选：A．2．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A﹣∠B＝∠C C．a＝1，b＝2，c＝ D．（b+c）（b﹣c）＝a2【分析】根据直角三角形的定义，以及勾股定理的逆定理判断即可．解：A、由题意：∠C＝×180°＝75°，△ABC是锐角三角形，本选项符合题意．B、因为∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠A＝90°，所以△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．C、因为a＝1，b＝2，c＝，所以a2+b2＝c2，所以∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．D、因为（b+c）（b﹣c）＝a2，所以b2﹣c2＝a2，所以b2＝a2+c2，所以△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．故选：A．3．下列说法：①数轴上的点与实数一一对应；②的平方根是±4；③＝3；④实数不是有理数就是无理数，其中错误的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据实数的概念、平方根和立方根的定义逐项分析可得答案．解：①数轴上的点与实数一一对应，正确；②的平方根是±2，错误；③＝3，错误；④实数不是有理数就是无理数，正确．故选：B．4．点K在直角坐标系中的坐标是（3，﹣4），则点K到x轴和y轴的距离分别是（）A．3，4 B．4，3 C．3，﹣4 D．﹣4，3【分析】根据纵坐标的绝对值为点K到x轴的距离；横坐标的绝对值为点K到y轴的距离，解答即可．解：点K（3，﹣4）到x轴的距离为|﹣4|＝4，到y轴的距离为|3|＝3．故选：B．5．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．5 B．8 C．10 D．7【分析】连接BI、由点I为△ABC的内心，得出BI平分∠ABC，则∠ABI＝∠CBI，由平移得AB∥DI，则∠ABI＝∠BID，推出∠CBI＝∠BID，得出BD＝DI，同理可得CE＝EI，△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+BD+CE＝BC＝5，即可得出结果．解：连接BI、如图所示：因为点I为△ABC的内心，所以BI平分∠ABC，所以∠ABI＝∠CBI，由平移得：AB∥DI，所以∠ABI＝∠BID，所以∠CBI＝∠BID，所以BD＝DI，同理可得：CE＝EI，所以△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+BD+CE＝BC＝7，即图中阴影部分的周长为7，故选：D．6．已知：如图，BD平分∠ABC，且∠BEC＝∠BCE，D为BE延长线上的一点，BD＝BA，过D作DG⊥AB，垂足为G．下列结论：①△ABE≌△DBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝CD；④BA+BC＝2BG，其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【分析】易证△ABE≌△DBC，可得∠BCD＝∠BEA，AE＝DC可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE＝∠DCE，即AD＝AE＝DC，根据AD＝AE＝DC可求得④正确．解：①因为BD为△ABC的角平分线，所以∠ABD＝∠CBD，在△ABE和△DBC中，，所以△ABE≌△DBC（SAS），所以①正确；②因为BD为△ABC的角平分线，BE＝BC，BD＝BA，所以∠BCE＝∠BEC＝∠BAD＝∠BDA，因为△ABE≌△DBC，所以∠BCD＝∠BEA，所以∠BCD+∠BCE＝∠BEA+∠BEC＝180°，所以②正确；③因为∠BCD＝∠BEA，∠BCD＝∠BCE+∠DCE，∠BEA＝∠DAE+∠BDA，∠BCE＝∠BDA，所以∠DCE＝∠DAE，所以△ACD为等腰三角形，所以AD＝DC，因为△ABE≌△DBC，所以AE＝DC，所以AD＝AE＝DC，所以③正确；④过D作DF⊥BC于F点，因为D是BE上的点，所以DG＝DF，在Rt△BDF和Rt△BDG中，，所以Rt△BDF≌Rt△BDG（HL），所以BF＝BG，在Rt△CDF和Rt△AGD中，，所以Rt△CDF≌Rt△AGD（HL），所以AG＝CF，所以BA+BC＝BG+GA+BF﹣CF＝BG+BF＝2BG，所以④正确．故选：D．二．填空题本大题共有10小题，每小题3分，共30分。7．近似数1.50万精确到百位．【分析】一个近似数精确到哪一位，即要看末位数字实际在哪一位，就是精确到了哪一位．解：近似数1.50万中，末位数字0在百位上，则精确到了百位．8．一个正数的两个平方根为a+2和a﹣6，则这个数为16．【分析】由于正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出a．解：因为一个正数的两个平方根分别是a+2和a﹣6，所以a+2+a﹣6＝0，解得：a＝2，故a+2＝2+2＝4，则这个正数是：42＝16．故答案为：16．9．已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a，b），则ab＝3．【分析】结合关于x轴、y轴对称点的坐标的概念：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）；（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．求出a和b的值，然后求解即可．解：因为已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a，b），所以a＝﹣3，b＝﹣1，所以ab＝﹣3×（﹣1）＝3．故答案为：3．10．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是．【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长，利用勾股定理求出斜边的长，即知表示﹣1的点和A之间的线段的长，进而可推出A的坐标．解：图中直角三角形的两直角边为1，2，所以斜边长为＝，那么﹣1和A之间的距离为，那么a的值是：﹣1+．11．等腰三角形的周长为15，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为3．【分析】分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案．解：若腰长为3，则底边长为：15﹣3﹣3＝9，因为3+3＜9，所以不能组成三角形，舍去；若底边长为3，则腰长为：＝6；所以该等腰三角形的底边长为：3；故答案为：3．12．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10米．【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解：如图，设大树高为AB＝12m，小树高为CD＝6m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，所以EB＝6m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝12﹣6＝6（m），在Rt△AEC中，AC＝＝10（m）．故小鸟至少飞行10m．故答案为：10．13．如图，点P为∠AOB内任一点，E，F分别为点P关于OA，OB的对称点．若∠AOB＝30°，则∠E+∠F＝150°．【分析】连接OP，根据轴对称的性质解答即可．解：连接OP因为E，F分别为点P关于OA，OB的对称点，所以∠EOA＝∠AOP，∠POB＝∠BOF，因为∠AOB＝∠AOP+∠POB，所以∠EOF＝2∠AOB＝60°，因为E，F分别为点P关于OA，OB的对称点，所以PE⊥OA，PF⊥OB，因为∠AOB＝30°，所以∠EPF＝150°，所以∠E+∠F＝360°﹣60°﹣150°＝150°，故答案为：150．14．如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，若∠BAC＝100°，则∠EAD＝20°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，AE＝CE，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，求出∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝80°，代入∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）求出∠DAE即可．解：因为∠BAC＝100°，所以∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，因为AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，所以AD＝BD，AE＝CE，所以∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，所以∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝80°，因为∠BAC＝100°，所以∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝100°﹣80°＝20°，故答案为：20．15．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积为2．【分析】根据海伦﹣秦九韶公式即可解决此题．解：因为a＝3，b＝5，c＝6，所以p＝＝＝7．所以S△ABC＝＝2．故答案为：2．16．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝8，则四边形ABCD的面积为32．【分析】过A作AE⊥AC，交CD的延长线于E，证明△ABC≌△ADE，得到AC＝AE，△ABC与△ADE的面积相等，求出△AEC的面积即可解决问题．解：过A作AE⊥AC，交CD的延长线于E，如图所示：因为AE⊥AC，所以∠EAC＝90°，因为∠DAB＝90°，所以∠DAE＝∠BAC，因为∠BAD＝∠BCD＝90°，所以∠ADC+∠B＝180°，因为∠EDA+∠ADC＝180°，所以∠EDA＝∠B，因为AD＝AB，在△ADE和△ABC中，，所以△ABC≌△ADE（ASA），所以AC＝AE＝8，△ABC的面积＝△ADE的面积，所以四边形ABCD的面积＝△AEC的面积＝AC×AE＝×8×8＝32，故答案为：32．三．解答题本大题共有10题，共102分。17．计算：（1）．（2）|2﹣|﹣（3.14﹣π）0+（﹣）﹣2．【分析】（1）直接利用二次根式的性质、立方根的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．解：（1）原式＝4+3﹣10＝﹣3；（2）原式＝2﹣﹣1+9＝10﹣．18．求下列x的值：（1）﹣27x3+8＝0．（2）3（x﹣1）2﹣15＝0．【分析】（1）先移项，再两边都除以﹣27，继而两边开立方即可得；（2）先移项，再两边都除以3，继而两边开平方，最后解方程即可得．解：（1）因为﹣27x3+8＝0，所以﹣27x3＝﹣8，则x3＝，解得：x＝；（2）因为3（x﹣1）2﹣15＝0，所以3（x﹣1）2＝15，所以（x﹣1）2＝5，则x﹣1＝±，解得：x＝1±．19．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求7a﹣2b﹣2c的平方根．【分析】根据平方根、立方根、算术平方根，即可解答．解：因为2a﹣1的算术平方根是3，所以2a﹣1＝9，所以a＝5，因为3a+b﹣9的立方根是2，所以3a+b﹣9＝8，所以b＝2，因为c是的整数部分，，所以c＝3，所以7a﹣2b﹣2c＝35﹣4﹣6＝25，所以7a﹣2b﹣2c的平方根是±5．20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；（2）四边形ABB'A'的周长为8+2；（3）在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短，则这个最短长度为．【分析】（1）分别作出点A、B关于直线l的对称点，再与点C首尾顺次连接即可；（2）先利用勾股定理求出AB、A′B′的长度，再根据周长公式求解即可得出答案；（3）连接AB′，与直线l的交点即为所求，再利用勾股定理求解可得答案．解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．（2）因为AB＝A′B′＝＝，所以四边形ABB'A'的周长2+2+6＝8+2，故答案为：8+2．（3）如图所示，点P即为所求，这个最短长度为＝，故答案为：．21．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝75°，求∠BCE的度数．【分析】（1）连接ED，先利用线段垂直平分线的性质说明ED＝DC，再在直角△ABD中，利用斜边中线与斜边的关系得到BE＝DE，从而问题得证；（2）利用外角，用∠BCE表示出∠BDE，再在等腰△AED中，用∠BCE和∠AEC表示出∠ADE，根据直角得方程，求解即可．【解答】（1）证明：连接ED．因为点G是CE的中点，DG⊥CE，所以DE＝DC．因为AD是高，CE是中线，所以DE＝BE＝AE．所以BE＝CD．（2）解：因为DE＝BE＝AE＝DC，所以∠BCE＝∠DEC，∠BAD＝∠ADE．所以∠EDB＝2∠BCE，∠ADE＝＝＝．因为AD是高，所以∠EDB+∠ADE＝90°．即2∠BCE+．＝90°．所以3∠BCE＝75°．所以∠BCE＝25°．22．如图，AB＝AC＝AD．（1）如果AD∥BC，那么∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论；（2）如果∠C＝2∠D，那么你能得到什么结论？证明你的结论．【分析】（1）∠C＝2∠D．由于AD∥BC，利用平行线性质可得∠D＝∠DBC，又AB＝AD，可得∠D＝∠ABD，易求∠ABC＝2∠D，又AB＝AC，可知∠ABC＝∠C，等量代换可得∠C＝2∠D；（2）AD∥BC．由于AB＝AC，可得∠ABC＝∠C＝2∠D，而AB＝AD，那么有∠ABD＝∠D，从而有∠DBC＝∠D，那么易证AD∥BC．解：（1）∠C＝2∠D，证明：因为AD∥BC，所以∠D＝∠DBC，又因为AB＝AD，所以∠D＝∠ABD，所以∠ABC＝2∠D，因为AB＝AC，所以∠C＝∠ABC＝2∠D；（2）AD∥BC，证明：因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝2∠D，又因为AB＝AD，所以∠ABD＝∠D，所以∠DBC＝∠D，所以AD∥BC．23．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为120m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时130m范围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？【分析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间．解：设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA＝DA＝130m，在Rt△ABC中，CB＝＝50（m），所以CD＝2CB＝100（m），则该校受影响的时间为：100÷5＝20（s）．答：该学校受影响的时间为20s，24．已知，点P（2m﹣6，m+2）．（1）若点P在y轴上，则点P的坐标为（0，5）；（2）若点P的纵坐标比横坐标大6，则点P在第二象限；（3）若点P、Q都在过点A（2，3）且与x轴平行的直线上，AQ＝3，求点P与点Q的坐标．【分析】（1）y轴上点的坐标特点是横坐标为0，据此求解可得；（2）由题意可列出等式2m﹣6+6＝m+2，求解即可；（3）与x轴平行的直线上点的特点是纵坐标都相等，根据这个性质即可求解．解：（1）因为点P在y轴上，所以2m﹣6＝0，解得m＝3，所以P点的坐标为（0，5）；故答案为：（0，5）；（2）根据题意得2m﹣6+6＝m+2，解得m＝2，所以P点的坐标为（﹣2，4），所以点P在第二象限；故答案为：二；（3）因为点P、Q在过A（2，3）点且与x轴平行的直线上，所以点P和Q的纵坐标为3，所以P（﹣4，3），而AQ＝3，所以Q点的横坐标为﹣1或5，所以Q点的坐标为（﹣1，3）或（5，3）．25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在BC上且满足PA＝PB，则此时t＝．（2）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求此时t的值；（3）在点P运动过程中，若△ACP为等腰三角形，则此时t＝或或或3．【分析】（1）设PB＝PA＝x，则PC＝4﹣x，在Rt△ACP中，依据AC2+PC2＝AP2，列方程求解即可得到t的值．（2）设PD＝PC＝y，则AP＝3﹣y，在Rt△ADP中，依据AD2+PD2＝AP2，列方程求解即可得到t的值．（3）分四种情况：当P在AB上且AP＝CP时，当P在AB上且AP＝CA＝3时，当P在AB上且AC＝PC时，当P在BC上且AC＝PC＝3时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值．解：（1）如图，设PB＝PA＝x，则PC＝4﹣x，因为∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，所以AC＝3cm，在Rt△ACP中，AC2+PC2＝AP2，所以32+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，所以BP＝，所以t＝＝＝．故答案为：．（2）如图，过P作PD⊥AB于D，因为BP平分∠ABC，∠C＝90°，所以PD＝PC，BC＝BD＝4，所以AD＝5﹣4＝1，设PD＝PC＝y，则AP＝3﹣y，在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，所以12+y2＝（3﹣y）2，解得y＝，所以CP＝，所以t＝＝＝，当点P与点B重合时，点P也在∠ABC的角平分线上，此时，t＝＝．综上所述，点P恰好在∠ABC的角平分线上，t的值为或．（3）分四种情况：①如图，当P在AB上且AP＝CP时，∠A＝∠ACP，而∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，所以∠B＝∠BCP，所以CP＝BP，所以P是AB的中点，即AP＝AB＝，所以t＝＝．②如图，当P在AB上且AP＝CA＝3时，t＝＝．③如图，当P在AB上且AC＝PC时，过C作CD⊥AB于D，则CD＝＝，所以Rt△ACD中，AD＝，所以AP＝2AD＝，所以t＝＝．④如图，当P在BC上且AC＝PC＝3时，BP＝4﹣3＝1，所以t＝＝＝3．综上所述，当t＝或或或3时，△ACP为等腰三角形．故答案为：或或或3．26．阅读理解题（1）阅读理解：如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．思路点拨：考虑到PA，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处，此时△ACP'≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解题过程．（2）变式拓展：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，BE＝5，CF＝4，求EF的大小．（3）能力提升：如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，请直接写出OA+OB+OC的值，即OA+OB+OC＝．【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答．（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可解决问题．（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′