中考二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练（一）2021/6/271题型一：面积问题2012如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；2021/6/272由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：3k+3=0，k=-1∴直线BC：y=-x+3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则D（2，1）；∴AD=AC=CD=即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；∴S△ACD=1/2AD•CD=2021/6/2732021/6/274如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）。（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积。2021/6/275（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；（3）过P作y轴的垂线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识．2021/6/276证明：连接CE，则CE⊥BD，2021/6/277（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；2021/6/2782021/6/279（2014）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．2021/6/2710（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论2021/6/27112021/6/27122021/6/2713题型二：构造直角三角形山东聊城如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．y＝x2－2x－32021/6/2714解：由于A、B关于抛物线的对称轴直线x=1对称，那么M点为直线BC与x=1的交点；由于直线BC经过C（0，-3），可设其解析式为y=kx-3，则有：3k-3=0，k=1；∴直线BC的解析式为y=x-3；当x=1时，y=x-3=-2，即M（1，-2）；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；2021/6/2715解：方法一，作PD⊥y轴，垂足为D；易证△BOC相似于△CDP∵OB=OC=3，∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4，∴P（1，-4）．（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标方法二：要使∠PBC＝90°，则直线PC过点C，且与BC垂直，又直线BC的解析式为y＝x－3，所以直线PC的解析式为y＝－x－3，当x＝1时，y＝－4，所以P点坐标为（1，－4）．2021/6/27162021/6/2717如图，已知直线y=1/2x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝1/2x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM—MC|的值最大，求出点M的坐标2021/6/2718（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P解析：让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标．△PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨点评：一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；2021/6/27192021/6/2720（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM—MC|的值最大，求出点M坐标解析：易得|AM-MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标解：抛物线的对称轴为x=3/2∵B、C关于x=3/2对称∴MC=MB要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大易知直线AB的解折式为y=-x+1点评：求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点2021/6/27212021/6/2722

如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．2021/6/2723试题分析：（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题；（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．2021/6/2724（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式；（1）如图1∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC．∴BC=5．∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴点B的坐标为（5，4）．∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上2021/6/2725如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题；2021/6/2726（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标①当∠BAM=90°时，如图3所示2021/6/2727②当∠ABM=90°时，如图4所示2021/6/27282021/6/2729题型三：构造等腰三角形如图，已知抛物线y=aX2+bX+3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；y=-x2-2x+3（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．2021/6/2730（2）解析：可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM=CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；要分类进行求解，不要漏解2021/6/27312021/6/2732（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标2021/6/27332021/6/2734在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

解析：

当k=-2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：y=，利用待定系数法即可求得答案，将k=-2代入y=k（x2+x-1），运用配方法写成顶点式，即可求出二次函数的图象的顶点；（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函数y=k（x2+x-1）的对称轴为x=-1/2，可得x＜-1/2时，才能使得y随着x的增大而增大.2021/6/2735（1）当k=-2时，A（1，-2）.设反比例函数的解析式为：y=．将A（1，-2）代入得：m=-2．∴反比例函数的解析式为：y=；（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k＜0．∵二次函数y=k（x2+x-1）=k(x+1/2)2-k，∴对称轴为x=-1/2要使二次函数y=k（x2+x-1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x＜-1/2时，才能使得y随着x的增大而增大．综上所述，k＜0且x＜-1/2．2021/6/27362021/6/2737如图，已知抛物线经过点B（﹣2，3），原点O和x轴上另一点A，它的对称轴与x轴交于点C（2，0）．（1）求此抛物线的函数关系式；（2）连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．2021/6/2738（1）根据抛物线的对称轴可得出A点坐标，然后根据O、A、B三点坐标，用待定系数法可求出抛物线的解析式．（2）可根据B、C的坐标，求出BC的长，然后根据CB=CE，将C点坐标向上或向下平移BC个单位即可得出E点坐标．（3）本题的关键是确定P点的位置，可取B关于抛物线对称轴的对称点D，连接DG，直线DG与抛物线对称轴的交点即为所求P点的位置．可先求出直线DG的解析式，然后联立抛物线对称轴方程即可求出P点坐标，本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的判定、轴对称图形的性质等知识，（3）中能正确找出P点位置是解题的关键2021/6/2739（2）连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标（2）解：过点B作BM⊥MC，∵B点坐标为：（-2，3），C点坐标为：（2，0），∴MC=4，BM=32021/6/2740（3）在（2）的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．2021/6/27412021/6/2742题型四：构造相似三角形如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由分析：（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标；（3）分两种情况讨论，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标．2021/6/2743（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；解：（2）①当AO为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，则D在x轴下方不可能，∴D在x轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（-3，3）；②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分，∵点E在对称轴上，对称轴为直线x=-1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即D3（-1，-1）故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（-3，3），D3（-1，-1）；2021/6/2744解：如图：∵B（-3，3），C（-1，-1），根据勾股定理得BO2=18，CO2=2，BC2=20∴BO2+CO2=BC2∴△BOC是直角三角形假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，，（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由2021/6/2745点评:本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标，注意分类讨论思想的运用，难度较大．2021/6/27462021/6/2747已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD．直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系，若抛物线y=ax2-2ax-3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）．②求抛物线的解析式．③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2021/6/2748此题考查二次函数的顶点坐标，三角形相似的判定与性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，是一道较好的题目提示1：①首先求得对称轴，即是点B的横坐标，代入解析式即可求得点B的纵坐标，问题得以解决；②由△OAD∽△CDB，得出对应线段的比相同求得a的值即可；③利用三角形相似，等腰三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及连点之间的距离解答即可．2021/6/2749解：①函数y=ax2-2ax-3a的对称轴x=1，代入解析式可得y=-4a，所以顶点坐标为（1，-4a）；故答案为（1，-4a）2021/6/2750③存在，设P（x，-x2+2x+3）∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形，∴PN=AN，当x<0（x<-1）时，-x+3=-（-x2+2x+3），x1=-2，x2=3（舍去），∴P（-2，-5）当x>0（x>3）时，x-3=-（-x2+2x+3），x1=0，x2=3（都不合题意舍去），符合条件的点P为（-2，-5）。注意分类讨论2021/6/27512021/6/2752中考二次函数压轴题专题分类训练（二）2021/6/2753题型五：构造梯形

已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,-2)，直线y=-2/3x与边BC相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）抛物线y=aX2+bX+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由2021/6/2754（1）求点D的坐标分析：

由于BC∥x轴，那么B、C两点的纵坐标相同，已知了点C的坐标，将其纵坐标代入直线OD的解析式中，即可求得点D的坐标；2021/6/2755（2）抛物线y=aX2+bX+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式分析：可利用待定系数法求得该抛物线的解析式；2021/6/27563）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由分析：此题应分作三种情况考虑：①所求的梯形以OA为底，那么OA∥DM，由于抛物线是轴对称图形，那么D点关于抛物线对称轴的对称点一定满足M点的要求，由此可得M点的坐标；②所求的梯形以OD为底，那么OD∥AM，所以直线AM、直线OD的斜率相同，已知点AD的坐标，即可确定直线AM的解析式，联立抛物线的解析式，即可确定点M的坐标；③所求的梯形以AD为底，那么AD∥OM，参照②的解题思路，可先求出直线AD的解析式，进而确定直线OM的解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点M的坐标此题考查了矩形的性质、二次函数解析式的确定、梯形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大2021/6/27572021/6/27582021/6/2759如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2021/6/2760题型六：构造平行四边形如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，﹣3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=﹣x+m过点C，交y轴于D点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．2021/6/27612021/6/2762题型七：线段最值问题如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴