自动控制原理 课件 8.3 描述函数法

8.3描述函数法

描述函数法是达尼尔于1940年提出的非线性系统分析方法。该方法主要用来分析在没有输入信号作用下，非线性系统的稳定性和自激振荡问题。描述函数法不受系统阶次的限制，但具有一定的近似性，并且只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时间响应的确切信息。8.3.1描述函数的概念设非线性环节的输入输出特性为当输入量为正弦信号

时，输出量

一般都是非正弦周期信号，将其展开成傅里叶级数为式中，A0为直流分量，An和

Bn为傅里叶系数，

为第

n次谐波分量，且有该式表明，非线性环节的正弦响应可近似为一次谐波分量，具有与线性环节类似的频率响应形式。若

且

当时，

均很小，则仿照线性系统频率特性的概念，非线性环节的描述函数定义为非线性环节的稳态正弦响应中一次谐波分量与输入正弦信号的复数比，用

表示，其数学表达式为显然，描述函数是输入正弦信号幅值

X的函数。由于在描述函数的定义中，只考虑了非线性环节输出中的一次谐波分量，而忽略了高次谐波的影响，因此这种方法也被称为谐波线性化方法。解：例8-8设某非线性元件的特性为,求该非线性元件的描述函数。由于非线性特性是单值奇对称的，因而

是奇函数,故

，

，

。而因此非线性元件的描述函数为8.3.2典型非线性特性的描述函数1.死区特性的描述函数

式中，

是死区宽度，K为死区外直线的斜率。死区特性及其在正弦信号

作用下的输出波形如图8-3-1所示。输出的数学表达式为由于死区特性是单值奇对称的，所以

，

，

。由图8-3-1可知

，故

，于是可求出

B1为死区特性的描述函数为由式可知，死区特性的描述函数是一个与输入幅值有关的实函数。当输入幅值

X很大或死区宽度

很小时，

，

，可认为描述函数等于线性段的斜率，死区的影响可以忽略不计。2.饱和特性的描述函数式中，a为线性区宽度；K为线性区的斜率。饱和特性及其在正弦信号

作用下的输出波形如图8-3-2所示。输出的数学表达式为由于饱和特性是单值奇对称的，所以

，

，

。由图8-3-2可知

，故

，于是可求出

B1为饱和特性的描述函数为由式可知，饱和特性的描述函数是一个与输入幅值有关的实函数。3.间隙特性的描述函数间隙特性及其在正弦信号

作用下的输出波形如图8-3-3所示。输出的数学表达式为式中，

由于间隙特性是多值函数，在正弦信号作用下的输出

y(t)既非奇函数也非偶函数。故须分别求

A1和

B1为间隙特性的描述函数为由式可知，间隙特性的描述函数是一个与输入幅值有关的复函数。很明显，对于一次谐波，间隙非线性特性会引起相角滞后。4.继电特性的描述函数式中，M为继电元件的输出值。具有滞环和死区的继电特性及其在正弦信号

作用下的输出波形如图8-3-4所示。输出的数学表达式为由图可知，且

，因此可求出分别为由于具有滞环和死区的继电特性是多值函数，在正弦信号作用下的输出

y(t)既非奇函数也非偶函数。故须分别求

A1和

B1为因此继电特性的描述函数为式中，当参数

h

和

m

取不同值时，得到几种特殊形式的继电特性描述函数。(1)若

h=0，则可得两位置理想继电特性的描述函数为(2)若

m=1，则可得三位置死区继电特性的描述函数为(3)若

m=-1，则可得具有滞环的两位置继电特性的描述函数为8.3.3非线性系统的描述函数法如前所述，非线性元件的描述函数是线性系统频率特性概念的一种延伸和推广。利用描述函数的概念，在一定条件下可以将非线性系统近似等效为一个线性系统，并可借用线性系统的频域法对非线性系统的稳定性和自激振荡进行分析。1.

描述函数法分析非线性系统的应用条件应用描述函数法分析非线性系统时，要求系统满足以下假设条件。(1)对系统结构的要求。非线性系统的结构可以简化为一个非线性环节

和一个线性部分

闭环连接的典型结构形式，如图8-3-5所示。(2)非线性环节的输入输出特性是奇对称的，这样能够保证非线性特性在正弦信号作用下输出的直流分量

，而且

中一次谐波分量幅值占优。(3)线性部分具有较好的低通滤波性能。当非线性环节输入正弦信号时，实际输出必定含有高次谐波分量，经线性部分的低通滤波特性，高次谐波分量被大大削弱，闭环通道内近似只有一次谐波分量流通。线性部分的阶次越高，低通滤波性能越好，使用描述函数法所得结果越准确。欲具有低通滤波性能，线性部分G(s)的极点应位于

s平面的左半平面，即G(s)为最小相位环节。

若非线性系统满足以上三个假设条件，则非线性环节的描述函数可以等效为一个具有复变增益的比例环节，非线性系统经过谐波线性化处理后变成一个等效的线性系统，就可以应用线性系统理论中的频率稳定判据分析非线性系统的稳定性。2.非线性系统的稳定性分析对于图8-3-5所示的典型非线性系统，如果非线性特性的描述函数是

，线性部分的频率特性是

，可以写出闭环系统的特征方程式为即式中，

称为非线性特性的负倒描述函数。在复平面上可以绘制出

随

X变化而变化的曲线，即负倒描述函数曲线。

曲线上箭头表示随

X增大，

的变化方向。与线性系统的奈奎斯特稳定判据相比，

曲线相当于线性系统中临界稳定点

。只是在非线性系统中，表示临界情况的不是一个点，而是一条

曲线。这样可根据线性系统中的奈奎斯特稳定判据来判别非线性系统的稳定性，其内容如下：若

曲线不包围

曲线，则非线性系统稳定；若

曲线包围

曲线，则非线性系统不稳定；若

曲线与

曲线有交点，对应非线性系统做等幅周期运动，如果该周期运动能够稳定持续下去，即在外界小扰动作用下使系统偏离该周期运动，而当该扰动消失后，系统的运动仍能恢复原周期运动，则称为稳定的周期运动。稳定的周期运动对应系统的自激振荡。以理想继电特性为例，其描述函数为负倒描述函数为若非线性系统的线性部分G(s)的幅相特性曲线如图8-3-6中

所示，这时

曲线将

曲线完全包围，非线性系统不稳定；若

G(s)的幅相特性曲线如图8-3-6中

所示，此时

曲线没有包围

曲线，非线性系统稳定；若G(s)的幅相特性曲线如图8-3-6中

所示，此时

曲线与

曲线有交点，对应系统存在周期运动，若周期运动能稳定的持续下去，便是系统的自激振荡。3.非线性系统的自激振荡或若

曲线与

曲线有交点，则在交点处必然满足根据上两式可解得交点处对应的频率

和幅值

X。非线性系统周期运动的稳定性可以利用如下判别方法加以判别。在复平面上，将G(jω)曲线包围曲线-1/N(X)的区域视为不稳定区，而不被G(jω)曲线包围的区域视为稳定区，如图8-3-8所示。若交点处的-1/N(X)曲线沿着振幅增加的方向由不稳定区进入稳定区，该交点对应的周期运动是稳定的，该点即为自激振荡点。反之，如果在交点处的-1/N(X)曲线沿着振幅增加的方向由稳定区进入不稳定区，该交点对应的周期运动是不稳定的，该点不是自激振荡点。在这种情况下，该点的幅值X确定一个边界，当系统起始振幅小于这个边界值时，系统运动过程收敛，反之，系统运动过程将趋于发散或趋于一个幅值更大的自激振荡运动。例8-9某非线性系统结构图如图8-3-9所示，其中M=1，K=10。试分析系统是否存在自激振荡，如果存在，试确定自激振荡参数。解:理想继电特性描述函数为负倒描述函数为根据自激振荡条件可得即比较实部和虚部有解得因此，自激振荡频率为

，振幅为

。例8-10某非线性系统结构图如图8-3-11所示，试采用描述函数法分析非线性系统的稳定性。如果系统出现自激振荡，如何消除？解:由表8-3-1查得死区继电特性的描述函数为负倒描述函数为线性部分G(jω)曲线的穿越频率为绘出死区继电特性的负倒描述函数曲线如图8-3-12所示。G(jω)曲线与负实轴的交点坐标为由此可画出幅相特性曲线如图8-3-12所示。由图8-3-12可知，当

，即

时，G1(jω)曲线没有包围-1/N(X)曲线，非线性系统稳定；当

，即

时，G2(jω)曲线与-1/N(X)曲线相交于两点

c和

d，通过分析可知，c点对应不稳定的周期运动，d点对应稳定的周期运动，即自激振荡。通过上述分析表明，若想消除自激振荡，可通过减小线性部分

G(s)的增益K或改变死区继电特性的参数

h或

M

的办法消除。在实际应用中也可加入串联超前校正网络消除自激振荡。8.3.4MATLAB实现例8-11非线性系统结构图如图8-3-13所示，其中

。试判断系统是否存在自激振荡。若存在自激振荡，求出自激振荡的振幅和频率。解:MATLAB程序如下。clc;clearx=1:0.1:20;disN=40/pi./x.*sqrt(1-x.^(-2))-j*40/pi./x.^2;disN2=-1./disN;w=1:0.01:200;num=12;den=conv([11],[1613]);[rem,img,w]=nyquist(num,den,w);plot(real(disN2),imag(disN2),rem,img)grid;xlabel('Re');ylabel('Im');运行结果如图8-3-14所示。由图可知，

曲线与

曲线相交，且曲线沿

X增大方向，由不稳定区域进入稳定区域，说明系统存在自激振荡。通过对曲线交点的局部放大，如图8