福建省漳平市2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

26/28福建省漳平市2022年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题1．以下是某中学初二年级的学生在学习了轴对称图形之后设计的．下面这四个图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A、是轴对称图案，故此选项错误；B、是轴对称图案，故此选项错误；C、不是轴对称图案，故此选项正确；D、是轴对称图案，故此选项错误；故选：C．2．若一个等腰三角形的两边长分别是1和3，则它的周长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．4或7【分析】分两种情况讨论：当1是腰时或当3是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．解：当1是腰时，则1+1＜3，不能组成三角形，应舍去；当3是腰时，则三角形的周长是1+3×2＝7．故选：B．3．下列说法正确的有（）①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①② B．①③④C．③④ D．①②④【分析】①根据等腰三角形及等边三角形的定义进行解答即可；②由三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，可得结论；③根据等腰三角形的定义进行解答；④根据三角形按角分类情况可得答案．解：①因为有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，所以等腰三角形不一定是等边三角形，所以①错误；②因为三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，所以②错误；③因为两边相等的三角形称为等腰三角形，所以③正确；④因为三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，所以④正确．故选：C．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是中线，则由（）可得△AFC≌△AEB．A．SSS B．SASC．AAS D．ASA【分析】根据中线定义可得AE＝AC，AF＝AB，进而得到AF＝AE，然后再利用SAS定理证明△AFC≌△AEB．解：因为BE、CF是中线，所以AE＝AC，AF＝AB，因为AB＝AC，所以AF＝AE，在△AFC和△AEB中，所以△AFC≌△AEB（SAS），故选：B．5．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（）A．△AA'P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA'，CC' C．△ABC与△A'B'C'面积相等 D．直线AB、A'B'的交点不一定在MN上【分析】由轴对称的性质可知△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，即可求解．解：因为△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，所以△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，因为P为MN上任一点，所以AP＝A'P，所以△AA'P是等腰三角形，所以A选项不符合题意；因为AP＝A'P，CP＝C'P，所以MN垂直平分AA'、CC'，所以B选项不符合题意；因为△ABC≌△A'B'C'，所以△ABC与△A'B'C'面积相等，所以C选项不符合题意；因为由轴对称的性质，可知直线AB、A'B'的交点一定在MN上，所以D选项符合题意；故选：D．6．如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB＝4，AC＝3，则△ADF周长为（）A．6 B．7 C．8 D．10【分析】根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠EBC，∠ECF＝∠ECB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC＝∠BED，∠ECB＝∠CEF，然后求出∠EBD＝∠DEB，∠ECF＝∠CEF，再根据等角对等边可得ED＝BD，EF＝CF，即可得出DF＝BD+CF；求出△ADF的周长＝AB+AC，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】（1）证明：因为E是∠ABC，∠ACB平分线的交点，所以∠EBD＝∠EBC，∠ECF＝∠ECB，因为DF∥BC，所以∠DEB＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB，所以∠DEB＝∠DBE，∠FEC＝∠FCE，所以DE＝BD，EF＝CF，所以DF＝DE+EF＝BD+CF，即DE＝BD+CF，所以△ADF的周长＝AD+DF+AF＝（AD+BD）+（CF+AF）＝AB+AC，因为AB＝4，AC＝3，所以△ADF的周长＝4+3＝7，故选：B．7．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB＝45°，即可得出结论．解：因为等边三角形ABC中，AD⊥BC，所以BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，因为点E在AD上，所以BE＝CE，所以∠EBC＝∠ECB，因为∠EBC＝45°，所以∠ECB＝45°，因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，所以∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，故选：A．8．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【分析】依据尺规作图，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，进而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．解：由作图可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；故选：A．9．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．0.7cm2【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．解：延长AP交BC于E，因为AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP＝∠EBP，又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，所以△ABP≌△BEP，所以S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，所以△APC和△CPE等底同高，所以S△APC＝S△PCE，所以S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝0.5cm2，故选：B．10．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．因为∠PEO＝∠PFO＝90°，所以∠EPF+∠AOB＝180°，因为∠MPN+∠AOB＝180°，所以∠EPF＝∠MPN，所以∠EPM＝∠FPN，因为OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，所以PE＝PF，在△POE和△POF中，，所以△POE≌△POF，所以OE＝OF，在△PEM和△PFN中，，所以△PEM≌△PFN，所以EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，所以S△PEM＝S△PNF，所以S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，因为OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故（4）错误，故选：B．二、填空题：11．在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C是40°．【分析】根据三角形内角和定理计算即可．解：因为∠A＝60°，∠B＝80°，所以∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°，故答案为：40．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DC＝3，则点D到AB的距离是3．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DC即可得解．解：作DE⊥AB于E，因为AD是∠CAB的角平分线，∠C＝90°，所以DE＝DC，因为DC＝3，所以DE＝3，即点D到AB的距离DE＝3．故答案为：3．13．如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于126°．【分析】根据等边三角形的性质得到AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五边形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代换得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根据三角形的内角和求出∠BFC＝66°，根据∠AFC＝∠AFB+∠BFC即可得到结论．解：因为△ABF是等边三角形，所以AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，在正五边形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝108°，所以BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，所以∠BFC＝（180°﹣∠FBC）＝66°，所以∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，故答案为：126°．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的动点（点D与B，C不重合），△ABD和△ACD的面积分别表示为S1和S2，且S1＝S2，请说出说明AD是△ABC角平分线的依据到角两边距离相等的点在角平分线上．【分析】先根据三角形的面积公式，推出DE＝DF，再根据（HL），证明Rt△DEA≌Rt△DFA，推角相等后得出结论．【解答】证明：过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠DEA＝∠DFA＝90°，因为S1＝，S2＝，因为S1＝S2，所以＝，因为AB＝AC，所以DE＝DF，所以AD是∠ABC角平分线；即AD是△ABC角平分线；所以AD是△ABC角平分线的依据：到角两边距离相等的点在角平分线上．故答案为：到角两边距离相等的点在角平分线上．15．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为10．【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．解：连接AD，因为△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，所以AD⊥BC，所以S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，因为EF是线段AC的垂直平分线，所以点C关于直线EF的对称点为点A，所以AD的长为CM+MD的最小值，所以△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故答案为：10．16．在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的角平分线，BE⊥AD于E，若BE＝4，BD＝5，CD＝9，则△ABC的周长是42．【分析】延长BE交AC于F，利用ASA证明△AEB≌△AEF，得BE＝EF，AB＝AF．∠ABE＝∠AFE，再证明FB＝FC＝8，由AD是∠BAC的角平分线，得，则AB＝10，即可解决问题．解：如图，延长BE交AC于F，因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD＝∠CAD，因为BE⊥AD，所以∠AEB＝∠AEF，在△AEB与△AEF中，，所以△AEB≌△AEF（ASA），所以BE＝EF，AB＝AF．∠ABE＝∠AFE，因为BE＝4，所以EF＝4，BF＝BE+EF＝8，因为∠AFE＝∠FBC+∠C，所以∠ABE＝∠FBC+∠C，因为∠ABC＝∠ABE+∠FBC＝2∠FBC+∠C＝3∠C，所以∠FBC＝∠C，所以FB＝FC＝8，因为AD是∠BAC的角平分线，所以，所以AB＝10，所以AC＝AB+FC＝18，所以C△ABC＝AB+AC+BC＝10+18+5+9＝42，故答案为：42．三、解答题：17．如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．【分析】由垂直的定义，DE＝DF，CE＝BF证明△BDF≌△CDE，得出对应角相等即可．【解答】证明：因为DE⊥AC，DF⊥AB，所以∠BFD＝∠CED＝90°，在△BDF和△CDE中，，所以△BDF≌△CDE（SAS），所以∠B＝∠C．18．如图，A点坐标为（3，4），A、B、C均在格点上，请在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（1）请你画出△A1B1C1并写出A'的坐标．（2）求△A1B1C1的面积．【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用三角形的面积公式求解即可．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（﹣3，4）；（2）．19．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF．【分析】根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答即可．【解答】证明：因为在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，所以∠ABC+∠ADC＝180°，因为BE平分∠B，DF平分∠D，所以∠EBF+∠FDC＝90°，因为∠C＝90°，所以∠DFC+∠FDC＝90°，所以∠EBF＝∠DFC，所以BE∥DF．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC边上的一点，且∠CBE＝∠CAD．求证：BE⊥AC．【分析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C＝90°．【解答】证明：因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC，所以∠CAD+∠C＝90°，又因为∠CBE＝∠CAD，所以∠CBE+∠C＝90°，所以BE⊥AC．21．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形（请画出图形，写出已知、求证、证明的过程）．【分析】根据题意画出图形，即可写出已知、求证，根据平行线的判定和性质、三角形的外角性质即可证明．【解答】已知：如图：∠DAC是△ABC的外角，AE平分∠DAC，AE∥BC．求证：△ABC为等腰三角形．证明：因为AE∥BC，所以∠EAD＝∠B，∠EAC＝∠C，因为AE平分∠DAC，所以∠EAD＝∠EAC，所以∠B＝∠C，所以AB＝AC，所以△ABC为等腰三角形．22．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②判断△CFH的形状并说明理由．【分析】①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF＝∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF＝∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF＝CH，由CF＝CH和∠ACH＝60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．【解答】①证明：因为△ABC和△CDE都是等边三角形，所以∠BCA＝∠DCE＝60°，BC＝AC，CE＝CD所以∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，所以△BCE≌△ACD（SAS）；②△CFH是等边三角形．理由如下：因为△BCE≌△ACD，所以∠CBF＝∠CAH．因为∠ACB＝∠DCE＝60°，所以∠ACH＝60°．所以∠BCF＝∠ACH，在△BCF和△ACH中，，所以△BCF≌△ACH（ASA），所以CF＝CH；因为CF＝CH，∠ACH＝60°，所以△CFH是等边三角形．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F．（1）在图中，依题意补全图形；（2）记∠DAC＝α（α＜45°），求∠ABF的大小；（用含α的式子表示）（3）若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明．【分析】（1）根据轴对称即可得出结论；（2）先判断出AE＝AC，再表示出∠BAE，即可得出结论；（3）先判断出△BCF是直角三角形，结合△ACE是等边三角形，即可得出结论．解：（1）如图1所示；（2）如图2，连接AE，由题意可知，∠EAD＝∠CAD＝α，AC＝AE，所以∠BAE＝90°﹣2α，因为AB＝AC，所以AB＝AE，所以∠ABE＝∠AEB，所以；（3），证明：如备用图，连接AE，CF，由（2）可知，∠AEB＝∠ABF＝45°+α，因为AB＝AC，所以∠ABC＝45°，所以∠CBF＝α，因为点C关于直线AD的对称点为点E，所以∠ACF＝∠AEF＝135°﹣α，所以∠BCF＝90°﹣α，因为∠CBF+∠BCF＝90°，所以△BCF是直角三角形．因为△ACE是等边三角形，所以α＝30°．所以∠CBF＝30°，所以．24．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD＝AE，∠DAE＝60°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：CE平分∠ACF；（3）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．【分析】（1）由于AB＝AC，AD＝AE，所以只需证∠BAD＝∠CAE即可得结论；（2）证明∠ACE和∠ECF都等于60°即可；（3）将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半．【解答】（1）证明：因为△ABC是等边三角形，所以AB＝AC，∠BAC＝60°，因为∠DAE＝60°，所以∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，所以△ABD≌△ACE．（2）证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠B＝∠BCA＝60°，因为△ABD≌△ACE，所以∠ACE＝∠B＝60°，因为△ABD≌△ACE，所以∠ACE＝∠B＝60°，所以∠ECF＝180﹣∠ACE﹣∠BCA＝60°，所以∠ACE＝∠ECF，所以CE平分∠ACF．（3）解：因为△ABD≌△ACE，所以CE＝BD，因为△ABC是等边三角形，所以AB＝BC＝AC＝2，所以四边形ADCE的周长＝CE+DC+AD+AE＝BD+DC+2AD＝2+2AD，根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，因为AB＝AC，所以BD＝＝＝1．25．如图①，平面直角坐标系xOy中，若A（0，a）、B（b，0）且，以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∠CA