华东师大版初中七年级下册数学 第10章 轴对称、平移与旋转 单元测验（解析版）

华师大新版七年级（下）第10章轴对称、平移与旋转

一、选择题（共17小题）

1.一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形

小孔，则展开铺平后的图案是（）

2.如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角

三角形，展开铺平得到的图形是（）

3.如图，在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若点M、N分别是线段AC,AB

上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）

4.如图，四边形ABCD中，ZC=50°,ZB=ZD=90°,E、F分别是BC、

DC上的点，当AAEF的周长最小时，NEAF的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.如图，点P是NA0B内任意一点，0P=5cm,点M和点N分别是射线0A

和射线0B上的动点，△PMN周长的最小值是5cm,则NA0B的度数是（）

6.如图，直线1外不重合的两点A、B,在直线1上求作一点C,使得AC+BC

的长度最短，作法为：①作点B关于直线1的对称点二；②连接AB'与

直线1相交于点C,则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到

的知识或方法是（）

A.转化思想

B.三角形的两边之和大于第三边

C.两点之间，线段最短

D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角

7.如图，正方形ABCD的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形

ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE最小，则这个最小值为（）

A.V3B-25C.276D.提

8.如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,D是AB上的动点，E

是BC上的动点，则AE+DE的最小值为（）

BD

12.将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③

中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）

13.如图，AB是。0的直径，AB=8,点M在。0上，ZMAB=20°,'是弧

MB的中点，P是直径AB上的一动点.若MN=1,则△PMN周长的最小值为

（）

14.将一张正方形纸片按如图1,图2所示的方向对折，然后沿图3中的

虚线剪裁得到图4,将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（）

图1图2图3图4

15.如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB,再以AB的中点0为

顶点，把平角NAOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪

出一个以0为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后

得到的平面图形一定是（）

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

16.如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底

面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（）

17.下列选项中有一张纸片会与如图紧密拼凑成正方形纸片，且正方形上

的黑色区域会形成一个轴对称图形，则此纸片为何？（）

二、填空题（共11小题）

18.如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC,AD=CD,ZA=ZC=90°,Z

B=150°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发

的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为

2的平行四边形，则CD二.

19.如图，已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1,点P,Q

分别是边BC,CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最

小值时，四边形AEPQ的面积是,

20.如图，ZA0B=30°,点M、N分别在边0A、0B±,且OM=1,0、=3,

点P、Q分别在边OB、0A±,则MP+PQ+QN的最小值是.

21.如图，在边长为2的等边aABC中，D为BC的中点，E是AC边上一

点,则BE+DE的最小值为.

22.在每个小正方形的边长为1的网格中.点A,B,D均在格点上，点E、

F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF.

(I)如图①，当BE二国时，计算AE+AF的值等于____________

2

（II）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直

尺，画出线段AE,AF,并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要

23.如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，BE=1,F为AB上一

点，AF=2,P为AC上一点，贝ijPF+PE的最小值为.

24.（•鄂州）如图,NAOB=30°,点M、N分别是射线0A、0B上的动点,

OP平分NAOB,且OP二6,当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面

积为

P

25.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，

再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图

形的涂法有____________种.

26.在。。中，AB是。。的直径，AB=8cm,AC=CD=BE，M是AB上一动点,

CM+DM的最小值是cm.

27.如图，正方形ARCD的边长为2,点E为边BC的中点，点P在对角线

BD上移动，则PE+PC的最小值是,

28.如图，菱形ABCD的边长为2,ZDAB=60°,E为BC的中点，在对角

线AC上存在一点P,使APBE的周长最小，则aPBE的周长的最小值

三、解答题（共2小题）

29.在棋盘中建立如图的直角坐标系，三颗棋子A,0,B的位置如织，它

们分别是（7,1）,（0,0）和（1,0）.

（1）如图2,添加棋子C,使A,0,B,C四颗棋子成为一个轴对称图形，

请在图中画出该图形的对称轴；

（2）在其他格点位置添加一颗棋子P,使A,0,B,P四颗棋子成为一个

轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标.（写出2个即可）

30.如图，已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),

与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当PA+PB的值最小时，求点P的坐标.

华师大新版七年级（下）第10章轴对称、平移与旋转

参考答案与试题解析

一、选择题（共17小题）

1.一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形

小孔，则展开铺平后的图案是（）

【考点】剪纸问题.

【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现.

【解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出•个圆

形小孔，展开得到结论.

故选C.

【点评】此题主要考查了剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非

常重要的，做题时，要注意培养.

2.如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角

三角形，展开铺平得到的图形是（）

【考点】剪纸问题.

【分析】根据题意直接动手操作得出即可.

【解答】解：找一张壬方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后

得到的图形如图所示:

故选A.

【点评】本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会

更简便.

3.如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5.若点M、N分别是线段AC,AB

上的两个动点，则BM+MN的最小值为（)

【考点】轴对称-最短路线问题.

【分析】过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作

EF垂直AB交AB于F点，EF就是所求的线段.

【解答】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E

作FF垂直AB交AR于F点，

AC=5V5»

AC边上的高为2加，所以BE二4在.

VAABC^AEFB,

・・・里里，即

EFBEEF4加

EF=8.

故选B.

【点评】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股

定理和相似三角形的性质求得解.

4.如图，四边形ABCD中，ZC=50°,ZB=ZD=90°,E、F分别是BC、

DC上的点，当AAEF的周长最小时，NEAF的度数为（）

BE

A.50°B.60°C.70°D.80°

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】压轴题.

【分析】据要使4AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在

同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A',卜"，即可得出NAA'E+

NA"二NHAA'=50°,进而得出NAEF+NAFE=2(NAA'E+NA"),即可

得出答案.

【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A「A",连接A，A”，交BC

于E,交CD于F,则A'A〃即为4AEF的周长最小值.作DA延长线AH,

VZC=50°,

ZDAB=130°,

AZHAA7=50°,

:./kA'E+NA"=NHAA'=50°,

VZEA7A=NEAA'NFAD=NA〃,

・・・NEAA'+NA"AF=50°,

AZEAF=130°-50°=80°，

故选：D.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问

题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得

出E,F的位置是解题关键.

5.如图，点P是NA0B内任意一点，OP=5cm,点M和点N分别是射线OA

和射线0B上的动点，△PMN周长的最小值是5cm,则NA0B的度数是()

A.25°B.30°C.35°D.40°

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】压轴题.

【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、

OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,由对称的性质得出PM=CM,OP=OC,

ZCOA=ZPOA；PN=DN,OP=OD,ZD0B=ZP0B,得出NAOB=」NCOD,证出

2

△OCD是等边三角形，得出NCOD=60°,即可得出结果.

【解答】解：分别作点P关于OA、0B的对称点C、D,连接CD,

分别交OA、0B于点M、N,连接0C、0D、PM、PN、MN,如图所示：

,/点P关于0A的对称点为D,关于0B的对称点为C,

r.PM=DM,OP=OD,ZDOA=ZPOA；

丁点P关于OB的对称点为C,

・・・PN=CN,OP=OC,ZC0B=ZP0B,

AOC=OP=OD,ZAOB=1ZCOD,

2

VAPMN周长的最小值是5cm,

APM+PN+MN=5,

JDM+CN+MN=5,

即CD二5=OP,

A0C=0D=CD,

即AOCD是等边三角形，

AZC0D=60°,

AZA0B=30°；

【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与

性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关

键.

6.如图，直线1外不重合的两点A、B,在直线1上求作一点C,使得AC+BC

的长度最短，作法为：①作点B关于直线1的对称点二；②连接AB'与

直线1相交于点C,则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到

的知识或方法是（）

A.转化思想

B.三角形的两边之和大于第三边

C.两点之间，线段最短

D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角

【考点】轴对称-最短路线问题.

【分析】利用两点之间线段最短分析并验证即可即可.

【解答】解：•・,点B和点B'关于直线1对称，且点C在1上，

ACB=CB/,

又・・,AB'交1与C,且两条直线相交只有一个交点，

ACB,+CA最短，

即CA+CB的值最小，

将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了

转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边.

故选D.

【点评】此题主要考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题,

一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况

要作点关于某直线的对称点.

7.如图，正方形ABCD的面积为12,Z\ABE是等边三角形，点E在正方形

ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE最小，则这个最小值为（）

A.V3B.273C.2V6D.氓

【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质.

【分析】由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点.此

时PD+PE二BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB,由正方形ABCD的面

积为12,可求出AB的长，从而得出结果.

【解答】解：由题意，可得BE与AC交于点P.

・・•点B与D关于AC对称，

APD=PB,

PD+PE=PB+PE=BE最小.

・・,正方形ABCD的面积为12,

・・・AB=2在.

又•「△ABE是等边三角形，

ABE=AB=2V3.

故所求最小值为2

故选B.

【点评】此题考查了轴对称--最短路线问题，正方形的性质，等边三角

形的性质，找到点P的位置是解决问题的关键.

8.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6,BO8,D是AB上的动点，E

是BC上的动点，则AE+DE的最小值为（）

A.3+2V13B.10C.&D.更

55

【考点】轴对称-最短路线问题.

【分析】作点A关于BC的对称点Z,过点A'作A'D_LAB交BC、AB

分别于点E、D,根据轴对称确定最短路线问题，A'D的长度即为AE+DE

的最小值，利用勾股定理列式求出AB,再利用NABC的正弦列式计算即可

得解.

【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A',过点A'作A，D，AB

交BC、交分别于点E、D,

则A'D的长度即为AE+DE的最小值,AA'=2AC=2X6=12,

・.,NACR=90°,RC=8,AC=6,

AB=VBC^AC^VS2+62=1°，

1.sinNBAC二里坛2

AB105

:.A'D=AA'*sinZBAC=12X48,

55

即AE+DE的最小值是手.

5

故选D.

【点评】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，主要利用了勾股定理,

垂线段最短，锐角三角函数的定义，难点在于确定出点D、E的位置.

9.永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向上，如瑶族长鼓舞，东

安武术，宁远举重等，下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来

的，其中是轴对称图形的是（）

A.B.C.D.

【考点】利用轴对称设计图案.

【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部

分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，即可作出判断.

【解答】解：轴对称图形的只有C.

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称图形的定义，解答此题要明确：如果一个图形

沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称

图形，对称轴是折痕所在的这条直线叫做对称轴.

10.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个

直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是

【分析】严格按照图的示意对折，裁剪后得到的是直角三角形，虚线①为

矩形的对称轴，依据对称轴的性质虚线①平分矩形的长，即可得到沿虚线

②裁下的直角三角形的短直角边为10+2-4=1,虚线②为斜边，据勾股

定理可得虚线②为亚，据等腰三角形底边的高平分底边的性质可以得到,

展开后的等腰三角形的底边为2,故得到等腰三角形的周长.

【解答】解：根据题意，三角形的底边为2(10+2-4)=2,腰的平方为

32+12=10,

因此等腰三角形的腰为限，

因此等腰三角形的周长为：2+2标.

答：展开后等腰三角形的周长为2+2限.

故选D.

【点评】本题主要考查了剪纸问题以及考查学生的动手能力和对相关性质

的运用能力，只要亲自动手操作，答案就会很容易得出来.

11.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一

个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()

B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°

【考点】剪纸问题.

【分析】折痕为AC与BD,ZBAD=120°,根据菱形的性质：菱形的对角

线平分对角，可得NABD=30°,易得NBAC=60°,所以剪口与折痕所成的

角a的度数应为30°或60°.

【解答】解：・.•四边形ABCD是菱形，

AZABD=1ZABC,ZBAC=1ZBAD,AD〃BC,

22

VZBAD=120°,

/.ZABC=180°-ZBAD=180°-120°=60°，

AZARD=30°,ZBAC=60°

・・・剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或600♦

故选D.

【点评】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的

性质：菱形的对角线平分每一组对角.

12.将♦张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③

中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）

【考点】剪纸问题.

【分析】按照题意要求，动手操作一下，可得到正确的答案.

【解答】解：由题意要求知，展开铺平后的图形是B.

故选：B.

【点评】此题主要考查了剪纸问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪

看看，可以培养空间想象能力.

13.如图，AB是。。的直径，AB=8,点M在。0上，ZMAB=20°,、是弧

MB的中点，P是直径AB上的一动点.若MN=1,则△PMN周长的最小值为

【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理.

【专题】压轴题.

【分析】作N关于AB的对称点N',连接MN',NN',ON',ON,由两

点之间线段最短可知MN'与AB的交点P，艮】为△PMN周长的最小时的点，

根据N是弧MB的中点可知NA=NN0B=NM0N二20°,故可得出NM0N'=60°,

故△%[()2为等边三角形，由此可得出结论.

【解答】解：作N关于AB的对称点N',连接MW,NN「ON',ON.

・・・N关于AB的对称点N',

・・・MN'与AB的交点P'即为aPNlN周长的最小时的点，

TN是弧MB的中点,

・・・NA=NNOB=NMON=20°,

・・・NMON'=60°,

为等边三角形，

AMN7=0M=4,

・・・APMN周长的最小值为4+1=5.

故选：B.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题,

一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况

要作点关于某直线的对称点.

14.将一张正方形纸片按如图1,图2所示的方向对折，然后沿图3中的

虚线剪裁得到图4,将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（）

图1图2图3图4

【考点】剪纸问题.

【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现.

【解答】解：严格按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上

角，展开得到结论.

故选：B.

【点评】本题考查的是剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空

间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地

呈现.

15.如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB,再以AB的中点0为

顶点，把平角NAOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪

出一个以0为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后

得到的平面图形一定是（）

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

【考点】剪纸问题.

【专题】操作型.

【分析】先求出N0=60°,再根据直角三角形两锐角互余沿折痕展开依次

进行判断即可得解.

【解答】解：,・•平角NAOB三等分,

/.Z0=60°,

V90°-60°=30°,

再沿另一折痕展开得到有一个角是30°的直角三角形，

最后沿折痕AB展开得到等边三角形，

即正三角形.

故选：A.

【点评】本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会

更简便.

16.如图，将•张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成•个底

面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（）

A.9B.9-3^3C.9-沼D.9-泳

【考点】剪纸问题；展开图折叠成几何体，；等边三角形的性质.

【专题】压轴题；操作型.

【分析】这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为3,宽为3,减去

两个三角形的高，再用长方形的面积公式计算即可解答.

【解答】解：・・,将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一

个底面是正三角形的棱柱，

・・・这个正三角形的底面边长为1,高为H2考,

，侧面积为长为3,宽为3-立的长方形，面积为9-3立.

故选：B.

【点评】此题主要考查了剪纸问题的实际应用，动手操作拼出图形，并能

正确进行计算是解答本题的关键.

17.下列选项中有一张纸片会与如图紧密拼凑成正方形纸片，且正方形上

的黑色区域会形成一个轴对称图形，则此纸片为何？（）

【考点】利用轴对称设计图案.

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折，直线

两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形可得答案.

【解答】解：如图所示:

故选：A.

【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的

概念.

二、填空题（共11小题）

18.如图，在四边形纸片ABCD中,AB=BC,AD=CD,ZA=ZC=90°,Z

B=150°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发

的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为

2的平行四边形，则CD=2+5或4+2⑦.

【考点】剪纸问题.

【专题】压轴题.

【分析】根据题意结合裁剪的方法得出符合题意的图形有两个，分别利用

菱形的判定与性质以及勾股定理得出CD的长.

【解答】解：如图1所示：作AE〃BC,延长AE交CD于点N,过点B作

BTJ_EC于点T,

当四边形ABCE为平行四边形，

VAR=RC,

・・・四边形ABCE是菱形，

VZA=ZC=90°,ZB=150°,BC〃AN,

AZADC=30°,/BAN=NBCE=30°,

则NNAD=60°,

/.ZAND=90°,

・・•四边形ABCE面积为.2,

・••设BT=x,则BC=EC=2x,

故2xXx=2,

解得：x=l（负数舍去），

则AE二EC二2,EN二正一产道,

故AN=2+&,

则AD=DC=4+2V3;

如图2,当四边形BE3F是平行四边形，

VBE=BF,

・•・平行四边形BEDF是菱形，

VZA=ZC=90°，ZB=150°,

AZADB=ZBDC=15°,

〈BE=DE,

AZAEB=30°，

・,・设AB=y,则BE=2y,AE二在y,

・・•四边形REDF面积为2,

AABXDE=2y2=2,

解得:y=l,故AE二代,DE=2,

则AD=2+少,

综上所述：CD的值为：2+在或4+2正.

故答案为：2+表或4+2正.

【点评】此题主要考查了剪纸问题以及勾股定理和平行四边形的性质等知

识，根据题意画出正确图形是解题关键.

19.如图，已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1,点P,Q

分别是边BC,CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最

小值时，四边形AFPQ的面积是一3.

【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点『，再确

定点A关于DC的对称点V,连接A'E'即可得出P,Q的位置；再根据

相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积.

作E关于BC的对称点E',点A关于DC的对称点A',连接A'E',四

边形AEPQ的周长最小，

TAD=A'D二3,BE=BE'=1,

・・・AA'=6,AE'=4.

・・・DQ〃AE',D是AA'的中点，

是AAA'Ez的中位线,

ADQ=1AE,=2；CQ=DC-CQ=3-2=1,

2

•・・BP〃AA',

.♦.△BE'PsaAE'A',

・・.3L=里即骋LBP二旦CP=BC-BP=3-J,

AA，AE'64222

S四边形AEPQ=S正方形RBCD-S.ADQ-SAI>CQ-SBEI-9-1AD*DQ-ICQ•CP-工BE•BP

222

=9-1X3X2-1X1XJ-』X1X圭2

222222

故答案为：旦

2

【点评】本题考查了轴对称，利用轴对称确定A，、Ez,连接ZE，得

出P、Q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分

割法是求面积的重要方法.

20.如图，NA0B=30。，点M、N分别在边0A、0B上，且OM=1,0\=3,

点P、Q分别在边OB、0A上，则MP+PQ+QN的最小值是_限_.

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】压轴题.

【分析】作M关于0B的对称点M',作N关于0A的对称点N',连接M；N',

即为MP+PQ+QN的最小值.

【解答】解：作M关于0B的对称点理，作N关于0A的对称点M,

连接M'N',即为MP+PQ+QN的最小值.

根据轴对称的定义可知：NN'0Q二NM'0B=30°,NONN'=60°,

•••△0NN'为等边三角形，△0MM'为等边三角形，

・・・NN'0Mz=90°,

・••在RtZWON'中，

N，=^32+IVTo-

故答案为限.

【点评】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找

到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键.

21.如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一

点，则BE+DE的最小值为_有_.

,7

【分析】作B关于AC的对称点B,，连接BB'、B'D,交AC于E,此时

BE+ED=B'E+ED=B'D,根据两点之间线段最短可知B'D就是BE+ED的最

小值，故E即为所求的点.

【解答】解：作B关于AC的对称点B',连接BB'、BzD,交AC于E,

此时BE+ED=B'E+ED=B'D,根据两点之间线段最短可知B'D就是BE+ED

的最小值，

VB.B'关于AC的对称,

・・・AC、BB'互相垂直平分,

・・・四边形ABCB'是平行四边形，

;三角形ABC是边长为2,

YD为BC的中点，

AAD1BC,

.二AD二道，BD=CD=1,BB'=2AD=2立，

作B'GLBC的延长线于G,

・・・B'G二AD二道,

在RtaB，BG中，

BG=JBB，2-B'G2^/（姐）2-（我）之3,

ADG=BG-BD=3-1=2,

在RtZXB'DG中，BD=7DG2+B，G2=^22+(^)2=VY.

故BE+ED的最小值为机.

故答案为：v?.

【点评】本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、

等边三角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中.

22.在每个小正方形的边长为1的网格中.点A,B,D均在格点上，点E、

F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF.

(I)如图①，当BE号寸，计算AE+AF的值等于_巨件—

(II)当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直

尺，画出线段AE,AF,并简要说明点E和点F的位置如何找到的(不要

求证明)取格点H,K,连接KI,CK,相交于点P,连接AP,与BC相

交，得点E,取格点M,N连接DM,CN,相交于点G,连接AG,与BD相交，

得点F,线段AE,AF即为所求.

图①

【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理.

【专题】作图题；压轴题.

【分析】（1）根据勾股定理得出DB=5,进而得出AF=2.5,由勾股定理得

出AEM2+2.52二国，再解答即可；

2

（2）首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边

可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选

择格点H使NHBONADB,其次需要构造长度BP使BP=AD=4,根据勾股定

理可知BH工疹币=5,结合相似三角形选出格点K,根据费嗡三，得BP二

2BH二9乂5二4二DA,易证△ADFgAPBE,因此可得到PE二AF,线段AP即为所

55

求的AE+AF的最小值；同理可确定F点，因为因此首先确定格

点M使DMJLDB,其次确定格点G使DG=AB=3,此时需要先确定格点N,同

样根据相似二角形性质得到咽1二，得DG=WDM=2X5=3,易证△DFGW

DCDG355

BEA,因此可得到AE二GF,故线段AG即为所求的AE+AF的最小值.

【解答】解：（1）根据勾股定理可得：DB=正^二5，

因为BE二DF二2

2

所以可得AF二工B「2.5,

2

根据勾股定理可得•：AE二库厂”二逗，所以八£十八1?=2.5+逗用电，

222

故答案为：邑国；

2

H使NHBONADB,其次需要构造长度BP使BP=AD=4,根据勾股定理可知

BH工序7加5,结合相似三角形选出格点K,根据坦坦工得BP=当H=9x5

BCBP455

=4=DA,易证AADF义Z\PBE,因此可得到PE=AF,线段AP即为所求的AE+AF

的最小值；同理可确定F点，因为ABJ_BC,因此首先确定格点M使DMJL

DB,其次确定格点G使DG=AB=3,此时需要先确定格点N,同样根据相似

三角形性质得到则4二，得DG=vDM=2X5=3,易证△DFGMBEA,因此可

DCDG355

得到AE二GF,故线段AG即为所求的AE+AF的最小值.

故答案为：取格点H,K,连接BH,CK,相交于点P,连接AP,与BC相交，

得点E,取格点M,N连接DM,CN,相交于点G,连接AG,与BD相交，得

点F,线段AE,AF即为所求.

【点评】此题考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质进行分析解答.

23.如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，BE=1,F为AB上一

点，AF=2,P为AC上一点，贝ijPF+PE的最小值为_旧_.

【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质.

【专题】压轴题.

【分析】作E关于直线AC的对称点可，连接丁F,则可F即为所求,

过F作FGJ_CD于G,在RtZiE'FG中，利用勾股定理即可求出E'F的长.

【解答】解：作E关于直线AC的对称点E，,连接E,F,则E'F即为所

过F作FG_LCD于G,

在RtZ^E，FG中，

GE'=CD-BE-BF=4-1-2=1,GF=4,

所以E/F二G2=712+42=A/T7*

故答案为：V17.

【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题

的关键.

24.如图，ZA0B=30°,点M、N分别是射线OA、0B上的动点,0P平分

ZAOB,且0P=6,当4PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为36

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】压轴题.

【分析】设点P关于0A的对称点为C,关于0B的对称点为D,当点M、N

在CD上时，△PMN的周长最小，此时△«)口是等边三角形，求得三角形

PMN和的面积，根据四边形PMON的面积为：1(SACOD+SAPUS)求得

2

即可.

【解答】解：分别作点P关于OA、0B的对称点C、D,连接CD,分别交

OA、0B于点M、N,连接OC、OD、PC、PD.

丁点P关于0A的对称点为C,关于0B的对称点为D,

Z.PM=CM,OP=OC,ZC0A=ZP0A；

・••点P关于OB的对称点为D,

/.PN=DN,OP=OD,ZD0R=ZP0R,

.\0C=0D=0P=6,ZCOD=ZCOA+ZPOA+ZPOB+ZDOB=2ZPOA+2ZP()B=2Z

A0B=60°,

:•△COD是等边三角形，

/.CD=0C=0D=6.

INPOONPOD,

AOP±CD,

,・.OQ=6X®3V5,

2

・・・PQ=6-3元,

设MQ==3-x，

・•・(3-x)2-NXPQ=MQ・PQ=(6V3-9)•(6-3正)=63正-108,

VSD=^X373X6=973,SACOM=SAI>OM，SADON=SAPON，

AC02

・•・四边形PMON的面积为:1(SACOD+SAPMN)(7273-108)=3673-54.

22

故答案为36«-54.

c

【点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，熟知两点之间线段最短

是解答此题的关键.

25.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，

再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图

【考点】利用轴对称设计图案.

【专题】几何图形问题.

【分析】根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两

旁的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两

组对边的垂直平分线，得出结果.

【解答】解：在1,2,3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，

故涂法有3种，

故答案为：3.

【点评】考查了利用轴对称设计图案，此题要首先找到大正方形的电称轴,

然后根据对称轴，进一步确定可以涂黑的正方形.

26.在。0中，AB是的直径，AB=8cm,AC=CD=BD，M是AB上一动点,

CM+DM的最小值是8cm.

【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理.

【分析】作点C关于AB的对称点C',连接C'D与AB相交于点M,根据

轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定

理可得/F，然后求出C,D为直径，从而得解.

【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点C',连接C,D与AB相交

于点M,

此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，

由垂径定理，AC二F，

vAC=CD=BD，AB为直径,

・・・C'D为直径，

Z.CM+DM的最小值是8cm.

故答案为：8.

【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作

出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键.

27.如图，正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点，点P在对角线

BD上移动，则PE+PC的最小值是

【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质.

【专题】计算题.

【分析】要求PE+PC的最小值，PE,PC不能直接求，可考虑通过作辅助

线转化PE,PC的值，从而找出其最小值求解.

・・•点C关于BD的对称点为点A,

・・・PE+PC=PE+AP,

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值,

・・,正方形ABCD的边长为2,E是BC边的中点，

・・・BE=1,

JAE=J/+2广加,

【点评】此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合

应用.根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解

题关键.

28.如图，菱形ABCD的边长为2,ZDAB=60°,E为BC的中点，在对角

线AC上存在一点P,使4PBE的周