江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第6章空间向量与立体几何午练2空间向量的数量积苏教版选择性必修第二册

午练2空间向量的数量积1.已知a,b均为空间单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|等于()A. B. C. D.42.(2024合肥检测)已知空间向量a,b,c满意a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos<a,b>=()A. B. C.- D.3.如图,在正四面体P-ABC中,棱长为1,且D为棱AB的中点,则的值为()A.- B.-C.- D.4.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,则在向量上的投影向量为()A. B. C. D.5.(多选题)设a,b为空间中的随意两个非零向量,下列各式正确的有()A.a2=|a|2B.C.(a·b)2=a2·b2D.(a-b)2=a2-2a·b+b26.(多选题)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,体对角线AC1与BD1相交于点О,则()A.=1 B.C. D.=17.在正四面体ABCD中,|AB|=2,若=2,则=.

8.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量在上的投影向量等于.

9.(人A教材题)如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60°,∠BAA'=∠DAA'=45°.求:(1);(2)AC'的长(精确到0.1).10.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求证:CC1⊥BD;(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.午练2空间向量的数量积1.C|a+3b|===.故选C.2.D因为a+b+c=0,所以c=-a-b,则c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2,即4+2|a|·|b|cos<a,b>+9=16,从而12cos<a,b>=3,解得cos<a,b>=.故选D.3.D如图,因为D为棱AB的中点,所以=(+),·=(+)·=(·+·).由题意,知与的夹角为60°,与的夹角也为60°,||=||=||=1,所以·=·=1×1×cos60°=,故·=×=.故选D.4.B四棱锥P-ABCD如图所示,∵底面ABCD是矩形,∴BA⊥AD.又PD⊥底面ABCD,AD⊂底面ABCD,∴PD⊥AD.过向量的始点B作直线AD的垂线,垂足为A,过向量的终点P作直线AD的垂线,垂足为D,在向量上的投影向量为.∵底面ABCD是矩形,∴=.故选B.5.AD对于A,a2=a·a=|a|·|a|cos0=|a|2,故A正确;对于B,因为向量不能做除法运算,所以无意义,故B错误;对于C,(a·b)2=(|a|·|b|cos<a,b>)2=|a|2·|b|2·cos2<a,b>,故C错误;对于D,(a-b)2=(a-b)·(a-b)=a2-2a·b+b2,故D正确.故选AD.6.AC(方法一)·=·(+)==1,故A正确;·=·(++)==1,故B错误;·=·=,故C正确;·=·(+)=-=-1,故D错误.(方法二)·=·=||||·cos<,>=1××=1,故A正确;由正方体的性质可知,AC1=,·=||||cos<,>=||||·=1××=1,故B错误;·=·=,故C正确;·=·=1××=-1,故D错误.故选AC.7.6·=(2+)·=2·+·=2×2×2cos+2×2cos=6.故答案为6.8.∵PA⊥平面ABC,则PA⊥BC,·=(++)·=·+·+·=0+6×6×+62=54,∴向量在上的投影向量为·==.故答案为.9.解(1)·=||||cos<,>=5×3×cos60°=7.5.(2)||2=(++)2=||2+||2++2(·+·+·)=52+32+72+2(5×3×cos60°+5×7×cos45°+3×7×cos45°)=98+56,所以AC'≈13.3.10.解(1)证明:设∠C1CB=θ,=a,=b,=c,依题意知|a|=|b|,于是=-=a-b,∴·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|·cosθ=0,∴CC1⊥BD.(2)当=1时,能使A1C⊥平面C1BD.证明如下:若A1C⊥平面C1BD,则必有A1C⊥BD,A1C⊥DC1.连结AC(图略),易证得BD⊥平面A1AC,则有BD⊥A1C.令·=(+)·(-)=(a+b+c)·(a-c)=|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2=|a|2-|c|2+