江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第6章空间向量与立体几何6.1空间向量及其运算6.1.3共面向量定理分层作业苏教版选择性必修第二册

6.1.3共面对量定理基础达标练1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面对量D.不共面对量2.下列说法错误的是()A.若a,b是两个空间向量,则a,b肯定共面B.若a,b是两个空间向量,则a·b=b·aC.若a,b,c是三个空间向量,则a,b,c肯定不共面D.若a,b,c是三个空间向量,则a·(b+c)=a·b+a·c3.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6=+2+3,则肯定有()A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面4.已知P为三棱锥O-ABC的底面ABC所在平面内的一点,且=+m-n(m,n∈R),则m,n的值可能为()A.m=1,n=-B.m=,n=1C.m=-,n=-1D.m=-,n=-15.(多选题)下列命题正确的是()A.若a,b是两个单位向量,则|a|=|b|B.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同C.若a,b,c为随意向量,则(a+b)+c=a+(b+c)D.空间随意两个非零向量都可以平移到同一个平面内6.已知,,不共面,且A,B,C,D四点共面,=2x+3y+4z,则2x+3y+4z=.

7.如图,在底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点.求证:AB1∥平面C1BD.实力提升练8.已知M,A,B,C四点共面,并且对空间内不在平面ABC内的一点O,有=x++,则实数x的值为()A.1 B.0 C.3 D.9.已知非零向量e1,e2不共线,若=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,则A,B,C,D四点()A.肯定共线B.恰是空间四边形的四个顶点C.肯定共面D.肯定不共面10.若平面α内有五点A,B,C,D,E,其中随意三点不共线,O为空间内且不在平面α内的任一点,满意=+x+y,=2x++y,则x+3y等于()A. B. C. D.11.(多选题)下列命题是真命题的是()A.向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面B.若p=xa+yb(x,y∈R),则向量p与向量a,b共面C.若向量p与向量a,b共面,则向量p可以由两个向量a,b线性表示D.若E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则E,F,G,H四点共面12.(多选题)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外一点O,给出下列条件,其中点P肯定与点A,B,C共面的是()A.=++B.=++C.=2-2-D.=-2+2-13.若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系为.

14.已知i,j,k是不共面对量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ=.

15.如图,在四面体ABCD中,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.拓展探究练16.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满意=(++).(1)推断,,三个向量是否共面;(2)推断点M是否在平面ABC内.17.已知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引向量=k,=k,=k,=k,k∈R且k≠0.求证:(1)点E,F,G,H共面;(2)AB∥平面EFGH.6.1.3共面对量定理1.C如图所示,向量,,明显不是有相同起点的向量,A不正确.由该平行六面体不肯定是正方体可知,这三个向量不肯定是等长的向量,B不正确.又因为-==,所以,,共面,C正确,D不正确.故选C.2.CA:因为向量可以平移,所以若a,b是两个空间向量,则a,b肯定共面,正确.B:因为向量的数量积满意交换律,所以若a,b是两个空间向量,则a·b=b·a,正确.C:若a,b,c是三个空间向量,则a,b,c可能共面,可能不共面,故C错误.D:因为向量的数量积满意乘法对加法的安排律,所以若a,b,c是三个空间向量,则a·(b+c)=a·b+a·c,正确.故选C.3.B由6=+2+3,得-=2(-)+3(-),即=2+3,所以,,共面且有公共起点P.所以P,A,B,C四点共面.故选B.4.C∵=+m-n(m,n∈R),且P,A,B,C四点共面,∴+m-n=1⇒m-n=,只有m=-,n=-1符合,故选C.5.ACD由单位向量的定义知|a|=|b|=1,所以A正确;因为相等向量不肯定有相同的起点和终点,所以B错误;由向量的加法运算定律知C正确;在空间确定一点后,可将两向量的起点移至该点,两向量所在直线确定一个平面,这两个非零向量就共同在这个平面内,所以D正确.故选ACD.6.-1=2x+3y+4z=-2x-3y-4z.由四点共面知-2x-3y-4z=1,即2x+3y+4z=-1.7.证明记=a,=b,=c,则=a+c,=-=a-b,=+=b+c,所以+=a+c=.又与不共线,所以,,共面.因为AB1不在平面C1BD内,所以AB1∥平面C1BD.8.D∵=x++,且M,A,B,C四点共面,∴x++=1,∴x=.9.C设=x+y=(2x+3y)e1+(8x-3y)e2=e1+e2,x,y∈R,则解得即=+,所以A,B,C,D四点肯定共面.10.B由点A,B,C,D共面,得x+y=.①又由点B,C,D,E共面,得2x+y=.②联立①②,解得x=,y=,所以x+3y=.11.BD由共面对量的定义可知A错误,B正确;对于C,若向量a,b共线,则C错误;对于D,因为E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,所以==,所以=+=+,所以E,F,G,H四点共面,故D正确.故选BD.12.AB对于A,=++=+(+)+(+)=++,即=++,则=+,所以点P与点A,B,C四点共面,故A正确;对于B,原式可化为5=+2+2,所以(-)=2(-)+2(-),所以=2+2,即=-2-2,所以,,共面且具有公共起点P,所以点P与点A,B,C共面,故B正确;对于C,=2-2-=2-2(+)-(+)=-2--2,即=-2--,而不能由和表示,所以不能把化为=+x+y的形式,所以P,A,B,C四点不共面,故C错误;同理可得D错误.故选AB.13.AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE由=λ+μ(λ,μ∈R)及共面对量定理,可知向量与向量,共面,即直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.故答案为AB⊂平面CDE或AB∥平面CDE.14.∵a,b,c三个向量共面,∴存在实数m,n,使得c=ma+nb,即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).∴∴λ=.15.证明由图形易得=++=++=(+)+++=(++)+++=(+)+=+.因为与不共线,所以依据共面对量定理,可知,,共面.又因为PQ⊄平面BCD,所以PQ∥平面BCD.16.解(1)由题意知++=3,∴-=-+-,即=+=--,∴,,共面.(2)由(1)知,,,共面且基线过同一点M,∴M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内.