自动控制原理 课件 8.1非线性控制系统概述

第8章非线性控制系统分析

前面各章所研究的控制系统都是线性的。实际中理想的线性控制系统是不存在的。任何一个控制系统，其组成元件总是或多或少地带有非线性，因此都属于非线性系统的范畴。非线性系统不再满足叠加原理，因此本书前七章介绍的线性系统分析和设计方法不再适用。但由于线性系统是非线性系统的特例，线性系统的分析和设计方法在非线性控制系统的研究中仍发挥着非常重要的作用。8.1非线性控制系统概述

在控制系统的所有组成环节中，如果有一个或多个环节具有非线性特性，则该系统称为非线性控制系统。非线性系统与线性系统的本质区别在于能否应用叠加原理，由于两类系统特性上的这种区别，它们的运动规律有很大差别。8.1.1非线性系统的特征

由前面的内容可知，线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与输入信号及初始条件无关。换句话说，若系统稳定，则无论受到多大的扰动，扰动消失后系统可以回到唯一的平衡点。而对于非线性系统，其稳定性除了与系统的结构和参数有关外，还与输入信号和初始条件有关。即使同一个非线性系统，也可能存在稳定运动和不稳定运动，而稳定的运动也不一定对于所有的初始扰动都是稳定的，可能出现对于较大的初始扰动就不稳定的情况。因此，对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。下面通过实例加以说明。1.稳定性分析复杂设描述非线性系统的微分方程为积分可得令

，可知该系统存在两个平衡状态

和

。当

时，方程可写为若初始条件

，可求得从而得到由此可画出不同初始条件下

的曲线如图8-1-1所示。当

，

时，

随

的增大而增大，在

时，

趋向于无穷大；当

时，

随着

值的增大而趋近于零。由图可见，平衡状态

是稳定的，因为它对于

的扰动都具有恢复原状态的能力；而平衡状态

则是不稳定的，因为稍加扰动就会偏离平衡状态。由此可见，非线性系统的平衡点不止一个，在某些平衡点非线性系统可能是稳定的，但在另一些平衡点却是不稳定的。2.可能产生自激振荡

描述线性系统的微分方程可能有一个周期运动解，然而在实际系统中，这样的周期运动是不能稳定持续下去的。以二阶无阻尼系统为例，其自由运动的解为

，其中角速度

由系统的结构和参数决定，而振幅

和相角

取决于初始状态。当系统受到干扰信号的影响时，

和

的值都会发生变化，原来的周期运动便不能持续下去，因此这种周期运动是不稳定的。

对于非线性系统，即使在没有外作用的情况下，也有可能产生固定频率和振幅的周期运动，并且在扰动作用消失后，系统仍能保持原来频率和振幅的周期运动，也就是说这种周期运动具有稳定性。该周期运动称为自激振荡，简称自振。自激振荡是非线性系统特有的运动现象，是非线性控制理论研究的重要问题之一。

应当指出，系统长时间大幅度的振荡会造成不可逆的机械磨损，并增加系统的控制误差，多数情况下不希望系统有自激振荡发生，但在有些控制系统中，适当的引入高频小幅度的振荡却有利于系统克服间隙和死区等非线性因素产生的不良影响。因此研究自激振荡的产生条件及抑制，确定自激振荡的频率和周期，是非线性系统分析的重要内容。3.频率响应发生畸变

由第五章的内容可知，线性系统在正弦信号作用下，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，仅在幅值和相位上与输入不同。针对这一特点，可以利用频率特性的概念描述系统动态特性。而对于非线性系统，其频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量外，还含有高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。因此线性系统的频域分析法不再适用于非线性系统。

在非线性系统的分析和控制中，还会产生一些其他与线性系统明显不同的现象，在此不再赘述。8.1.2典型非线性特性一般测量元件、放大器以及执行机构都不同程度地存在不灵敏区。例如电动机由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后电动机才会转动。这种在输入信号比较小时没输出，只有在输入量超过一定值后才有输出的特性称为死区（不灵敏区）非线性特性。典型的死区特性如图8-1-2所示，其数学表达式为1.死区（不灵敏区）特性

式中，

是死区宽度，K为死区外直线的斜率。死区特性的存在，一方面会使系统稳态误差增大，跟踪精度降低，另一方面死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，可以提高系统抗扰动的能力。饱和特性是指输出和输入之间的线性关系只能维持在一定的输入范围内，当输入超出这个范围时，输出被限制在一个常数值。例如晶体管放大器有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象。典型的饱和特性如图8-1-3所示，其数学表达式为2.饱和特性式中，a为线性区宽度；K为线性区的斜率。

饱和特性的存在一般将使系统开环增益降低，从而导致系统过渡过程时间增加，稳态误差变大。但在有些控制系统中，人们有目的地引入饱和非线性环节，例如在具有转速和电流反馈的双闭环直流调速系统中，把速度调节器和电流调节器有意识地设计成具有饱和非线性特性，以改善系统的动态性能和限制系统的最大电流。在各种传动机构中，由于机械加工精度的限制和工艺装配的需要，间隙的出现是不可避免的。例如齿轮传动中，如果主动轮改变运动方向，只有当主动轮反向移动消除间隙后，从动轮才随主动轮运行。典型的间隙特性如图8-1-4所示，其数学表达式为3.间隙特性式中，2b为间隙宽度，K为间隙特性斜率。

间隙特性的存在，通常会使系统输出在相位上产生滞后，从而导致系统稳定裕量减小，动态性能变坏，甚至使系统产生自激振荡。继电器是广泛应用于控制系统、保护装置和通信设备中的器件。由于继电器吸合及释放状态下磁路的磁阻不同，吸合与释放电压是不相同的。因此，继电特性输入输出关系不完全是单值的，图8-1-5所示为具有滞环的三位置继电特性，其数学表达式为4.继电特性式中，h为继电器吸合电压，mh为继电器释放电压，M为饱和输出。当

时，继电特性成为纯滞环的两位置继电特性，如图8-1-6所示。当

时，成为具有三位置的死区继电特性，如图8-1-7所示。当

时，则成为理想继电特性，如图8-1-8所示。继电特性的存在一般会使系统产生自激振荡，甚至导致系统不稳定，并且也使系统稳态误差增大。8.1.3MATLAB实现在MATLAB的Simulink中，不连续系统模块库（Discontinuous）提供了12种常见的标准非线性特性模块，如间隙、死区、继电、饱和、开关等。对非线性系统进行仿真时，可以直接调用这些非线性模块，对于Simulink中没有提供的非线性模块，则需要开发人员按照具体的非线性特性编程实现，然后进行模块封装，以便后期调用。解：在Simulink环境下搭建仿真模型如图8-1-9所示。对各个模块进行参数设置，如设定SineWave模块的幅值Amplitude为1，角频率Frequency为1rad/s，初相角Phase为0；设置Backlash模块的Deadbandwidth为0.8。仿真运行，双击Scope图标，就可以得到系统的仿真曲线如图8-1-10所示。由图可见，间隙非线性特性使系统输出在相位上产生了明显的滞后。8.1.