江苏省苏州市姑苏区2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

第页江苏省苏州市姑苏区0323-2024学年九年级上学期10月月考数学试题一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1.下列给出的方程中，属于一元二次方程的是（）A.x（x﹣1）＝6 B.x2+＝0 C.（x﹣3）（x﹣2）＝x2 D.ax2+bx+c＝0【答案】A【解析】【分析】一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A.该方程化简为选x2-x-6=0符合一元二次方程的定义，所以它是一元二次方程，故本选项正确；B.该方程不是整式方程，故本选项错误；C.该方程中化简未知数x的最高次数是1，所以它不是一元二次方程，故本选项错误；D.该方程中要规定a≠0，所以它不是一元二次方程，故本选项错误；故答案选：A.【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义.2.用配方法解方程，配方后可得（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用完全平方公式进行配方即可得．【详解】解：，，，，故选：B．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．3.在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（）．A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项．【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键．4.“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年万字增加到九年级的每年万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为(

)A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握为增长率问题的一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量是解决问题的关键．【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意得．故选：A．5.已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为，图象开口向上；和(0，)关于直线x=1对称，再根据二次函数的增减性即可判断．【详解】解：因为，所以其对称轴为，因为，所以抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，根据二次函数图象的对称性∶可知，和(0，)关于直线x=1对称，因为，故，故选：D．【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．6.若二次函数y＝﹣ax2的图象经过点P（﹣，2），则该图象必经过点（）A.（，﹣2） B.（2，） C.（2，﹣） D.（，2）【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象的对称性解答．【详解】解：∵点P（−，2）与（，2）关于二次函数y＝−ax2的对称轴y轴对称，∴该图象必经过点（，2）．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数轴对称的性质求解更简便．7.若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．【详解】解：设方程的两根分别为a，b，∴，∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，∴，即，∵菱形对角线垂直且互相平分，∴该菱形的边长为，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．8.当时，二次函数的最小值为－1，则a的值为（）A.2 B. C.2或 D.2或【答案】A【解析】【分析】根据与对称轴的三种关系进行讨论，即可得出答案．【详解】解：∵二次函数y=x2−2ax+3，∴抛物线的对称轴为直线，（1）当时，在对称轴为左侧，，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴时，取最小值-1，即，解得：，不符合题意舍去；（2）当时，在对称轴为右侧，，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∴时，取最小值-1，即，解得：，不符合题意舍去；（3）当时，在对称轴的两侧，当时，函数有最小值为，解得：或（舍去）；综上分析可知，a的值为，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据对称轴的位置进行分类讨论是解题的关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9.方程是关于x的二次函数，则____________．【答案】【解析】【分析】根据二次函数的定义可得，求解即可．【详解】∵方程是关于x的二次函数，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．10.若一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________【答案】m<且m≠0【解析】【分析】由一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根，可得△=b2-4ac＞0且m≠0，解此不等式组即可求得答案．【详解】解：∵一元二次方程mx2+4x+5=0有两个不相等实数根，∴△=b2-4ac=42-4×m×5=16-20m＞0，解得：m＜，∵m≠0，∴m的取值范围为：m＜

且m≠0．故答案为m＜

且m≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.11.已知α、β是方程的两个实数根，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】根据题意求出，的值，代入代数式进行计算即可．【详解】解：∵已知α、β是方程的两个实数根，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解题的关键．12.已知实数x满足，则代数式的值是_________．【答案】5【解析】【分析】已知方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出所求式子的值即可．【详解】解：已知方程分解因式得：，可得或（无解），．故答案为：5．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．13.已知关于x的二次函数y=mx2-2x+1，当时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为________．【答案】0＜m≤5【解析】【分析】根据对称轴的左侧的增减性，可得m＞0，根据增减性，可得对称轴大于或等于，可得答案．【详解】解：由当x＜时，y的值随x的增大而减小可知，抛物线开口向上，m＞0，且对称轴，解得m≤5，故答案为：0＜m≤5．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的增减性得出抛物线的开口方向且是解题的关键．14.如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为_________．【答案】【解析】【分析】根据点B的纵坐标是横坐标的2倍，和点在抛物线的第一象限的图象上，可以求得点的坐标．【详解】解：设点的横坐标为，纵坐标为，解得（不合题意，舍去），，，点的坐标为，连接，则，四边形是正方形，，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是求出点的坐标．15.把抛物线的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式是，则________.【答案】7【解析】【分析】因为抛物线y＝ax2＋bx＋c图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y＝x2−4x＋5，所以y＝x2−4x＋5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，先由y＝x2−4x＋5的平移求出y＝ax2＋bx＋c的解析式，再求a＋b＋c的值．【详解】∵y＝x2−4x＋5＝（x−2）2＋1，当y＝x2−4x＋5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，∴y＝（x−2＋3）2＋1＋2＝x2＋2x＋4；∴a＋b＋c＝1＋2＋4＝7．故答案是：7．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．16.如图，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中错误的序号是____．【答案】③④##④③【解析】【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①；由时，时可判断②③；由时y取最小值可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线对称轴为直线，∴，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴，∴，∴①正确．由图象可得时，，∴②正确；时，，∴③错误．由图象可得时，函数取最小值，∴，即，④错误．综上，错误的有③④．故答案为：③④．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．三．解答题（共11小题，满分82分）17.解下列方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）分式方程无解【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的解法，解分式方程的步骤是解此题的关键．（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，即可求解．【小问1详解】解：，，，，，，；【小问2详解】解：，，，，或，；【小问3详解】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，检验，当时，，原分式方程无解．18.为落实“书香中国”的发展战略，某图书馆2022年藏书量为10万册，计划到2024年藏书量达到14.4万册．求图书馆藏书量的年平均增长率．【答案】图书馆藏书量的年平均增长率为【解析】【分析】设图书馆藏书量的年平均增长率为，根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设图书馆藏书量的年平均增长率为，根据题意得，解得：（舍去）答：图书馆藏书量的年平均增长率为．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．19.已知关于的方程（为常数）．（1）求证：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个实数根为和，且，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据根的判别式，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出，，利用即可得到k的值．【小问1详解】证明：由题意知，，，，则，所以，无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：由题意知，，，∵，∴，解得：．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根．20.已知关于x的一元二次方程有两个实数根，（1）求实数m的取值范围；（2）若，满足，求m的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据原方程有两个实数根，，可得，从而可得答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，再分两种情况讨论即可.【小问1详解】解：，∵原方程有两个实数根，∴，解得：；故原方程有两个实数根时，.【小问2详解】解：根据一元二次方程根与系数关系可得：，，当时，据题意可得，解得则，∴，当时，据题意可得，解得，∵，∴应舍去，综上可知：m的值为.【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记概念并灵活运用是解本题的关键.21.已知抛物线，根据下列条件，求值：（1）抛物线的顶点在轴上；（2）抛物线的顶点在轴上．【答案】（1）2（2）0【解析】【分析】本题考查了是二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．（1）由抛物线的顶点在轴上得出抛物线与轴有一个交点，从而得到抛物线对应的一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）根据抛物线的顶点在轴上，得出抛物线对称轴为直线，即可得解．【小问1详解】解：因为抛物线的顶点在轴上，所以抛物线与轴有一个交点，所以，即，解得：．【小问2详解】解：因为抛物线的顶点在轴上，所以抛物线对称轴为直线，所以，解得：．22.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x……01234……y……83m03……（1）求m的值和这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）；（3）当时，直接写出y的取值范围．【答案】（1），（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）由表格中数据可知抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即，然后设出顶点式，将代入求出a的值即可；（2）根据表格中的数据描点、连线即可；（3）根据函数图象可直接得出答案．【小问1详解】解：∵当和时，；∴抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即，设这个二次函数的表达式为：，将代入得，解得，∴这个二次函数的表达式为；【小问2详解】解：如图：【小问3详解】解：由函数图象得：当时，．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，画二次函数图象，二次函数图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．23.第19届亚运会原定于2022年9月10日至25日在杭州举行，其吉祥物“琼琼”、“莲莲”、“宸宸”组成的“江南忆”毛绒玩具套件，已成为杭州店销人气款．某商场销售这种毛绒玩具，平均每天可售出50套，每套盈利60元．但由于受疫情影响，此届亚运会将延期至2023年举行，于是该商场决定采取降价措施，以尽快减少库存，经调查发现，每套毛绒玩具每降价1元，平均每天可多售出2套．（1）若每套毛绒玩具降价5元，则该商场平均每天可盈利多少元？（2）若该商场计划平均每天盈利3500元，则每套毛绒玩具应降价多少元？【答案】（1）3300元（2）25元【解析】【分析】（1）根据“平均每天可售出50套，每套盈利60元，每套毛绒玩具每降价1元，平均每天可多售出2套”解答即可；（2）设每套毛绒玩具应降价元，销售数量为件，利润为：元，从列方程即可求解．【小问1详解】（元）答：该商场平均每天可盈利3300元．【小问2详解】设每套毛绒玩具应降价元，由题意，得：解之，得：，，∵该商场是为了尽快减少库存，∴，答：该商场每套毛绒玩具应降价25元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列方程．24.阅读理解以下内容，解决问题：解方程：．解：，方程即为：，设，原方程转化：解得，，，当时，即，，；当时，即，不成立．综上所述，原方程的解是，．以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．（1）已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；（2）仿照上述方法，解方程：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．【小问1详解】设，则，可化为：，即，故答案为：；【小问2详解】设，则，原方程可化为：，整理得，，或，或，当时，，解得，当时，无解，检验，当时，左边右边，是原方程的解，故原方程的解为：．【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．25.如图，抛物线过点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；（3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）的最大面积为，（3）存在，或或，，见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；（2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；（3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．【小问1详解】解：将点代入解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】设直线的解析式为，将点B、C代入得：，解得：，∴直线的解析式为，∵，∴，设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：∴，∴，∴，∴当时，的最大面积为，，∴【小问3详解】存在，或或，，证明如下：∵，∵抛物线的解析式为，∴对称轴为：，设点，若为菱形的边长，菱形，则，即，解得：，，∵，∴，∴，；若为菱形的边长，菱形，则，即，解得：，，∵，∴，∴，；综上可得：或或，．【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．26.如图，中，一动点P从C出发沿着方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着方向以2cm/s的速度运动，两点同时出发，其中一个点停止时，另一个点亦停止运动．设运动时间为．（1）当_____