合肥市庐江县2022年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案VIP

6/26合肥市庐江县2022年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题本大题共10小题，每小题4分，满分40分。1．（4分）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．是最简二次根式，故本选项符合题意；C．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．2．（4分）如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是（）A．线段AB B．线段AB的长度 C．线段CD D．线段CD的长度【分析】根据平行线间的距离的定义，可得答案．【解答】解：由直线a∥b，CD⊥b，得：线段CD的长度是直线a，b之间距离，故选：D．【点评】本题考查了平行线间的距离，利用平行线间的距离的定义是解题关键．3．（4分）Rt△ABC的斜边为13，其中一条直角边为12，另一条直角边的长为（）A．5 B．6 C．7 D．9【分析】根据勾股定理计算，即可得出答案．【解答】解：根据题意，由勾股定理得，另一条直角边长＝＝5；故选：A．4．（4分）当x＞2时，＝（）A．2﹣x B．x﹣2 C．2+x D．±（x﹣2）【分析】根据＝|a|的进行计算即可．【解答】解：因为x＞2，所以＝|2﹣x|＝x﹣2，故选：B．5．（4分）若3、4、a为勾股数，则a的值为（）A． B．5 C．5或7 D．5或【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数求解即可．【解答】解：因为3、4、a为勾股数，所以当a最大时，此时a＝＝5，当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数，故选：B．【点评】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．6．（4分）下列计算正确的是（）A．＝2 B．×＝ C．2÷＝ D．+＝【分析】利用二次根式的加法法则，乘法的法则，除法的法则，减法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、与﹣不属于同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：因为CB＝6，BF＝2，所以FC＝6﹣2＝4，因为BA＝BC，BD⊥AC，所以AD＝DC，因为AE＝EF，所以DE是△AFC的中位线，所以DE＝FC＝×4＝2，故选：B．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．8．（4分）如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（）A．24 B．10 C． D．【分析】由菱形面积＝对角线积的一半可求面积，由勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．【解答】解：如图，对角线AC、BD交于点O，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，所以BC＝＝＝5，因为菱形ABCD的面积＝×6×8＝24，所以AH＝，故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．9．（4分）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（）A．8km B．10km C．12km D．10km【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．【解答】解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点A'，再连接A'B，交直线MN于点P.则此时AP+PB最小，过点B作BD⊥CA延长线于点E，因为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km，所以AA'＝4km，则AE＝6km，在Rt△A'EB中，CB＝＝10（km），则AP+PB的最小值为：10km．故选：B．【点评】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（）A．12.5 B．12 C．10 D．10.5【分析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．【解答】解：因为矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，所以CG＝DG＝×12＝6，在△DEG和△CFG中，，所以△DEG≌△CFG（ASA），所以DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，在Rt△DEG中，EG＝＝，所以EF＝2，因为FH垂直平分BE，所以BF＝EF，所以6+2x＝2，解得x＝4.5，所以AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，所以BC＝AD＝10.5．故选：D．二、填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分。11．（5分）若式子有意义，则x的取值范围是x≥2．【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．【解答】解：由题意可得3x﹣6≥0，解得x≥2，故答案为：x≥2．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为（﹣，0），点P的纵坐标为﹣1，则P点的坐标为（﹣4，﹣1）．【分析】过P作PB⊥OA于B，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过P作PB⊥OA于B，因为点A的坐标为（﹣，0），所以OP＝OA＝，因为点P的纵坐标为﹣1，所以PB＝1，所以OB＝＝4，所以P点的坐标为（﹣4，﹣1），故答案为：（﹣4，﹣1）．【点评】本题考查的是勾股定理，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，∠ABD＝3∠CBD，E是斜边AC的中点，∠EBD的度数是45°．【分析】先根据已知条件求出∠CBD和∠BDE的度数，再根据E是斜边AC的中点，得出∠EBA＝∠A，从而得出结论．【解答】解：因为∠ABD＝3∠CBD，∠ABC＝90°，∠ABD+∠CBD＝∠ABC，所以4∠CBD＝90°，所以∠CBD＝22.5°，则∠ABD＝3×22.5°＝67.5°，因为BD⊥AC，所以∠C＝∠BDC﹣∠CBD＝90°﹣22.5°＝67.5°，所以∠A＝∠ABC﹣∠C＝90°﹣67.5°＝22.5°，因为E是斜边AC的中点，所以BE＝AE＝CE，所以∠EBA＝∠A＝22.5°，所以∠EBD＝∠DBA﹣∠EBA＝67.5°﹣22.5°＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及角的运算，关键是对角的和差的运算．14．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点，且AE长为1cm，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处，设运动时间为t秒．（1）当t＝5时，∠B'PC为直角；（2）若点B'到直线AD的距离为3cm，则BP长为或15．【分析】（1）根据当∠B'PC＝90°时，∠BPB'＝90°，即可得到△BEP为等腰直角三角形，进而得到BP＝BE＝5cm，再根据点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，即可得到t的值；（2）过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，进而得出四边形ABNM是矩形，四边形AEHM是矩形．再分两种情况进行讨论：①若点B'在AD下方；②若点B'在AD上方，分别根据Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，即可得到BP的值．【解答】解：（1）因为正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点且AE长为1cm，所以BE＝5（cm），当∠B'PC＝90°时，∠BPB'＝90°，所以由折叠可得，∠BPE＝∠BPB'＝45°，又因为∠B＝90°，所以∠BEP＝45°，所以BP＝BE＝5（cm），因为点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，所以t＝5÷1＝5（秒），故答案为：5；（2）过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，因为AD∥BC，MN∥AB，所以四边形ABNM是平行四边形，又因为∠A＝90°，所以四边形ABNM是矩形同理可得：四边形AEHM是矩形．①如图：若点B'在AD下方，则B'M＝3cm，B'N＝3cm，因为MH＝AE＝1（cm），所以B'H＝2（cm），由折叠可得，EB'＝EB＝5（cm），所以Rt△EB'H中，EH＝＝（cm），所以BN＝AM＝EH＝（cm），设BP＝tcm，所以PB'＝tcm，PN＝（﹣t）cm因为Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，所以t2＝（﹣t）2+32，解得：t＝．②如图：若点B'在AD上方，则B'M＝3cm，B'N＝9cm，同理可得，EH＝3cm，设BP＝tcm，所以B'P＝tcm，PN＝（t﹣3）cm，因为Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，所以t2＝（t﹣3）2+92，解得：t＝15．综上所述，BP的值为或15．故答案为：或15．【点评】本题考查了折叠问题，勾股定理以及正方形的性质的运用，解题时我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：（+1）2﹣（3﹣）÷．【分析】先根据完全平方公式和二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．【解答】解：（+1）2﹣（3﹣）÷＝3+2+1﹣3+1＝3+2+1﹣+1＝5+．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．16．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的长．【分析】直接利用勾股定理得出BD的长，再由平行四边形的性质即可得出答案．【解答】解：在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝8，AD∥BC，AD＝8，因为BD⊥AD，AB＝10，所以BD＝＝6．因为四边形ABCD是平行四边形，所以OB＝BD＝3．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出BD的长是解题关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．【分析】先推出△BEC是直角三角形，然后根据S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化简，即可证明结论成立．【解答】证明：由已知可得，Rt△BAE≌Rt△EDC，所以∠ABE＝∠DEC，因为∠ABE+∠AEB＝90°，所以∠DEC+∠AEB＝90°，所以∠BEC＝90°，所以△BEC是直角三角形，所以S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，所以＝，所以＝，所以a2+b2＝c2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是推出△BEC是直角三角形．18．（8分）观察下列等式：第1个等式：＝3；第2个等式：＝4；第3个等式：＝5；第4个等式：＝6；…按照以上规律，解决下列问题：（1）填空：＝10；（2）填空：＝n（n≥3且n为正整数），并证明这个等式．【分析】（1）根据四个等式总结规律，根据规律解答；（2）根据规律解答即可．【解答】解：（1）根据规律可知：＝10，故答案为：；（2）＝n，故答案为：．【点评】本题考查的是数字的变化规律，根据题意找出数字的变化规律是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）如图，网格中每个小正方形的边长都是1．（1）线段AB的长度是；（2）请在网格中画出线段AC＝，BD＝2，且C，D为AB右侧的格点（网格线的交点）；（3）以AB、AC、BD三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）利用数形结合的思想画出图形即可；（3）利用勾股定理的逆定理判断即可．【解答】解：（1）AB＝＝．故答案为：；（2）如图，线段AC，BD即为所求；（3）以AB、AC、BD三条线段为边能构成直角三角形．理由：因为AB＝，AC＝，BD＝2，所以（）2＝（）2+（2）2，所以以AB、AC、BD三条线段为边能构成直角三角形．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．20．（10分）如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE＝CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形BCEF是菱形．（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．【分析】（1）先证四边形BCFE是平行四边形．再证BC＝CE，即可得出结论；（2）根据等边三角形的判定和性质以及菱形的性质解答即可．【解答】（1）证明：因为D、E分别是AC、AB的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，DE＝BC，所以EF∥BC，因为BF∥CE，所以四边形BCEF是平行四边形，因为DE＝CE，所以BC＝CE，所以平行四边形BCEF是菱形；（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，由（1）知BC＝CE，因为∠BCE＝60°，所以△BCE是等边三角形，所以BE＝CE＝BC＝2，因为EG⊥BC，所以BG＝BC＝1，在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG＝＝＝，所以S菱形BCEF＝BC•EG＝2×＝2．【点评】此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．六、（本题满分12分）21．（12分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米．（1）求公路CD的长度；（2）若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的总费用．【分析】（1）根据勾股定理得到BC＝＝＝12（千米），根据线段的弧长即可得到结论；（2）根据勾股定理得到AD＝＝（千米），求得DH＝＝3，于是得到结论．【解答】解：（1）因为∠C＝90°，AC＝9千米，AB＝15千米，所以BC＝＝＝12（千米），因为BD＝5千米，所以CD＝12﹣5＝7（千米），答：公路CD的长度为7千米；（2）因为AC＝9千米，CD＝7千米，所以AD＝＝（千米），因为DH⊥AB，所以AD2﹣AH2＝BD2﹣BH2，所以130﹣（15﹣BH）2＝52﹣BH2，所以BH＝4，所以DH＝＝3，所以修建公路DH的总费用为3×2000＝6000（万元）．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．七、（本题满分12分）22．（12分）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝，n＝（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）与（1，）．（1）数对（25，4）的一对“对称数对”是（，2）和（2，）；（2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（，1），求x的值；（3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（，3），求ab的值．【分析】（1）根据新定义即可得出结论；（2）根据新定义，列等式＝1，解方程进而得出结论；（4）根据新定义，列方程组，解出进而得出结论．【解答】解：（1）因为＝，＝2，所以数对（25，3）的一对“对称数对”是（，2）与（2，），故答案为：（，2）与（2，）；（2）因为数对（x，2）的一个“对称数对”是（，1），所以＝1，所以x＝1；（3）因为数对（a，b）的一个“对称数对”是（，3），所以或，解得或，所以ab＝9或．【点评】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，把一个等腰直角三角板AEM放置于矩形ABCD上，AE＝BC＝13，AB＝24．三角板的一个锐角的顶点放在A处，且直角边AE在矩形内部绕点A旋转，在旋转过程中EM与CD交于点F．（1）如图1，①旋转过程中线段DF与EF有何数量关系？并给出证明；②连接EC，EB，若△ECB为等腰三角形，求DF的长；（2）如图2，以AD为边在矩形内部作正方形ADHI，直角边EM所在的直线交HI于O，交AB于G．设DF＝m，请你用m的代数式表示OH的长．【分析】（1）①连接AF，根据HL证直角三角形ADF≌直角三角形AEF，即可得出结论；②分三种情况进行讨论求值即可；（2）同理（1）得出OE＝OI，即OI＝HI﹣OH，再利用勾股定理得出OH即可．【解答】解：（1）①DF＝EF，理由如下：连接AF，因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC＝13，∠D＝90°，因为AE＝BC＝13，所以AD＝AE＝13，在Rt△ADF和Rt△AEF中，，所以Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），所以DF＝EF；②分三种情况：（Ⅰ）如图2，连接BE，BC，当B