自动控制原理 课件 7.7 离散系统的动态性能分析

7.7离散系统的动态性能分析

由线性连续系统理论可知，闭环传递函数的极点在

平面的分布对系统的瞬态响应具有重要的影响。与此类似，离散系统的瞬态响应与闭环脉冲传递函数的极点在

平面的分布也有密切的关系。本节主要介绍离散系统闭环极点分布与瞬态响应的关系，以及动态性能的分析计算方法。7.7.1离散系统闭环极点分布与瞬态响应的关系设离散系统的闭环脉冲传递函数为其中，

为闭环脉冲传递函数的零点，

为闭环脉冲传递函数的极点。为讨论方便，同时不失一般性，假设

没有重极点。若输入为单位阶跃信号，则将

展开成部分分式形式，可得其中：

为函数

在极点

处的留数。则对上式求

反变换，可得第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量。显然，瞬态分量的变化规律取决于闭环极点在

平面的位置。下面分二种情况进行讨论。1.闭环实数极点对系统瞬态响应的影响闭环脉冲传递函数的实数极点

位于

平面的实轴上，对应的瞬态分量为则极点对系统瞬态响应具有以下影响。(1)若

，极点位于单位圆外的正实轴上，对应的瞬态响应为单调发散序列。(2)若

，极点位于单位圆与正实轴的交点处，对应的瞬态响应为等幅序列。(3)若

，极点位于单位圆内的正实轴上，对应的瞬态响应为单调衰减序列，极点越接近原点，衰减越快。(4)若

，极点位于单位圆内的负实轴上，对应的瞬态响应是以为周期正负交替的衰减振荡序列。(5)若

，极点位于单位圆与负实轴的交点处，对应的瞬态响应是以为周期正负交替的等幅振荡序列。(6)若

，极点位于单位圆外的负实轴上，对应的瞬态响应是以

为周期正负交替的发散振荡序列。2.闭环复数极点对系统瞬态响应的影响闭环脉冲传递函数的复数极点

以共轭形式成对出现，即它们所对应的系数

也必定是共轭的,即

对应的瞬态响应分量为共轭复数极点分布与相应瞬态响应的关系如图7-7-2所示。(1)若

，共轭复数极点位于单位圆外，对应的瞬态响应是发散振荡序列。(2)若

，共轭复数极点位于单位圆上，对应的瞬态响应是等幅振荡序列。(3)若

，共轭复数极点位于单位圆内，对应的瞬态响应是衰减振荡序列，并且共轭复数极点越接近

平面的原点，衰减得越快。综上所述，当闭环脉冲传递函数的极点分布在平面的单位圆上或单位圆外时，对应的瞬态响应是等幅或发散序列，系统不稳定。当极点分布在平面的单位圆内时，对应的瞬态响应是衰减序列，而且极点越接近平面的原点，衰减越快。当极点分布在平面左半单位圆内时，虽然瞬态响应是衰减的，但是由于振荡频率较大，动态特性并不好。因此在设计线性离散系统时，应该尽量选择闭环极点在平面右半单位圆内，而且尽量靠近原点，这样系统具有较好的动态品质。这一结论为配置合适的闭环极点提供了理论依据。设离散系统的闭环脉冲传递函数为7.7.2离散系统的时间响应通过

反变换，可以求出单位阶跃响应序列

，从而可以确定离散系统的动态性能。系统的单位阶跃响应的

变换为解：系统开环脉冲传递函数为例7-30已知线性离散系统结构图如图7-7-3所示，其中输入

，采样周期

，试分析系统的动态性能。闭环脉冲传递函数为因为利用长除法，将

展成无穷幂级数可得系统在单位阶跃信号作用下的输出序列

为根据上述

数值，可以绘出离散系统的单位阶跃响应曲线

，如图7-7-4所示。由此可以求得该离散系统的近似性能指标：上升时间

，峰值时间

，调节时间

，超调量

。需要指出的是，尽管离散系统动态性能指标的定义与连续系统相同，但在域分析时，只能针对采样时刻的值，而在采样间隔内，系统的状态并不能被表示出来，因此不能精确描述和表达离散系统的真实特性，在采样周期较大时，尤其如此。对离散系统动态性能的分析可以调用相应的MATLAB函数来完成，这些函数是在相应连续系统的函数名前加字母d来命名的，例如利用函数dstep()、dimpulse()和dlsim()可分别求出离散系统的阶跃响应、脉冲响应和任意输入响应。7.7.3MATLAB实现解：MATLAB程序如下。例7-31利用MATLAB绘制例7-30相应有零阶保持器和无零阶保持器的离散系统以及连续系统的单位阶跃响应曲线并分析系统的动态性能。clc;clearnum=[1];den=[110];T=1;Gs=tf(num,den);Gz=c2d(Gs,T,'zoh');g=feedback(Gz,1,-1);[numz,denz]=tfdata(g,'v');y=dstep(numz,denz,25);t=0:length(y)-1;plot(t,y,'*');holdon;Gz=c2d(Gs,T,'imp');g=feedback(Gz,1,-1);[numz,denz]=tfdata(g,'v');y=dstep(numz,denz,25);t=0:length(y)-1;plot(t,y,'+');holdon;t=0:0.001:25;g=feedback(Gs,1,-1);y=step(g,t);plot(t,y,'k-');xlabel('t');ylabel('c(t)');gridon;legend('有零阶保持器','无零阶保持器','连续系统');执行该程序，运行结果如图7-7-5所示，由图可以看出，在相同条件下，由于采样造成了信息损失，与连续系统相比，离散系统的动态性能有所降低。由于零阶保持器的相角滞后特性，相对于无零阶保持器的离散系统，稳定程度和动态性能变差。图7-7-5系统单位阶跃响应解：MATLAB程序如下。例7-32已知线性离散系统结构图如图7-7-3所示，输入

r(t)=1(t)，采样周期T分别取0s、0.2s

、0.4s

、0.6s

、0.8s和1s时，利用MATLAB绘制系统的单位阶跃响应曲线，并分析采样周期对离散系统动态性能的影响。clc;clear%T=0num=[1];den=[110];G=tf(num,den);sys=feedback(G,1,-1);subplot(3,2,1);step(sys,12);%绘制T=0时连续系统单位阶跃响应曲线grid;%T=0.2T1=0.2;Gz1=c2d(G,T1,'zoh');sys1=feedback(Gz1,1,-1);subplot(3,2,2);step(sys1,12);%绘制T=0.2时离散系统单位阶跃响应曲线grid;%T=0.4T2=0.4;Gz2=c2d(G,T2,'zoh');sys2=feedback(Gz2,1,-1);subplot(3,2,3);step(sys2,12);%绘制T=0.4时离散系统单位阶跃响应曲线grid;%T=0.6T3=0.6;Gz3=c2d(G,T3,'zoh');sys3=feedback(Gz3,1,-1);subplot(3,2,4);step(sys3,12);%绘制T=0.6时离散系统单位阶跃响应曲线grid; %T=0.8T4=0.8;Gz4=c2d(G,T4,'zoh');sys4=feedback(Gz4,1,-1);subplot(3,2,5);step(sys4,12);%绘制T=0.8时离散系统单位阶跃响应曲线grid;%T=1T5=1;Gz5=c2d(G,T5,'zoh');sys5=feedback(Gz5,1,-1);subplot(3,2,6);step(sys5,12);