江苏省南通市海门区海门区中南中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4

第页南通市海门区中南中学2023-2024学年九月份独立作业九年级数学一、选择题（每题3分，共30分）1.下列四个名牌大学校徽图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2.反比例函数y＝的图象在（）A.第一、三象限 B.第二、四象限C.第一、二象限 D.第三、四象限【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数的性质作答．【详解】解：∵，

∴反比例函数y＝的图像分布在第一、三象限．

故选A．【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟记反比例函数图像得性质．3.如图，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图形旋转的性质可知，据此即可求得答案．【详解】解：根据图形旋转的性质可知，∴．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是明确旋转角的意义，对应边旋转后的夹角等于旋转角．4.在平面直角坐标系中，把点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用旋转变换性质作出图形，可得结论．【详解】解：将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标是，故选：．【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识．5.若点，，在反比例函数图象上，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数的图象在一、三象限，由三点的横坐标可知点，在第三象限，在第一象限，根据反比例函数的增减性及各象限内点的坐标特点即可解答．【详解】解：∵反比例函数中，，∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；∵，，∴点，在第三象限，在第一象限，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．6.如图，半径OC⊥AB，弧BC的度数为70°，则∠AOC=()A.20° B.35° C.55° D.70°【答案】D【解析】【分析】根据垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）得出AC这条弧等于BC这条弧，从而得到∠AOC=∠BOC，最后得出答案【详解】因为OC⊥AB，所以AC这条弧等于BC这条弧，所以∠AOC=∠BOC=70°故答案为D选项【点睛】本题主要考查了垂径定理以及圆中各弧与其对应的圆心角的关系，熟练掌握相关概念是关键7.已知点A（a，b）是一次函数y=-x+4和反比例函数y=的一个交点，则代数式a2+b2的值为（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】D【解析】【分析】先解两函数式组成的方程组，得出一个一元二次方程，根据根与系数的关系得出a+b=4，ab=1，再根据完全平方公式变形后代入求出即可．【详解】∵点A（a，b）是一次函数y=﹣x+4和反比例函数一个交点，∴a+b=4，ab=1，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=42﹣2×1=14．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．8.下列语句中正确的有（

）①相等的圆心角所对的弧相等；

②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】根据圆心角定理，以及轴对称图形的定义即可解答．【详解】解：A、要强调在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故错误．B、平分弦的直径垂直于弦，其中被平分的弦不能是直径，若是直径则错误．C、对称轴是直线，而直径是线段，故错误．D、正确．故选：A．【点睛】本题考查了圆的相关知识，熟练掌握圆的知识是解决此题的关键．9.如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（）A.9 B.12 C.15 D.18【答案】D【解析】【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．【详解】解：∵NQ∥MP∥OB，

∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，

∵M、N是OA的三等分点，

∴，，

∴，

∵四边形MNQP的面积为3，

∴，

∴S△ANQ=1，

∵，

∴S△AOB=9，

∴k=2S△AOB=18，

故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出S△ANQ=1是解题的关键．10.如图，矩形中，，点E在边上运动，连接，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．设，，则y关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】勾股定理求出，作于M，证明，得到，由此求出，然后根据勾股定理即可得结论．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，作于M，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，图象对称轴为y轴，开口向上，当点E与点C重合时，，∴y关于x的函数图象大致为A，故选：A．【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．11.点关于原点对称的点的坐标是_____．【答案】【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即可得到答案．【详解】解：根据题意得：点关于原点中心对称的点的坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，熟练掌握平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是是解题的关键．12.已知点在反比例函数的图象上，则_________．【答案】．【解析】【分析】将点A(-1，2)代入反比例函数，即可求出m值．【详解】将点A(-1，2)代入反比例函数解析式得：，解得：．故答案为：-7．【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答本题的关键．13.如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得△A′BC′，点A旋转后的对应点为点A′，连接AA′．若BC=3，AC=4，则AA′的长为______．【答案】【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AB=5，再利用旋转的性质得BA′=BA=5，∠A′BA=90°，则可判断△A′BA为等腰直角三角形，即可求出答案．【详解】解：△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△BA′C′，∴BA′=BA=5，∠A′BA=90°，∴△A′BA为等腰直角三角形，∴A′A=，故答案为：5．【点睛】本题考查了旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，熟练应用勾股定理．14.如图，在中，半径垂直于弦，垂足为C，，，则__________．【答案】8【解析】【分析】连接，则．由垂径定理得到，在中，由勾股定理得到，即可得到的长．【详解】解：连接，则．∵半径垂直于弦，，∴．在中，，∴，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．15.如图，矩形的面积为8，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是________．【答案】【解析】【分析】过点P作于E，过点P作于F，利用，进而可求得k的值，即可求解．【详解】解：过点P作于E，过点P作于F，如图所示：四边形为矩形，且点P为对角线的交点，，，反比例函数的解析式为，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，熟练掌握其几何意义是解题的关键．16.如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反比例函数y＝的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是________．【答案】4【解析】【分析】先利用反比例函数解析式y＝确定P点坐标为（2，1），由于正方形的中心在原点O，则正方形的面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的.【详解】解：把P(2a，a)代入y＝得:2a•a=2，解得a=1或-1，∵点P在第一象限，∴a=1，∴P点坐标为(2，1)，∴正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积=×正方形的面积=4．故答案为4．【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形．根据对称性理解阴影部分的面积是正方形面积的是关键.17.如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上，，，，点C、D均在边上，且，若的面积等于面积的，则点D的坐标为_______．【答案】【解析】【分析】将绕点A逆时针旋转，使得和重合，构造出直角三角形，利用旋转的性质证明全等，通过勾股定理设出未知数列方程求解．【详解】解：将绕点A逆时针旋转，使得和重合，旋转后点C到点位置，连接，根据旋转的性质有：，，∵，，∴为等腰直角三角形，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵的面积等于面积的，，∴，，∵，，∴，设，在中，，解得：，即，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形，利用旋转构造直角三角形是本题的关键．18.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是_____．【答案】4【解析】【分析】连接，过点作交延长线于点，通过证明，确定点在的射线上运动；作点关于的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在的延长线上；当、、三点共线时，最小，在中，，，求出即可．【详解】解：连接，过点作交延长线于点，，∴，∵，∴∠EDA=∠FEG，在△AED和△GFE中，，，点在射线上运动，作点关于的对称点，，，，，，，点在的延长线上，当、、三点共线时，最小，在中，，，，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称求最短路径．能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．三、解答题（共90分）19.计算：（1）计算：；（2）解方程：．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先根据分式减法法则进行计算，同时因式分解后再利用分式的除法法则把除法变成乘法，最后得出结果．（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．【小问1详解】原式，，；【小问2详解】原方程变形为：，，，所以，；【点睛】本题考查了分式的化简、一元二次方程的解法，熟练掌握分式的运算法则和灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键．20.如图，在边长为1正方形网格中，的顶点均在格点上．（1）画出关于原点成中心对称的；（2）画出绕C点顺时针旋转得到的，直接写出的坐标为______；（3）若P为y轴上一点，求的最小值．【答案】（1）见解析（2）图见解析，（3）见解析，的最小值为【解析】【分析】（1）根据中心对称确定点，顺次连线即可；（2）根据旋转的性质得到点，连线即可得到及的坐标；（3）取点C关于y轴的对称点，连接交y轴一点即为点P，此时的值最小，利用勾股定理计算即可．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】如图，即为所求，；故答案为：；【小问3详解】如图，点P即为所求，此时，即的最小值为，，∴的最小值为．【点睛】此题考查了作图—旋转变换，轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会利用轴对称解决最短路径问题．21.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为(4，)．（1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围；（3）若点P在y轴上，使得，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）一次函数的表达式为y=﹣x+3，反比例函数；（2）x＜﹣1或0＜x＜4；（3）（0，﹣1）或（0，7）【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求解即可；（2）根据点A、B坐标和两个函数图象，只需写出直线上位于双曲线的上方的点的横坐标x的取值范围即可；（3）设点P坐标为（0，t），求出直线AB与y轴的交点D坐标，根据求解t值即可解答．【详解】解：（1）将点A（﹣1，4）代入反比例函数中，得：k2=﹣1×4=﹣4，∴反比例函数；当x=4时，y=﹣1，∴点B的坐标为（4，﹣1），将点A（﹣1，4）、B（4，﹣1）坐标代入一次函数中，得：，解得：，∴一次函数的表达式为y=﹣x+3；（2）根据图象，满足的x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜4；（3）设点P坐标为（0，t），当x=0时，y=3，∴直线AB与y轴的交点D坐标为（0，3），由得：，解得：，，∴满足题意的P坐标为（0，﹣1）或（0，7）．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数表达式，利用数形结合思想联系各个知识点是解答的关键．22.如图，在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到，点D刚好落在边上．（1）求n的值；（2）若F是的中点，判断四边形的形状，并说明理由．【答案】（1）n的值是60（2）四边形是菱形，理由见解析【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的判定、直角三角形的有关性质：（1）根据等边三角形的判定和性质以及旋转的性质，求解即可；（2）根据直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，证明四边形四边相等即可；熟练掌握菱形的判定方法和直角三角形的有关性质是解题的关键．【小问1详解】解：∵在中，，，将绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到，∴，，∴是等边三角形，∴，∴n的值是60；【小问2详解】解：四边形是菱形；理由：∵，F是中点，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴四边形是菱形．23.如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点.（1）求的半径；（2）点为劣弧中点，作，垂足为，求的长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）作OH⊥AB于H．解直角三角形求出AB，利用垂径定理求出AH即可解决问题．（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．证明△AOP是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，∵OH⊥AB，∴AH=HB=1，∴OA=AH÷cos30°=．（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．∵，∴OP⊥AB，∴∠AHO=90°，∵∠OAH=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OP，∴△AOP是等边三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ=QA=OA=．【点睛】本题考查解直角三角形，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.24.如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图像上，反比例函数，且，，的图像经过点A，且与边相交于点E．

（1）若，求点的坐标；（2）连接，．①若的面积为24，求的值；②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）①18；②不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)根据，设，代入解析式确定A的坐标，确定反比例函数解析式，根据，代入反比例函数解析式计算即可；(2)①设，则，，，根据题意，得，列出等式计算即可；②假设，证明，利用反比例函数解析式建立等式证明即可．【小问1详解】∵正方形，，，∴，，设，则，，代入，得，解得，故，即，∴，∴；【小问2详解】①∵点A在直线上，∴设，∵正方形，，∴，，，∴，，根据题意，得，∴，解得，（舍去），故，故；②∵，∴，∵正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵点A在直线上，∴设，此时：，则，，∴，即：，∴，∴，∵B、C两点在x轴的正半轴上，∴，∴，这是不可能的，故不存在某一位置使得．【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，三角形面积的分割法计算，熟练掌握正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，是解题的关键．25.在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值为1【解析】【分析】（1）根据题意利用勾股定理可求出AC长为4．再根据旋转的性质可知，最后由等腰三角形的性质即可求出的长．（2）作交于点D，作交于点E．由旋转可得，．再由平行线的性质可知，即可推出，从而间接求出，．由三角形面积公式可求出．再利用勾股定理即可求出，进而求出．最后利用平行线分线段成比例即可求出的长．（3）作且交延长线于点P，连接．由题意易证明，，，即得出．再由平行线性质可知，即得出，即可证明，由此即易证，得出，即点D为中点．从而证明DE为的中位线，即．即要使DE最小，最小即可．根据三角形三边关系可得当点三点共线时最小，且最小值即为，由此即可求出DE的最小值．【详解】（1）在中，．根据旋转性质可知，即为等腰三角形．∵，即，∴，∴．（2）如图，作交于点D，作交于点E．由旋转可得，．∵，∴，∴，∴，．∵，即，∴．在中，，∴．∴．∵，∴，即，∴．（3）如图，作且交延长线于点P，连接．∵，∴，∵，即，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴在和中，∴，∴，即点D