江苏省连云港市赣榆区赣榆实验中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

第页2023-2024学年度第一学期第一阶段学业水平检测九年级数学试题友情提醒：请将所有答案填写在答题卡规定区域，宇迹工整，在其它区域答题无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案前的字母代号用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上）1.关于x的方程是一元二次方程，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的二次项系数不等于零得到a-1≠0，由此求得a的取值范围．【详解】依题意得：a-1≠0，

解得a≠1．

故选：C．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据方程解的定义，将已知的方程解代入方程求解即可．【详解】因为关于的一元二次方程的一个根为，所以将代入方程可得，解得，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的解：解决本题的关键是要将方程的已知解代入方程进行求解．3.已知的直径为10，若，则点P与的位置关系是（）A.点P在内 B.点P在上 C.点P在外 D.无法判断【答案】A【解析】【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．【详解】解：∵的直径为10，∴的半径为，∵，∴点P在内．故选：A．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．4.如图，是的直径，点在上，，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据圆周角定理可得，再由平角的定义可得，进行计算即可得到答案．【详解】解：是的直径，，，∵，，故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，也考查了平角的定义．5.如图，的半径为5，弦，点M是弦上的动点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过O作OM'⊥AB于M'，则OM'为OM变化过程中的最小值，由垂径定理可求得M'B，再由勾股定理可求得OM'，另可知OM变化过程中的最大值等于圆半径，如此问题可以得解．【详解】解：如图，过O作OM'⊥AB于M'，则OM'为OM变化过程中的最小值，由垂径定理可知M'B=4，∵OB=5，∴OM'=3，又有OM变化过程中的最大值等于圆半径5，∴3≤OM≤5，故选D．【点睛】本题考查垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理、勾股定理及垂线段的性质是解题关键．6.铜罗中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场．若整个比赛一共赛了45场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（）A.x（x+1）=45 B. C.x（x﹣1）=45 D.【答案】D【解析】【分析】设有个球队参赛，那么第一个球队和其他球队打场球，第二个球队和其他球队打场，以此类推可以知道共打场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．【详解】解：依题意得，即．故选：D．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．7.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（）A. B.且 C. D.且【答案】B【解析】【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，同时还应注意二次项系数不能为0．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，且，解得：且，则k的取值范围是且，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8.已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（）A.0 B.1 C.3 D.不确定【答案】A【解析】【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，

∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．∵a2+a+1=（a+）2+＞0，∴a+b+c=0．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.方程x(x+2)=2(x+2)的解是________．【答案】x1=-2，x2=2.【解析】【详解】解：原方程可化为：x（x+2）-2（x+2）=0；（x+2）（x-2）=0；x+2=0或x-2=0；解得：x=2或x=-2．故答案为：x1=-2，x2=2.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．10.一元二次方程化为的形式是____．【答案】【解析】【分析】按照配方法把方程变形即可．【详解】解：，移项得，，两边加上一次项系数一半的平方得，，配方得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的配方，解题关键是熟知配方法的步骤，准确进行变形．11.最近国家出台了一系列的政策，全国各地房市遇冷，以上海某地一处小区二手房为例，原价万元，经过连续两次降价，现价为万元，则平均降价率为______．【答案】【解析】【分析】直接利用降低率公式列出方程进行计算即可求解．【详解】解：设平均降价率为x，由题意可得，，（舍去）；，故答案为：．【点睛】本题考查了增长率问题，牢记增长率（或降低率）公式，其中a是原来的量，x是平均增长率（或平均降低率），n是增长（或降低）的次数，b是现在的量）是解题关键．12.若，是方程的两个根，则的值为___．【答案】7【解析】【分析】先利用根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵，是方程的两个根，∴，，∴，故答案为：7．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．13.如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，那么________．【答案】【解析】【分析】连接，利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明，即可解决问题．【详解】解：连接，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．14.用破损量角器按如图方式测量的度数，让的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为，则的度数为___________．【答案】140°##140度【解析】【分析】先抽象出几何图形，然后应用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解答．【详解】解：连接，设⊙O的直径为，如图：由题意可知，，，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，根据题意抽象出图形是解题关键．15.一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为_____．【答案】或【解析】【分析】分方程的两根为直角三角形的两条直角边和一条直角边，一条斜边，两种情况进行讨论求解．【详解】解：，∴，解得：；①当为直角边时：直角三角形的斜边为：，根据圆周角定理可知：直角三角形的斜边即为外接圆的直径，∴此时直角三角形的外接圆的直径为：；②当为一条直角边和一条斜边时，直角三角形的斜边为：，此时直角三角形的外接圆的直径为：；综上：此直角三角形的外接圆的直径为或；故答案为：或．【点睛】本题考查一元二次方程和几何的综合应用．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，以及直角三角形的斜边为外接圆的直径，是解题的关键．注意，分类讨论．16.在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，点N是线段BC的中点，点E，G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为_____．【答案】##【解析】【分析】作关于的对称点，取中点，连接，，，由题意可得出点的运动轨迹，同时通过作点关于的对称点的方式可以将进行转换，进而即可求解．【详解】解：如图所示，作关于的对称点，取中点，连接，，．可得，在以为直径的圆上，，为直角三角形，点M在以CD为直径的圆上，为斜边的中点，，此时当，，三边共线时，有长度的最小值等于，，分别是，的中点，，，，，长度的最小值为，，的最小值为，故答案为．【点睛】本题主要考查了轴对称问题、勾股定理、直角三角形斜边中线定理及圆的基本性质，本题的重难点在于找出点的运动轨迹，属于中等题．三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.解方程：（1）；（2）（配方法）；（3）（因式分解法）；（4）（公式法）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可；（2）根据配方法解一元二次方程即可；（3）根据因式分解法解一元二次方程即可；（4）根据公式法解一元二次方程即可．【小问1详解】，，；【小问2详解】，，，，；【小问3详解】，，或，；【小问4详解】，，，，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18.如图，中，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接、，．求证：D是的中点．【答案】见解析【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理得到，从而有，得出，根据圆周角定理的推论可得，然后根据等腰三角形的三线合一的性质即可得证．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵为的直径，∴，∴，又∵，，即D是的中点．【点睛】本题考查圆周角定理，也考查了等腰三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键．19.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝12cm，AD＝5cm，BD为直径，AC平分∠BAD，求BC的长．【答案】【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝90°，根据勾股定理得到BD＝（cm），求得BC＝CD，于是得到结论．【详解】解：解：∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∵AB＝12，AD＝5，∴BD＝，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴，∴BC＝CD，∴BC＝CD＝BD＝，故BC的长为．【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．20.已知关于的方程．（1）试说明：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为，求的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）计算出即可得出答案；（2）由方程的解的概念得出，代入到计算即可．【小问1详解】证明：∵，∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：∵方程有一个根为，∴，整理，得：，∴．【点睛】本题主要考查根的判别式和方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．21.如图所示的拱桥，用弧表示桥拱．（1）若弧所在圆的圆心为，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心．（不写作法，但要保留作图痕迹）（2）若拱桥的跨度（弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求拱桥的半径．【答案】（1）见解析（2）拱桥的半径为米【解析】【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，即可求解；（2）根据垂径定理得出，，设拱桥的半径为，在中，勾股定理即可求解．小问1详解】解：如图所示，作的垂直平分线，交于点，【小问2详解】解：如图，设为中点，交于点，∵，∴，，设拱桥的半径为，在中，，，∵，∴解得：∴拱桥的半径为米．【点睛】本题考查了确定圆心的位置，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．22.学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm．（1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值；（2）如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解；（2）可求，根据矩形面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解．【小问1详解】解：四边形是矩形，，由题意得：，整理得：，解得：，，，不合题意舍去，．答：当苗圃园的面积为60时，x的值为．【小问2详解】解：四边形是矩形，，，解得：，由题意得：，整理得：，解得：，，不合题意舍去，．答：当苗圃园的面积为60时，x的值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程在面积问题中的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式是解题的关键．23.如图，AB为的直径，CD为弦，于点E，连接DO并延长交于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，且．（1）求证：；（2）若，求和GD的长．【答案】（1）见详解（2），【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，然后可得结论；（2）由垂径定理和圆周角定理可求，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，即可求解．【小问1详解】证明：∵，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解：如图，连接，，，，，，，，是直径，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元？【答案】（1）60；（2）200．【解析】【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7．5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．（2）设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7．5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元做为等量关系可列出方程求解．试题解析：【详解】（1）当每吨售价是240元时，此时的月销售量为：；（2）设当售价定为每吨x元时，由题意，可列方程.化简得.解得,.当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．25.已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由．【答案】（1）1秒（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）经过x秒钟的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解；（2）设运动时间为x秒，则，

，，再由勾股