自动控制原理 课件 2.2 控制系统的传递函数

2.2控制系统的传递函数

传递函数是用来描述线性定常系统输入输出关系的复数域数学模型。传递函数只取决于系统的结构和参数，利用它可以方便地研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是以传递函数为基础建立起来的，它是经典控制理论中最基本和最重要的概念。1.传递函数的定义定义：零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。2.2.1传递函数的定义和表达式

控制系统的零初始条件有两层含义：一是指系统输入是在

时才作用于系统，所以，输入量及其各阶导数在

时均为零；二是指输入作用于系统之前，系统工作状态是稳定的，即输出量及其各阶导数在

时也为零。2.传递函数的表达式（1）有理分式形式表达式设阶线性定常系统的微分方程为

式中，

是系统的输出量；

是系统的输入量；

和

都是由系统结构和参数决定的常系数。在零初始条件下，两端取拉普拉斯变换得若用

表示系统的传递函数，则根据定义有这是一个关于复变量

的有理分式，即为传递函数的有理分式形式表达式。（2）零极点形式表达式令对

和

进行因式分解，可得传递函数的零极点形式表达式为式中，

称为零极点形式表达式的传递系数。这种形式表达式在根轨迹法中

使用较多，所以

又称根轨迹增益；

是

的

个根，称为传递函数的零点；

是

的

个根，称为传递函数的极点。传递函数的零点和极点可能是实数，也可能是共轭复数。将零、极点分别用“

”和“

”表示在

平面上的图形，称为传递函数的零极点分布图。（3）时间常数形式表达式若

中有

个极点为0，则传递函数的时间常数形式表达式为

式中，一次因子对应于不为0的实数零极点，二次因子对应于共轭复数零极点；

，

；

和

称为时间常数；

称为时间常数形式表达式的传递系数，其与根轨迹增益

之间的关系为这种形式表达式在频率法中使用较多，

又称开环增益。例2-7试求例2-1

网络的传递函数

，并画出零极点图。已知

，

，

。解：在例2-1中已建立出微分方程为在零初始条件下两端进行拉普拉斯变换，得根据传递函数的定义并代入给定的元件参数有画出零极点分布图如图示。2.2.2传递函数的性质

传递函数具有以下性质

（1）传递函数是由拉普拉斯变换定义的，拉普拉斯变换是一种线性变换，因此传递函数只适用于线性定常系统。

（2）传递函数是复变量

的有理分式函数，具有复变函数的所有性质。实际系统传递函数的分子阶次

总是小于或等于分母阶次

，即

，且所有系数都为实数。

（3）传递函数表示的是系统输入量和输出量之间关系的表达式，不反映系统内部的任何信息。传递函数只取决于系统的结构和参数，与系统输入量和输出量的形式和大小无关，因此它表征了系统本身的特性。一个具有传递函数

的线性系统可以用如图示的方框图表示。

（4）传递函数与微分方程有相对应的关系。微分方程左端和右端各阶导数及其系数分别与相应传递函数分母和分子多项式

的各次方及其系数相对应。

（5）传递函数

与单位脉冲响应

是一对拉普拉斯变换对，它们分别从复域和时域的角度表征了同一系统的特性。

单位脉冲响应

定义为，零初始条件下单位脉冲信号

作用于系统产生的输出响应。

此时

，所以有

反之，有

（6）传递函数具有一定的局限性。一是它只能描述单输入、单输出系统，对于多输入、多输出系统需采用现代控制理论中的传递函数矩阵来描述；二是它只表示系统输入量和输出量之间的关系，而不能反映系统内部的任何信息，针对这一不足，可以用现代控制理论中的状态变量法进行弥补；三是它只能研究零初始条件下系统的运动特性，而对非零初始条件下的系统运动特性，需通过传递函数写出微分方程，然后在考虑非零初始条件后进一步进行分析。解：（1）在例2-3中已建立出电枢控制直流电动机的微分方程为例2-8（1）试求例2-3电枢控制直流电动机的传递函数

和

。

（2）若忽略扰动的影响，确定电动机的单位脉冲响应。当

单独作用时，有零初始条件下两端进行拉普拉斯变换并整理得当

单独作用时，有零初始条件下两端进行拉普拉斯变换并整理得（2）电动机的单位脉冲响应为1.比例环节（放大环节或无惯性环节）微分方程为2.2.3典型环节及其传递函数传递函数为式中

，为比例系数或增益。比例环节的实例有电位器、理想运算放大器、齿轮系、以电枢电压为输出转子角速度为输入的测速发电机等。2.积分环节微分方程为传递函数为积分环节的实例有运放构成的积分调节器、以转子角位移为输出量且忽略了电枢电路的等效电阻和电感及电动机转动惯量的电枢控制直流电动机等。3.惯性环节微分方程为传递函数为惯性环节的实例有电加热炉、以转子角速度为输出量且忽略了电枢电路的等效电感的电枢控制直流电动机、两相伺服电动机等。式中

，为惯性环节的时间常数。4.振荡环节微分方程为传递函数为振荡环节的实例有

无源网络、弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统、双容水槽等。式中

，为阻尼系数或阻尼比；

为振荡环节的时间常数；

为无阻尼振荡角频率。5.微分环节微分方程为传递函数为工程上，理想的微分环节是难以实现的。实际的元部件或系统普遍存在惯性，因此实际的微分环节常带有惯性，其传递函数为微分环节的实例有以电压为输出电流为输入的电感、以电枢电压为输出转子角位移为输入的测速发电机等。实际中，除微分环节外，还有一阶微分环节和二阶微分环节。它们的微分方程分别为传递函数为式中

，为阻尼系数或阻尼比；

为微分环节的时间常数。6.延迟环节（时滞环节或时延环节）微分方程为传递函数为延迟环节的实例有很多，如管道压力和流量等物理量的控制过程、皮带输送装置、燃料输送过程等都存在延迟环节。式中

为延迟时间。2.2.4MATLAB实现（1）传递函数模型传递函数模型用MATLAB提供的tf()函数实现，其调用格式如下。sys=tf(num,den)%建立连续时间系统的传递函数模型sys。其中，num、den分别为传递函数分子、分母多项式按降幂排列的系数向量。注意，若某项系数为0，向量中不可空缺，应写为0；若传递函数的分子或分母为多项式相乘的形式，则可以用MATLAB提供的多项式乘法函数conv()得到分子或分母多项式向量，且conv()函数允许多级嵌套使用。sys=tf(num,den,Ts)%建立离散时间系统的脉冲传递函数模型sys，Ts是采样周期。sys=tf(num,den,’InputDelay’,tao)%建立带延迟环节系统的传递函数模型sys。其中，InputDelay为关键词，tao为系统延迟时间。1.控制系统的数学模型在MATLAB中的描述经典控制理论中，控制系统的数学模型在MATLAB中常用传递函数模型和零极点模型来描述。解：MATLAB程序如下：clc;clearnum=[154];den=conv([13],conv([105],[1710]));sys=tf(num,den)例2-9已知控制系统的传递函数为用MATLAB建立其传递函数模型。运行结果为sys=s^2+5s+4--------------------------------------------s^5+10s^4+36s^3+80s^2+155s+150Continuous-timetransferfunction.解：MATLAB程序如下：clc;clearsys=tf([14],conv([11],[1710]),'InputDelay',0.35)例2-10已知控制系统的传递函数为用MATLAB建立其传递函数模型。运行结果为sys=s+4exp(-0.35*s)*-----------------------s^3+8s^2+17s+10Continuous-timetransferfunction.（2）零极点模型零极点模型用MATLAB提供的zpk()函数实现，其调用格式如下。sys=zpk(z,p,k)%建立连续时间系统的零极点模型sys。其中，z、p、k分别为传递函数的零点向量、极点向量和增益。注意，若无零、极点，则用[]表示。sys=zpk(z,p,k,Ts)%建立离散时间系统的零极点模型sys，Ts是采样周期。sys=zpk(z,p,k,’InputDelay’,tao)%建立带延迟环节系统的零极点模型sys。其中，InputDelay为关键词，tao为系统延迟时间。解：MATLAB程序如下：clc;clearz=[-1-4];p=[0-2i*sqrt(3)-i*sqrt(3)];k=5;sys=zpk(z,p,k)例2-11已知控制系统的传递函数为用MATLAB建立其零极点模型。运行结果为sys=5(s+1)(s+4)-----------------s(s+2)(s^2+3)Continuous-timezero/pole/gainmodel.解：MATLAB程序如下：clc;clearsys=zpk([-4],[-1-2-5],1,'InputDelay',0.35)例2-12用MATLAB建立例2-10系统的零极点模型。运行结果为sys=(s+4)exp(-0.35*s)*-----------------(s+1)(s+2)(s+5)Continuous-timezero/pole/gainmodel.2.传递函数模型与零极点模型的相互转换MATLAB提供了传递函数模型和零极点模型之间的转换函数tf2zp()和zp2tf()，其调用格式如下。[z,p,k]=tf2zp(num,den)%将分子系数向量为num、分母系数向量为den的传递函数模型转换为零点向量为z、极点向量为p、增益为k的零极点模型[num,den]=zp2tf(z,p,k)%将零点向量为z、极点向量为p、增益为k的零极点模型转换为分子向量为num、分母向量为den的传递函数模型。注意，z和p必须是列向量。解：MATLAB程序如下：clc;clearnum=[154];den=[1103680155150];[z,p,k]=tf2zp(num,den)例2-13已知控制系统的传递函数模型为用MATLAB将其转换为零极点模型。运行结果为z=-4-1p=-5.0000+0.0000i-0.0000+2.236