自动控制原理 课件 4.2 绘制根轨迹的基本规则

4.2绘制根轨迹的基本规则4.2.1绘制根轨迹的基本规则通过根轨迹的绘制规则可用来求取根轨迹的起点和终点，根轨迹的分支数、对称性和连续性，实轴上的根轨迹，根轨迹的分离点和汇合点，根轨迹的渐近线，根轨迹的出射角和入射角，根轨迹与虚轴的交点等信息。特别指出是，用这些基本规则绘出的根轨迹，其相角遵循(2k+1)π条件，因此称为180°根轨迹，以下的8条绘制规则称为180°根轨迹的绘制规则。规则1根轨迹的起点与终点根轨迹始于开环极点，终止于开环零点。由根轨迹方程有：（4-2-1）→→

起点→→终点当n≥m时，有m条根轨迹趋向于开环零点（有限零点），另外n-m条根轨迹将趋于无穷远处（无限零点）。证明：依据定义，根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环特征方程的根在s平面上的变化轨迹，由闭环特征方程可知，其根的数目即为开环极点数，因而根轨迹的分支数必与开环极点数n相等。当K*从零到无穷大连续变化时，闭环特征方程的某些系数也随之连续变化，因而特征方程根的变化也必然是连续的。因为特征方程的根为实数或为共轭复数，所以根轨迹必对称于实轴。规则2根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数与开环极点数n相等，根轨迹是连续的且对称于实轴。规则3实轴上某区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。证明：设一系统开环零、极点分布如图。在实轴上任取一试验点s0代入相角方程，则因为p4、p5为共轭复数极点，因而θ4=

θ5

，所以上式满足相角条件，于是实轴上的点s0在根轨迹上。例4－3设一单位负反馈系统的开环传递函数为求时的闭环根轨迹。解：将开环传递函数写成零、极点形式⑴开环传递函数分子的阶次m=1，分母的阶次n=2。⑵系统有两个开环极点p1=0，p2=-5，一个开环零点z1=-1。两条根轨迹分别始于开环极点p1和p2，一条终止于有限零点z1，另一条趋于无穷远处。⑶实轴上，根轨迹区间是[-1,0]和(-∞,-5]。绘制根轨迹如图4-2-2所示。图4-2-2例4-3的根轨迹规则4根轨迹的渐近线若开环极点数n大于开环零点数m，则有(n-m)条根轨迹沿着一组直线趋于无穷远，这些直线称为根轨迹的渐近线。渐近线与实轴的交点为渐近线与正实轴方向的夹角（倾角）为例4-4已知系统的开环传递函数，求出根轨迹的渐近线。解：系统有3个开环极点p1=0，p2=-2，p3=-4，无开环零点，则有3条根轨迹沿渐近线趋于无穷远处。渐近线与实轴的交点为渐近线与正实轴方向的夹角为

绘制根轨迹渐近线如图4-2-3所示。图4-2-3例4-4根轨迹渐近线

规则5根轨迹的分离点（或会合点）和分离角（或会合角）两条或两条以上根轨迹在s平面上相遇而又分开（或分开后又相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。分离点（或会合点）的坐标d是下列方程的解。根轨迹进入分离点切线方向与离开分离点切线方向之间的夹角，称为分离角（或会合角）。分离角（或会合角）可由(2k+1)π/l决定，l为趋向或离开实轴的根轨迹的分支数。（4-2-6）设系统的开环传递函数为式（4-2-7）中，系统闭环特征方程为根轨迹在s平面相遇，说明根轨迹的分离点（或会合点）是系统闭环特征方程的重根，设重根为d，特征方程有重根的条件为另外，将式（4-2-8）和式（4-2-9）交叉相乘可得由式（4-2-10）也可以求出分离点。（4-2-7）（4-2-8）（4-2-9）（4-2-10）如何判断在s平面上的根轨迹是否有分离点，及分离点可能产生的大概位置？根轨迹的分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中。一般情况下，常见的根轨迹分离点是位于实轴上的两条根轨迹的分离点。⑴开环传递函数分子的阶次m=1，分母的阶次m=2，有2条根轨迹，1条渐近线。⑵系统有2个开环极点p1=0，p2=-1，一个开环零点z1=-2。两条根轨迹分别始于开环极点p1和p2，一条终止于有限零点z1，另一条趋于无穷远处。⑶实轴上，根轨迹区间是[-1,0]和(-∞,-2]。⑷渐近线与实轴的交点为例4-5已知单位负反馈控制系统开环传递函数，试绘制概略根轨迹。解：渐近线与正实轴方向的夹角为⑸根轨迹分离点（或会合点）d1=-0.586，d2=-3.414。d1即为所求的根轨迹的分离点（或会合点），d2不在实轴根轨迹区间内，则舍弃。⑹分离点（会合点）的分离角（会合角）均为±90°。绘制根轨迹如图4-2-4所示。

规则6根轨迹的出射角和入射角根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角称为出射角，记为。根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为入射角，记为。根据根轨迹的相角条件可求出（4-2-11）（4-2-12）例4-6已知单位负反馈控制系统开环传递函数G(s)，试绘制概略根轨迹。解：⑴开环传递函数分子的阶次m=3，分母的阶次n=4，有4条根轨迹，1条渐近线。⑵系统有4个开环极点p1=0，p2,3=-0.5±j1.5，p4=-2.5，3个开环零点z1=-1.5，z2,3=-2±j。4条根轨迹分别始于4个开环极点p1、p2、p3和p4，终止于开环零点z1、z2、z3和无穷远处。⑶实轴上，根轨迹区间是(-∞,-2.5]和[-1.5,0]。⑷根轨迹的出射角和入射角根轨迹在p2处的出射角根据对称性，则根轨迹在z2处的入射角根据对称性，则根轨迹的出射角和入射角如图4-2-5所示，绘制根轨迹如图4-2-6所示。规则7根轨迹与虚轴的交点若根轨迹与虚轴相交，则交点处的K*和对应的ω值可用劳斯判据求得，或者令闭环特征方程中的s=jω，然后分别使其实部和虚部为零求得。根轨迹和虚轴交点表明系统处于临界稳定状态，此时K*称为临界根轨迹增益。例4-7已知单位负反馈控制系统开环传递函数G(s)，试绘制概略根轨迹。解：⑴开环传递函数分子的阶次m=0，分母的阶次n=3，有3条根轨迹，3条渐近线。⑵系统有3个开环极点p1=0，p2,3=-1±j，无开环零点。3条根轨迹分别始于3个开环极点p1、p2和p3，终止于无穷远处。⑶实轴上，根轨迹区间是(-∞,0]。⑷渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为

⑸根轨迹无分离点（或会合点）。⑹根轨迹的出射角

根据对称性，则⑺根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为方法一列劳斯表为根据劳斯表可知，闭环系统稳定的条件为0<K*<4，系统临界稳定时K*=4，将其带入辅助方程F(s)=2s2+K*=0求得。因此，根轨迹与虚轴交点为，对应的K*=4为临界根轨迹增益。方法二令s=jω，带入闭环特征方程得根据显然，两种方法的计算结果一致。绘制根轨迹如图4-2-7所示。规则8根之和与根之积若系统闭环特征方程可以表示如下式（4-2-13）中，zi、pj分别为开环零、极点；sj为闭环极点，则有如下结论：⑴闭环特征根的负值之和，等于闭环特征方程式的第二项系数a1。若(n-m)≥2，根之和与开环根轨迹增益K*无关。⑵闭环特征根之积乘以(-1)n，等于闭环特征方程的常数项an。（4-2-13）上述的结论可以表示为

式（4-2-14）表明，当K*由0→∞变化时，若一部分闭环极点在复平面向左移动，另外一部分必然向右移动，使其根之和保持不变。另外，当根轨迹增益K*为确定值时，若已知某些闭环极点，则应用根之和与根之积的关系可以确定出其他闭环极点。（4-2-14）例4-8已知单位负反馈控制系统开环传递函数G(s)，试绘制概略根轨迹，并求临界根轨迹增益及该增益对应的闭环极点。解：⑴开环传递函数分子的阶次m=0，分母的阶次n=3。有3条根轨迹，3条渐近线。⑵系统有3个开环极点p1=0，p2=-1

，p3=-10

，无开环零点。三条根轨迹分别始于3个开环极点p1、p2和p3，终止于无穷远处。⑶实轴上，根轨迹区间是[-1,0]，(-∞,-10]。⑷渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为

⑸根轨迹分离点（或会合点）解得d1=-0.49,d2=-6.85（舍去）。由于满足(n-m)≥2，闭环根之和为常数。当K*增大时，若一只根轨迹向左移动，则另外两支根轨迹应该向右移动，因此分离点│d│<0.5是合理的。⑹根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为令s=jω，带入闭环特征方程得根据可得，因此，根轨迹与虚轴交点为，对应的K*=110。当0<K*<110时闭环系统稳定，K*=110为临界根轨迹增益。求得。因此，根轨迹增益K*对应的3个闭环极点为和。根轨迹与虚轴的交点为对应的两个闭环极点，第3个闭环极点可由根之和规则求得，即绘制根轨迹如图4-2-8所示。例4-9已知单位负反馈控制系统开环传递函数，试绘制概略根轨迹。解：

⑴开环传递函数分子的阶次m=1，分母的阶次n=4。有4条根轨迹，3条渐近线。⑵系统有4个开环极点p1=0，p2=1，，1个开环零点z1=-1。4条根轨迹分别始于4个开环极点p1、p2、p3和p4，终止于开环零点z1和无穷远处。⑶实轴上，根轨迹区间是(-∞,-1],[0,1]。⑷渐近线与实轴的交点为

渐近线与正实轴方向的夹角为

⑸根轨迹分离点（或会合点）解得

（舍去）⑹根轨迹的出射角

根据对称性，则⑺根轨迹与虚轴的交点系统闭环特征方程为

列劳斯表为

令s1行的元素全为零，即

求得将其带入辅助方程求得根轨迹与虚轴交点和绘制根轨迹如图4-2-10所示。

4.2.2MATLAB实现根轨迹法是分析和设计控制系统的一种图解方法，依据根轨迹规则可以较为简便地手工绘制概略根轨迹，应用MATLAB软件可以绘制精确的根轨迹图。常见的绘制根轨迹函数包括rlocus、rlocfind和sgrid等。rlocus:绘制系统根轨迹的函数rlocfind:计算与根轨迹上极点相对应的根轨迹增益函数sgrid:为连续时间系统的根轨迹添加网格线，包括等阻尼比线和等自然频率线函数1.函数rlocus()在MATLAB中，提供了绘制系统根轨迹的函数rlocus()，其调用格式如下。rlocus(sys)%绘制系统sys的根轨迹rlocus(sys,k)%增益向量k由用户指定rlocus(sys1,sys2,…)%在同一个绘图窗口中绘制模型sys1,sys2,…的根轨迹[r,k]=rlocus(sys)%计算sys的根轨迹数据值，返回值k为增益向量，r为闭环极点向量，但不绘制根轨迹r=rlocus(sys,k)%计算sys的根轨迹数据值，增益向量k由用户指定2.函数rlocfind()在MATLAB中，提供了计算与根轨迹上极点相对应的根轨迹增益函数rlocfind()，其调用格式如下。[k,poles]=rlocfind(sys)%求取根轨迹上指定点的增益k，并将显示%该增益下所有的闭环极点poles。[k,poles]=rlocfind(sys,p)%对给定p计算返回对应的增益k和k所

%对应的全部极点poles。3.函数sgrid()在MATLAB中，提供了为连续时间系统的根轨迹添加网格线，包括等阻尼比线和等自然频率线函数sgrid()，其调用格式如下。sgrid%为根轨迹添加网格线sgrid(z,wn)%为根轨迹添加网格线，等阻尼比范围和等自然频率%范围分别由向量z和wn指定。说明：缺省情况下，等阻尼比步长为0.1，范围0-1。等自然频率步长为1，范围为0-10，也可以由向量z和wn分别指定其范围。例4-10已知单位负反馈控制系统开环传递函数,