沪科版初中九年级上册数学教案(全册)

第21章二次函数与反比例函数

21.1二次函数

飞£教曼目标

1.认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地

列出二次函数关系式.

2.通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系式和求自

变量的取值范围.

3.培养学生探索新知的能力，鼓励学生通过观察、猜想、验证，

主动地获取知识.

【教学重点】

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的

自变量的取值范围.

【教学难点】

熟练地列出二次函数关系式.

一、情景导入，初步认知

1.什么叫函数？它有几种表示方法？

2.什么叫一次函数？（y=kx+b）自变量是什么？函数是什么？常

量是什么？为什么要有kWO的条件？k值对函数性质有什么影响？

【教学说明】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量

等概念，加深对函数定义的理解.强调kWO的条件，以便与二次函数

中的21.2二次函数的图象和性质

1.二次函数y二ax?的图象和性质

爷，教与目标

1.能够利用描点法作出y=x?的图象，并能根据图象认识和理解二

次函数y=x2的性质.

2.能作出二次函数y=-x?的图象，并能够比较与y=x2的图象的异

同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.

3.经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图

象研究函数性质的经验.

4.培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.

【教学重点】

会画y二ax?的图象，理解其性质.

【教学难点】

结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，

并归纳总结出来.

,数学过暇

一、情景导入，初步认知

一次函数y=kx+b和反比例函数），=A（kWO）图象是什么形状？

X

有哪些性质呢？那么二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的图象会是什么

样？通常怎样画一个函数的图象呢？一一引入课题

【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借

助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的

方法，为学习二次函数的图象奠定基础.

二、思考探究，获取新知

1.试着画出y=xz的图象.

【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程，进一步了

解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定

基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程.

2.观察二次函数y=x?的图象，回答下列问题.

（1）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

（2）图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？

（3）当x<0时，随着x的增大，函数y如何变化？当x>0时

呢？

【归纳结论】二次函数尸ax?的图象是一条关于y轴对称，过坐

标原点并向上伸展的曲线，像这样的曲线叫做抛物线.抛物线与它的

对称轴的交点叫做抛物线的顶点.

3.在同一平面直角坐标系中，画出函数y二gx2和y=2x?的图象.

解：（1）列表.

X•••-4-3-2-101234♦♦・

12

•••84.520.500.524.58・••

（2）描点、连线.

4.探究.

(1)观察二次函数y二和y二2x2的图象，分别指出它们的开口

方向、对称轴和顶点坐标；再指出图象力最rWj点还是有最低点？图象

何时上升、何时下降？

(2)你能根据函数y二L必和y二2火的图象的共同特点，总结出二

2

次函数y二ax“a>0)的性质吗？

【归纳结论】二次函数尸ax2(a>0)的图象及性质为:

二次函数y=g2(a>0)

图象的形状图拿的转点图象的性质

向i•左右方自变量、的取值

1.

向丸HUE仲是全仰实数

条■对称图形.财于1和7可得

2

对称轴是，轴到峥1的如

y=ax2(fl>0)当.<0时扁数

1随1的增大而

在7,左的是

3.卜障的.在尸输

当I>0时扁数

右他是上升的

1随”的增大而

A

\l顶点就是原点

当…0时,雨数

0.0,.11点是

取得最小龈

图象的最低

4.y«.i«・。.且y

点,开口向上.

没有最大值.即

图象向上无限

尸0

K#

5.在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2、y=Lx?和y=-2x2

2

的图象.仿照上面的表格，总结出尸ax2(aV0)的性质.

6.对比函数y=x之和y=-x\y=-x2fny=~—x2>y=2x?和y=-2x?的

22

图象，指出它们的相同与不同之处.

7.思考：

(1)a>0与a<0时，函数y二ax?的图象有什么不同？

(2)|a|的大小对函数y=ax2的图象的开口大小有什么影响？

(3)二次函数的图象是什么形状？

【归纳结论】L抛物线y=ax2(aW0)的对称轴是y轴，顶点是原

点；2.a>0时，抛物线y二ax?的开口向上，顶点是抛物线的最低点，

a越大，抛物线的开口越小；3.aV0时，抛物线尸ax?的开口向下.

顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.

【教学说明】让学生自己去观察分析，过程让学生自己去感受，

结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.

三、运用新知，深化理解

1.已知函数y=(m-2)=-3.

【分析】它是二次函数，所以1--7=2,得m二±3,且开口向下，所

以m-2<0,得m<2,即：m=-3.

2.已知抛物线y=ax?经过点A(-2,-8).

(1)求此抛物线的函数解析式；

(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上.

【分析】(1)把a的值求出即可；(2)把B的坐标代入，等式成

立则是在此抛物线上，否则不在.

解：(1)把(-2,-8)代入y=ax?中得:a=-2.，解析式为：y=-2x?

(2)把(-1,-4)代入y=-2x?中等式不成立，，点B(-1,-4)

不在此抛物线上.

3.已知y=(k+2)M，i是二次函数，且当x>0时，y随x的增大

而增大.

(1)求k的值：

(2)求顶点坐标和对称轴.

解：(1)由题意，得

A2+4-4=2

4+2>0

解得k=2.

(2)二次函数为y=4,面积为Scm；

(1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象；

(2)根据图象，求出S=lcm,时，正方形的周长；

(3)根据图象，求出C取何值时，S，4c/.

【分析】此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自

变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内.

解：(1)由题意,得S=，C2(C>0).

列表:

C2468・♦♦

£

124•••

44

描点、连线，图象如图:

(2)根据图象得酷出/时，正方形的周长是4cm.

(3)根据图象得，当C-8cm时,S24cmi

【教学说明】学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，教师

更正、强调.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教

师作以补充.

%课后作业

布置作业:教材“习题21.2”中第1、2题.

飞1数笑反思

本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通

过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在

活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，

极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣.

教学过程始终坚持让学生自己去动脑，动手、动口，在分析、练习基

础上掌握知识.整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教

师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第1课时二次函数y二ax?+k的图象和性质

飞£教曼目标

1.使学生能利用描点法正确作出函数y=/+2与y=x2-2的图

象.

2.理解二次函数y=ax2+k的性质及它与函数y=ax2的关系.

3.让学生经历二次函数y=ax2+k性质探究及性质应用的过程.

4.培养学生动手操作的能力及归纳总结与灵活应用知识的能力.

【教学重点】

理解二次函数y=ax2+k的性质及它与函数y=a（的关系.

【教学难点】

理解二次函数y=ax2+k的性质及它与函数y=ax?的关系.

‘剌教与耳程

一、情景导入，初步认知

1.二次函数y=2x?的图象是,它的开口向,顶点坐

标是»对称轴是,在对称轴的左侧，y随x的增大

而,在对称轴的右侧，y随x的增大而,在x=时,

取最值，其最值是—.

2.二次函数y=2x2+l的图象与二次函数y=2x?的图象开口方

向、对称轴和顶点坐标是否相同？

【教学说明】巩固旧知，引出新知识.

二、思考探究，获取新知

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研

究？

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2、y=2x2+l、

y=2x2-l的图象吗？

【教学说明】先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图

步骤画出三个函数的图象.

观察y=2x?、y=2x?+l、y=2x/T的图象，回答下列问题.

（1）这三个函数图象的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别

是什么？

（2）对于同一个x,这三个函数对应的y之间有什么关系？这三

个函数的图象在位置上有什么关系？

（3）当x分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别

是多少？

【归纳结论】抛物线y=ax2+k与y=ax2的形状、开口大小和开

口方向相同，只是位置不同，抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2

沿y轴方向平移Ik|个单位得到，当女＞0时・，向上平移；当kVO时,

向下平移.

三、运用新知，深化理解

1.（1）函数y=4x?+5的图象可由y=4x2的图象向上平移殳个单位

得至心

（2）y=4x2-ll的图象可由yXx?的图象向工平移必个单位得至IJ.

2.将函数y=-3x2+4的图象向工平移生个单位可得y=-3x2的图象；

y=2x2-7的图象可由y=2x?的图象向上平移1个单位得到；

将y=x2-7的图象向上平移2个单位可得到y=x?+2的图象.

3.抛物线y=-3x2+5的开口回E，对称轴是上细，顶点坐标是

（0,5）,在对称轴的左侧，y随x的增大而增大,在对称轴的右侧，

y随x的增大而减小,当x=8时，取得最大值，这个值等于1

4.抛物线y=7x?-3的开口向上，对称轴是通I，顶点坐标是（0,

-3）,在对称轴的左侧，y随x的增大而减小,在对称轴的右侧，y随

x的增大而增大,当x=8时，取得最小值，这个值等于旦

5.抛物线y=ax?+c与y=3x2的形状相同，且其顶点坐标是（0,

1）,则其表达式为y式六+1.

6,一条抛物线的开口方向、对称轴与y='x2相同，顶点纵坐标是

2

-2,且抛物线经过点（1,1）,求这条抛物线的函数关系式.

解：由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标

为（0,-2）,

因此所求函数关系式可看作尸ax?-2（a>0）,又抛物线经过点（1,

1）,

所以，l=a•12-2,

解得a=3.

故所求函数关系式为y=3x2-2.

【教学说明】以上6题，是对本节课的知识点的复习巩固，让学

生自主完成，教师做强调.

四、师生互动、课堂小结

本节课你有何收获？本节课你有何疑问？

%课后作业

布置作业:教材P12“练习”.

令)敢与反思—

函数的教学，尤其是二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知

识.在教学过程中，除了让学生多动手画图象，加深学生对函数图象

的了解，加深他们对函数性质的了解外,更重要的是让学生参与到函

数图象和性质的探索中去.要利用一切可以利用的材料来帮助学生理

解所学的知识.本节中通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象

的位置变化，给学生留下较深刻的印象，普遍能较好的掌握图象的平

移规律.

第2课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质

爷，教与目标

1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象.

2.让学生经历二次函数y=a(x+h)2性质探究的过程，理解函数y=

a(x+h)2的性质，理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2

的图象的关系.

3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.

【教学重点】

会用描点法画出二次函数y=a(x+h)2的图象，理解二次函数y=

aG+h)?的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的图象与二次函数y=ax2

的图象的关系.

【教学难点】

理解二次函数y=a(x+h)2的性质,理解二次函数y=a(x+h)2的

图象与二次函数y=ax?的图象的关系.

密教与耳程

一、情景导入，初步认知

我们已经了解到，函数y=ax?+k的图象，可以由函数y二ax,的

图象上下平移所得，那么函数y='(x-2)2的图象，是否也可以由函数

2

尸Lx?平移而得呢？y=a(x+h)2的图象是如何得到的呢？画图试一

2

试，你能从中发现什么规律吗？

【教学说明】小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑

第3课时二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质

盥教与目标

1.使学生理解函数y二a(x+h)2+k的图象与函数产ax?的图象之间的关

系.会确定函数y=a(x+h)"+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

2.让学生经历函数y=a(x+h)2+k性质的探索过程，理解函数

y=a(x+h)2+k的性质.

3,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.

【教学重点】

确定函数y=a(x+h：P+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,

理解函数y=a(x+h)2+k的图象与函数y二ax?的图象之间的关系，理解

函数y=a(x+h)2+k的性质.

【教学难点】

正确理解函数尸a(x+h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关

系以及函数y=a(x+h)2+k的性质.

充教学毛程

一、情景导入，初步认知

1.函数y=lx2+l的图象与函数y」(的图象有什么关系？

22

2.函数y=l(x+2)?的图象与函数尸;X?的图象有什么关系？

3.函数y=l(x+2)2+l的图象与函数y=l(x+2¥的图象有什么关

22

系？函数y=l(X+2)2+1有哪些性质？

2

【教学说明】通过提问的形式，对上节课的知识进行复习巩固，

并且为本节课探究二次函数y=a(x+h)2+k的性质作铺垫.

二、思考探究，获取新知

1.在同一直角坐标系中，画出下列函数yr'y=(x-2)\y=(x-

2)2+1的图象.

2.观察它们的图象，回答：它们的开口方向都向,对称轴

分别为、、，顶点坐标分别

为、、.请同学们完成填空，并观察三个图象之

间的关系.

【归纳结论】函数y=(x—2尸+1的图象可以看成是将函数y二(x

一2尸的图象向上平移1个单位得到的，也可以看成是将函数y二六的

图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的.

二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x+h)2+k中k

的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时,

可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.

此外，图象的平移与平移的顺序无关.

3.你能说出函数y=a(x+h)2+k(a、h、k是常数，aWO)的图象

的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

【归纳结论】对于二次函数y=a(x+h)2+k：(1)开口方向由a决

定，(2)对称轴是直线x=-h.(3)顶点坐标为(~h,k).

三、运用新知，深化理解

L抛物线y=-3(x-2)2+4的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为

(D)

A.开口向下，对称轴为x=-2,顶点坐标为(-2,4)

B.开口向上，对称轴为x=2,顶点坐标为(2,4)

C.开口向上，对称轴为x=2,顶点坐标为(2,-4)

D.开口向下，对称轴为x=2,顶点坐标为(2,4)

2.把抛物线y=12x2向左平移1个单位长度，再向下平移1个单

位，得抛物线为(B)

A.y=-y-(x2+2x+2)

B.y=;(/+211)

C.y=y(A-2-2x-l)

I).y=^-(x2-2x+1)

3.二次函数y=a((aWO)的顶点在(A)

A.y=2x

B.y=-2x

C.x轴上

D.y轴上

4.把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位，再向左平移4个单位,

得到抛物线y=x2,求b、c的值.

【分析】抛物线y=X?的顶点为（0,0）,只要求出抛物线y=x,bx+c

的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出

b、c的值.

解：y=£+bx+c

、,b2b2

=%+6x—+c

44

2

=(/"k6)、2fc

24

向上平移2个单位，得到

y=(«*y)2+C-:+2,

再向左平移4个单位，得到

r=(x*y*4)2+c-^p+2,

其顶点坐标是(而

24

抛物线y=/的顶点为(0.0),则

-y-4=0

6=-8

解得:

c=14

c-v+2=O

4

【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教

师作以补充.

挚课后作业

布置作业:教材P17“练习”.

飞］敦至反思—

本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中

获得知识，本节课教师主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，

较好地体现了学生学习的主动性.

第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

篁教与目标

1,使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象.

2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴

和顶点坐标.

3.让学生通过绘画、观察二次函数y=ax?+bx+c的图象，理解

二次函数丫=@*2+6*+(:的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的.

4.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问

题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识.

【教学重点】

通过配力确定抛物线的对称轴、顶点坐标.

【教学难点】

理解二次函数y=ax'+bx+c(aWO)的性质.

,数学过暖

一、情景导入，初步认知

由前面的知识，我们知道，函数尸2x2的图象，向上平移2个单

位，可以得到函数y=2x?+2的图象；函数尸2六的图象，向右平移3

个单位，可以得到函数y=2(x-3产的图象，那么函数y=2x?的图象，

如何平移，才能得到函数y二2(x-3尸+2的图象呢？

函数y=-4(x-2)2+l具有哪些性质？

【教学说明】通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩

固，以便这节课的应用.这几个问题可找层次较低的学生回答，由其

他同学给予评价.

二、思考探究，获取新知

你能确定y=-2x?+4x+6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有

哪些性质？

学生讨论得到：把二次函数y二ax'+bx+c转化成y=a(x-h)"+k的形

式再通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点

画图.

解：y=-2x2+4x+6

=-2(x2-2x)+6

=-2(X2-2X+1-1)+6

=~2[(x-l)3+6

=-2(X-1)2+8

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=L顶点坐标为(1,8).

你能从上图中总结出二次函数y=ax"+bx+c(aWO)的性质吗？

【归纳结论】二次函数y=ax?+bx+c(a#O)的对称轴是x=-—,

顶点坐标是(-2,好工)

2a4a

【教学说明】让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论.

三、运用新知，深化理解

1.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是(C)

A.(1,-4)B.(-1,2)

C.(1,2)D.(0,3)

【分析】方法一：直接用二次函数顶点坐标公式求.方法二：将

二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，

顶点坐标即为(h,k),y=x2-2x+3=(x-l)2+2,所以顶点坐标为(1,2),

答案选C.

2.抛物线y=-'x，x-4的对称轴是(B)

4

A.x=-2B.x=2

C.x=-4D.x=4

【分析】直接利用公式.

3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，

正确的是(C)

A.ab>0,c>0B.ab>0,c<0

C.ab<0,c>0D.ab<0,c<0

【分析】由图象，抛物线开口方向向下，

Aa<0,

抛物线对称轴在y轴右侧，・,・-2>0,XVa<0,/.b>0,.,.ab<

0,

抛物线与y轴交点坐标为(0,c)点，由图知，该点在x轴上方，

・・・c>0.

答案选C.

4.把抛物线y=-2x2+4x+l的图象向左平移2个单位，再向上平移

3个单位，所得的抛物线的函数关系式是(C)

A.y=-2(x-1尸+6

B.y=-2(X-1)2-6

C.y=-2(x+l)2+6

D.y=-2(x+l)-6

【分析】抛物线y=-2x2+4x+l=-2(x-l)2+3的图象向左平移2个

单位得到y=-2(x+l)2+3,再向上平移3个单位得到y=-2(x+l)2+6.

答案选C.

5.已知抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，求a的值.

【分析】顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在x轴上，则顶

点的纵坐标等于0;(2)顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0.

解：y=r2-(a+2)x+9

二(一^4^)2+9_(〃；2)1

则抛物线的顶点坐标是(审，9-

(</+2)2

4-)•

当顶点在)­轴上时.布*一==(),

2

解得:a=-2.

当顶点在x轴上时，有9-更生=0,

4

解得:a=4或a=-8.

所以，当抛物线产x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上时，a有三个

值，分别是-2,4,-8.

【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知.

四、师生互动、课堂小结

二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的对称轴是x=-2,顶点坐标

号”课后作业

布置作业：教材P20“练习”.

也教与反思

本节课的重点是用配方法确定抛物线的顶点和对称轴.为了学生

能在较复杂的题中顺利应用配方法，教师首先出示了几个较简单的练

习由学生完成，并来讨论做题思路.这样这个重点和难点也就得到了

自然地突破.

*3.二次函数表达式的确定

篁教与目标

1.经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思

想方法，培养数学应用意识.

2.会用待定系数法求二次函数的表达式.

3.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学

生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习

习惯.

【教学重点】

求二次函数的解析式.

【教学难点】

求二次函数的解析式.

.'敦学遥暇

一、情景导入，初步认知

问题1：如何求一次函数的解析式？至少需要几个点的坐标？

问题2：你能求二次函数的解析式吗？如果要求二次函数的解析

式需要几个点的坐标？

【教学说明】通过类比的思想猜想求二次函数的解析式需要坐标

点的个数.

二、思考探究，获取新知

问题：

1.已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2),

求函数的解析式.

【分析】可设函数关系式为y=ax2+bx+c,根据二次函数的图

象经过三个已知点，可得出一个关于a,b,c的三元一次方程组，从而

可以求出a,b,c的值。

【归纳结论】这利求二次函数表达式的方法称为一般式.

2.已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y地交于点(0,1),求

函数的解析式.

【分析】根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y=a(x

+h)2+k,再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值.

【归纳结论】这种求二次函数表达式的方法称为顶点式.

【归纳结论】求二次函数y=ax?+bx+c的解析式，关键是确定

a、b、c的值.由已知条件可列出三个方程，解此方程组，求出三个

系数a,b,c.

三、运用新知，深化理解

1.教材教1例3、P22例4、例5.

已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),

求这个一次函数的关系式.

【分析】二次函数y=ax2+bx+c通过配方可得y=a(x+h)2+k

的形式称为顶点式，Qh,k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函

数的图象顶点坐标是(8,9),因此，可以设函数关系式为:

y=a(x—8)2+9

由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,D代入所设函数关系式,

即可求出a的值.

解：y=--x2+2x+l

8

2.已知：二次函数y二ax?+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其

中A点坐标为(T,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),求抛

物线的解析式.

【分析】应用待定系数法求出a,b,c的值

解：依题意:

a-b=Ot[a=-1

,c=5解得，b=4

a+6=8Ic=5

抛物线的解析式为y=-x2+4x+5

3.已知抛物线的对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-5)

两点，求二次函数的关系式.

【分析】可设二次函数y=ax2+bx+c,已知两点的坐标，可列

两个方程，再根据对称轴x=2列出一个方程，则可求出a,b,c的值.

解法1：设所求二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,因为二次

函数的图象过点(0,-5),可求得c=-5,又由于二次函数的图象过

点(3,1),且对称轴是直线x=2,可以得

19〃+3/)=6

解这个方程组，得：

(a=-2

1=8

所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5.

解法2：设所求二次函数的关系式为y=a(x-2)?+k,由于二次

函数的图象经过(3,1)和(0,—5)两点，可以得到

心(3-2尸+4=1

la(0-2)2+Jt=-5

解这个方程组，得：

所以，所求二次函数的关系式为y=—2(x—2尸+3,即y=-2x2

+8x-5.

4.已知抛物线的顶点是(2,-4),它与y轴的一个交点的纵坐标

为4,求函数的关系式.

【分析】根据顶点坐标公式可列出两个方程.

解法1：设所求的函数关系式为y=a(x+h¥+k,依题意，得

y=a(x—2尸一4

因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4,所以抛物线过点(0,

4),于是a(0—2/-4=4,解得a=2.

所以，所求一次函数的关系式为y=2(x—2尸一4,即y=2x?—8x

+4.

解法2：设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c.依题意，得

、c=4

解这个方程组，得:

a=2

I)=—8

。二4

所以，所求二次函数关系式为y=2x2—8x+4.

【教学说明】凡是能用“顶点式”确定的，一定可用“一般式”

确定，进一步明确两种表达式只是形式的不同却没有本质的区别；在

做题时，不仅会使用已知条件，同时要养成挖掘和运用隐含条件的习

惯.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教

师作以补充.

.‘潮用作!W

布置作业:教材“习题21.2”中第9、11、14题.

",'数学反同

确定二此函数的关系式的一般方法是“一般式”“顶点式”，在选

择把二次函数的关系式设成什么形式时.，可根据题目中的条件灵活选

择，以简单为原则.

21.3二次函数与一元二次方程

盥教与目标

1.体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程

问题的方法；

2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的

个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没

有实根的函数图象特征.

3.经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相

互转化的数学思想和数形结合的数学思想.

4.培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与

转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质.

【教学重点】

经历“类比一一观察一一发现一一归纳”而得出二次函数与一元

二次方程的关系的探索过程.

【教学难点】

准确理解二次函数与一元二次方程的关系.

,、敦学遥暇

一、情景导入，初步认知

我们学习了一元一次方程kx+b=O(k#O)和一次函数y=kx+b(k#

0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时，一次

函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=O,且一次函数y=

kx+b(k^21.4二次函数的应用

第1课时二次函数的应用(1)

盥教与目标

1.经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方

法解决实际问题的经验.

2.经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经

验，感受数学模型和数学应用的价值，通过观察、比较、推理、交流

等过程，发展获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.

3.通过动手实做及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发

展学习动力.

【教学重点】

会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题.

【教学难点】

从几何背景及实际情景中抽象出函数模型.

兴敦与目联

一、情景导入，初步认知

问题：某开发商计划开发一块三角形土地，它的底边长100米，

高80米.开发商要沿着底边修一座底面是矩形的大楼，这座大楼地基

的最大面积是多少？

要解决这些实际问题，实际上也就是求面积最大的问题，在数学中也

就是求最大值的问题.这节课我们看能否用已学过的数学知识来解决

以上第2课时二次函数的应用（2）

飞L敦受目标

1.能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基

础上，根据二次函数关系式和图象特点，从而解决实际问题.

2.经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经

验，感受数学模型和数学应用的价值，通过观察、比较、推理、交流

等过程，发展获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.

3.通过动手实做及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发

展学习动力.

【教学重点】

会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题.

【教学难点】

利用二次函数解决生活中的实际问题.

密教与耳程

一、情景导入，初步认知

1.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(1)y=6x2+12x；(2)y=-4x2+8x-10

2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出

两个函数的最大值、最小值分别是多少？

【教学说明】通过配方，使学生能熟悉二次函数最值的求法，从

而解决实际问题.

21.5反比例函数

第1课时反比例函数的概念

飞L敦受目标

i.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系

式.

2.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽

象思维能力.

3.培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型,

认识反比例函数的应用价值.

【教学重点】

理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.

【教学难点】

能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的

模型思想.

,教学遥职

一、情景导入，初步认知

1.复习小学已学过的反比例关系，例如：

(1)当路程s一定，时间t与速度V成反比例，即vt=s(s是常数)

(2)当矩形面积S一定时，长a和宽b成反比例，即ab=S(S是

常数)

2.电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR.当U=220V时,

你能用含R的代数式表示I吗？

【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础.

第2课时反比例函数的图象与性质

飞L敦受目标

1.会用描点法画反比例函数图象.

2.理解反比例函数的性质.

3.观察、比较、合作、交流、探索.

4.通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象

的性质.

【教学重点】

画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质.

【教学难点】

理解反比例函数的性质，并能灵活应用.

号）敦当程

一、情景导入，初步认知

你还记得一次函数的图象吗？一次函数的图象怎样画呢？一次函

数有什么性质呢？

反比例函数的图象又会是什么样子呢？

【教学说明】在回忆与交流中，进一步认识函数图象的直观有助

于理解函数的性质.

二、思考探究，获取新知

1.画出反比例函数y=9的图象.

x

【分析】画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.

解：（1）列表：取自变量X的哪些值？

X•••-63-1・••1236•••

y•••-1_一2-3-6•••632I•••

X是不为零的任何实数，所以不能取X的值的为零，但仍可以以

零为基准，左右均匀，对称地取值.

（2）描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描

出各点（—6,—1）、（―3,—2）、（—2,—3）等.

（3）连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图

象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图

象的另一个分支.这两个分支合起来，就是反比例函数的图象.

2.思考：（1）观察上图，函数），=g的图象位于哪些象限？

X

（2）y轴右边的各点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何

变化？y轴左边的各点是否也有相同的规律？

（3）这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？

（4）分析P与P'的坐标，它们成什么关系？函数,，=色的图象

x

有何种关系？

3.画出反比例函数），=-2的图象.分析反比例函数尸-色与），=g

XXX

的图象有什么共同特征？

【归纳结论】反比例函数），=K（kWO）的图象叫作的双曲线.

X

反比例函数的性质：

（I）当k>0时，图象的两个分支分别位于一、三象限，在每个

象限内，图象自左向右下降，函数y随X的增大而减小.

(2)当kVO时，图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个

象限内，图象自左向右上升，函数y随x的增大而增大.

【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象

的步骤.观察函数图象，掌握反比例函数的性质.

三、运用新知，深化理解

1.教材P47例3.

2.如果函数y=2x^的图象是双曲线，那么k=.

答案：-2

3.如果反比例函数y二匕口的图象位于第二、四象限内，那么满

A

足条件的正整数k的值是.

答案：1，2

4.已知直线丫=1<'+1)的图象经过第一、二、四象限，则函数y=@

x

的图象在第象限.

答案：二、四

【分析】因为k=l>0,所以双曲线的两支分别位于第一、三象

限.

答案：C

6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是()

-二4±1D.y=

xx

答案：C

7.已知函数尸(nr2)的值；

(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变

化？

(3)当一3WxW-‘时，求此函数的最大值和最小值.

2

解：(1)由反比例函数的定义可知

(3-//i?=-I

］吁＞0

解得，m=-2.

(2)因为k=—4V0,所以反比例函数的图象在第二、四象限内，

在各象限内，y随x的增大而增大.

(3)因为在每个象限内，y随x的增大而增大，

所以当*时,最大值,zg；

*2

当-3时，y最小值=-之=1・

所以当时•此函数的最力

值为8.最小值为小

8.作出反比例函数尸U的图象，并根据图象解答下列问题：

X

(1)当x=4时，求y的值;

(2)当y=-2时,求x的值;

(3)当y>2时，求x的范围.

解：列表：

3”

列9

由图知：(l)y=3；⑵x=-6；(3)0<x<6

9.作出反比例函数尸-3的图象，结合图象回答：(1)当x=2时,

y的值;

(2)当1VXW4时，y的取值范围;

(3)当lWy<4时，x的取值范围.

解：列表:

由图知：(l)y=-2；(2)—4<yW—l；(3)—4Wx<—l.

【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,

在研究每一题时.，要紧扣性质进行分析，达到理解性质的目的.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教

师作以补充.

挚课后作业

布置作业:教材“习题21.5”中第4、5、6题.

通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质，并掌

握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从

练习上来看，学生掌握的不够好，应多加练习.

第3课时反比例函数的应用

盥教与目标

1.综合运用一次函数、反比例函数的知识解决有关问题.

2.掌握反比例函数中比例系数k的几何意义.

3.经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.

4.能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生

看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数

题.

【教学重点】

理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们

解决一些综合问题.

【教学难点】

学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.

号)敦当程

一、情景导入，初步认知

1.正比例函数有哪些性质？

2.一次函数有哪些性质？

3.二次函数有哪些性质？

4.反比例函数有哪些性质？

【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们

的性质有系统的了解.

二、思考探究，获取新知

1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P(-3,4),

试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.

解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=y=

x

其中，k”kz是常数，且均不为0.

由于这两个函数的图象交于P(-3,4)，则p(-3,4)是这两个函

数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式.

因此,4=&x(-3)

一J

解得=-4-=-12

所以，正比例函数解析式为＞=，反

比例函数解析式为＞=T

函数图象如下图:

【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综

合应用.

2.在反比例函数y=9的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过

x

点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为

S尸；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩

形面积为S2=；Si与S2有什么关系？为什么？

【归纳结论】反比例函数y=K(kWO)中比例系数k的几何意

x

义：过双曲线y=&(kWO)上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐

x

标轴围成的矩形面积为k的绝对值.

【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性

质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力

与数学语言的组织能力.

三、运用新知，深化理解

1.已知如图，A是反比例函数)，=&的图象上的一点，AB_Lx轴

x

于点B,且AABC的面积是3,则k的值是(C)

y

A.3B.-3C.6

D.-6

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐

标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=l|k|.

2

解：根据题意可知：SAAOB=—Ik|=3,

2

又反比例函数的图象位于第一象限，k>0,

则k=6.

故选C.

2.反比例函数），△与），=3在第一象限的国象如图所示，作一条

xx

平行于X轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、0B,则aAOB

的面积为（A）

【分析】分别过B、A作x轴的垂线，垂足分别为D、E,过B作

BC，y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求

出四边形OEAC、AAOE./XBOC的面积，进而可得出结论.

解：分别过B、A作x轴的垂线，垂足分别为D、E,过B作BC

_Ly轴，点C为垂足.

;由反比例函数系数k的几何意义可知，S四地形0EAC=6,SA,\0E=3,S

,3

△BOC-----，

2

S/\AOB=S

四边形OEAC—SAAOE-S_=6-3-1=|

故选A.

3.已知直线y=x+b经过点A(3,0),并与双曲线y二k)和C,求k、

b的值.

解：点A(3,0)在直线y=x+b上，所以0=3+b,b=-3.

一次函数的解析式为：y=)也在直线y==—2—3=—5,即B(—

2,—5).

而点B(—2,—5)又在反比例函数)，」上，所以k=-2X(-5)=

x

10.

4.已知反比例函数)，="的图象与一次函数y=k2x-l的图象交

X

于A(2,1).

(1)分别求出这两个函数的解析式；

(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.

【分析】(1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A

点的坐标代入这两个解析式即可求出k|、k?的值.

(2)把点A关于坐标原点的对称点A，坐标代入一次函数和反

比例函数解析式中，可知A'是否在这两个函数图象上.

解：(1)因为点A(2,l)在反比例函数和一次函数的图象上，所以

k,=2Xl=2.

l=2k2—1,k2=l.

所以反比例函数的解析式为：)，=2；一次函数解析式为：y=x

x

-1.

(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A'(―2,—1).

把A'点的横坐标代入反比例函数解析式得，尸工二-1,所以点

-2

A'在反比例函数图象上.