2019年中考数学复习第六单元圆方法技巧训练（六）圆中常见辅助线的作法练习

技巧训练（六）圆中常见辅助线的作法类型1连半径—构造等腰三角形作圆的半径，利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形，这样就把有关线段或角的问题转化到三角形中来解答.1.（2017·泰安）如图，△ABC内接于⊙O.若∠A＝α，则∠OBC等于（D）A.180°－2αB.2αC.90°＋αD.90°－α第1题图 第2题图2.如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E.若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（B）A.42° B.28° C.21° D.20°类型2与垂径定理有关的辅助线在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段或连接弧的中点与圆心，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理或锐角三角函数进行计算.3.（2018·枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（C）A.eq\r(15)B.2eq\r(5)C.2eq\r(15)D.8第3题图第4题图4.（2018·威海）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点.若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（D）A.eq\f(1,2)B.5C.eq\f(5\r(3),2)D.5eq\r(3)类型3与圆周角定理及其推论有关的辅助线（1）遇到直径时，常构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”这一性质；（2）遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径.5.（2018·白银、武威、张掖）如图，⊙A过点O（0，0），C（eq\r(3)，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（B）A.15°B.30°C.45°D.60°第5题图第6题图6.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD.若AC＝2，则tanD的值是（A）A.2eq\r(2)B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(1,3)类型4与切线的性质有关的辅助线已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题.7.（2018·泰安）如图，BM与⊙O相切于点B.若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为（A）A.40°B.50°C.60°D.70°类型5与切线的判定有关的辅助线证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径.8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D.E是BD中点，连接CE.求证：CE是⊙O的切线.证明：连接CO，OE.∵AB为⊙O的直径.∴∠ACB＝90°.∴∠BCD＝90°.∵E是BD中点，∴CE＝BE＝eq\f(1,2)BD.又∵OC＝OB，OE＝OE，∴△COE≌△BOE（SSS）.∴∠OCE＝∠OBE.∵BD为⊙O的切线.∴∠OBE＝90°.∴∠OCE＝90°.又∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线.9.（2017·绥化）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值.解：（1）证明：过点O作OG⊥DC，垂足为G.∵AD∥BC，AE⊥BC，∴OA⊥AD.∵DO平分∠ADC，OA⊥AD，DG⊥DC.∴OA＝OG.∴OG是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线.（2）连接OF.∵OA⊥BC，∴BE＝EF＝eq\f(1,2)BF＝12.在Rt△OEF中，OE＝5，EF＝12.∴OF＝eq\r(OE2＋EF2)＝13.∴AE＝OA＋OE＝13＋5＝18.∴tan∠ABC＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,2).类型6与三角形内切圆有关的辅助线遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算.10.（2018·威海）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为135°Ｗ.类型7与圆中阴影部分面积的计算有关的辅助线当圆中阴影部分为不