江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第6章空间向量与立体几何6.2空间向量的坐标表示6.2.2第2课时空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式分层作业苏教版选择性必修第二册

第2课时空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式基础达标练1.若向量a=(4,2,-4),b=(6,-3,2),则(2a-3b)·(a+2b)等于()A.-212 B.-106 C.106 D.2122.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为(1,2,2),(2,-2,1),则||等于()A.18 B.12 C.2 D.33.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b相互垂直,则k的值是()A.1 B. C. D.4.已知a+b=(2,,2),a-b=(0,,0),则cos<a,b>等于()A. B. C. D.5.(多选题)已知向量a=(1,1,-1),b=(2,-1,0),c=(0,1,-2),则下列结论正确的是()A.a·(b+c)=4B.(a-b)·(b-c)=-8C.记a与b-c的夹角为θ,则cosθ=D.若(a+λb)⊥c,则λ=36.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为.

7.已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),且a∥b,b⊥c.(1)求向量a,b,c;(2)求向量a+c与向量b+c所成角的余弦值.实力提升练8.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量与a成60°夹角的是()A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)9.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ>0,则λ等于()A.5 B.4C.3 D.210.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为()A.30° B.60°C.120° D.150°11.已知O为坐标原点,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,点Q的坐标为()A. B.C. D.12.(多选题)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为B1C1的中点,则下列说法正确的是()A.直线AB1与直线BC1成60°角B.若=,平面A1MN交CD于点E,则CE=C.点P在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MP⊥DB1,则点P的轨迹长等于D.E,F分别在线段DB1,A1C1上,且==2,直线EF与AD1,A1D所成的角分别是α,β,则α+β=13.若a=(x,2,-4),b=(-1,y,3),c=(1,-2,z),且a,b,c两两垂直,则x=,y=,z=.

14.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为.

15.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),+λ与的夹角为120°,求λ的值.拓展探究练16.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.(1)求BP的长;(2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值.17.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.(1)求BM,BN的长;(2)求△BMN的面积.第2课时空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式1.A(2a-3b)·(a+2b)=(-10,13,-14)·(16,-4,0)=-10×16+13×(-4)=-212.2.D||==3,故选D.3.D因为(ka+b)·(2a-b)=0,所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,因为|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,所以4k+k-2-5=0,解得k=.4.C由已知得a=(1,,),b=(1,0,),故cos<a,b>===.5.ABD由题意得a·(b+c)=(1,1,-1)·(2,0,-2)=2+0+2=4.(a-b)·(b-c)=(-1,2,-1)·(2,-2,2)=-2-4-2=-8.cosθ===-.因为(a+λb)⊥c,所以(a+λb)·c=0,即(1+2λ,1-λ,-1)·(0,1,-2)=0,得1-λ+2=0,解得λ=3.综上可知,选项ABD正确.6.∵=(0,3,3),=(-1,1,0),∴||=3,||=,·=0×(-1)+3×1+3×0=3,∴cos<,>==.又∵<,>∈[0,π],∴<,>=.7.解(1)因为a∥b,所以==,且y≠0,解得x=2,y=-4,此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又由b⊥c,得b·c=0,故(-2,-4,-1)·(3,-2,z)=-6+8-z=0,得z=2,此时c=(3,-2,2).(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),因此向量a+c与向量b+c所成角θ的余弦值为cosθ===-.8.B设b=(x,y,z)与a成60°夹角,则cos60°==,代入选项检验得b=(1,-1,0)满意.9.Cλa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ),由已知得|λa+b|==,且λ>0,解得λ=3.10.Ca+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)·c=-a·c=7,得a·c=-7,而|a|==,所以cos<a,c>==-,所以<a,c>=120°.11.C设=λ,则=-=-λ=(1-λ,2-λ,3-2λ),=-=-λ=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以·=(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=2.当λ=时,·取得最小值,此时点Q的坐标为.12.ACD如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).对于A,=(0,2,-2),=(-2,0,-2),|cos<,>|===,∴直线AB1与直线BC1成60°角,故A正确;对于B,∵=,∴N0,2,,设E(0,m,2),则=(-1,2,0),=-2,2,,=(-2,m,2),由已知得A1,M,N,E四点共面,∴存在λ,μ∈R,使得=λ+μ,得解得∴E0,,2,∴=0,-,0,||=,故B错误;对于C,设P(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),则=(1,y-2,z),=(2,2,-2),由MP⊥DB1,得·=2+2y-4-2z=0,则y-z=1,∴点P的轨迹长为线段y-z=1(0≤y≤2,0≤z≤2)的长度,为,故C正确;对于D,∵E,F分别在线段DB1,A1C1上,且==2,∴==×(2,2,-2)=,,-,==×(-2,2,0)=-,,0,则E,,,F,,0,则=-,0,-,则cosα=|cos<,>|===1,故α=0,cosβ=|cos<,>|==0,故β=,故α+β=,故D正确.故选ACD.13.-64-26-17∵a⊥b,a⊥c,b⊥c,∴即解得14.∵=(0,3,3),=(-1,1,0),∴||=3,||=,·=0×(-1)+3×1+3×0=3,∴cos<,>==.又∵<,>∈[0,π],∴<,>=.15.解∵=(1,0,0),=(0,-1,1),∴+λ=(1,-λ,λ),∴(+λ)·=λ+λ=2λ,|+λ|==,||=,∴cos120°==-,∴λ2=.又<0,∴λ=-.16.解(1)如图,建立空间直角坐标系.∵∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).由PD⊥平面ABCD,得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角,∴∠PAD=60°.在Rt△PAD中,由AD=2,得PD=2.∴P(0,0,2).∴BP==4.(2)由(1)得=(2,0,-2),=(-2,-3,0),∴cos<,>==-,∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为.17.解以C为