江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第6章空间向量与立体几何午练9空间距离的计算苏教版选择性必修第二册

午练9空间距离的计算1.已知平面α的一个法向量为n=(3,4,0),点A(-1,1,1)在平面α内,则点P(1,2,3)到平面α的距离为()A. B.2 C.4 D.2.(2024苏州质检)已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,且点P(-2,1,4)到平面α的距离为,则x的值为()A.1 B.11 C.-1或-11 D.-213.已知直线l过点A(1,-1,-1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点P(1,1,1)到直线l的距离为()A.2 B. C. D.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.a B.a C.a D.a5.(多选题)下列说法错误的有()A.将空间中全部单位向量的起点移到同一点,则它们的终点构成一个圆B.直线l的一个方向向量是m=(2,1,-1),平面α的一个法向量是n=(1,1,3),则l∥αC.平面α经过A(1,0,-1),B(0,1,0),C(2,3,-1)三点,向量n=(u,2,t)是平面α的法向量,则u+t=-14D.平面α的一个法向量为n=(2,0,1),点A(-1,2,1)在α内,则点M(1,2,3)到平面α的距离为6.(多选题)(2024徐州月考)如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,SA=AB,O,P分别是AC,SC的中点,M是棱SD上的动点,则下列选项正确的有()A.OM⊥PAB.存在点M,使OM∥平面SBCC.存在点M,使直线OM与AB所成的角为30°D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值7.在四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,4),=(-4,1,0),=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h=.

8.(2024无锡月考)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为平面A1ABB1的中心,E为BC的中点,则点O到直线A1E的距离为.

9.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面A1DB与平面D1CB1的距离.10.(2024扬州测试)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,EA⊥平面ABCD,EA∥BF,AB=AE=2BF=2.(1)证明:平面EAC⊥平面EFC.(2)在棱EC上有一点M,使得平面MBD与平面BCF的夹角的余弦值为,求点M到平面BCF的距离.午练9空间距离的计算1.B由题意,得=(2,1,2),又平面α的一个法向量n=(3,4,0),所以点P到平面α的距离d===2.故选B.2.C=(x+2,2,-4),而d==,即=,解得x=-1或x=-11.故选C.3.B∵点P(1,1,1),直线l过点A(1,-1,-1),且直线l的一个方向向量为m=(1,0,-1),∴=(0,-2,-2),∴直线的一个单位方向向量m0==(1,0,-1),∴点P到直线l的距离d===.故选B.4.D由正方体的性质知,AB1∥DC1,D1B1∥DB,AB1∩D1B1=B1,DC1∩DB=D,易得平面AB1D1∥平面BDC1,则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),C(0,a,0),B1(a,a,a),D1(0,0,a),所以=(a,-a,a),=(0,-a,0),=(0,a,a),=(-a,-a,0).连接A1C,由·=(a,-a,a)·(0,a,a)=0,·=(a,-a,a)·(-a,-a,0)=0,且AB1∩B1D1=B1,可知A1C⊥平面AB1D1,则平面AB1D1的一个法向量为n=(1,-1,1),所以两平面间的距离d===a.故选D.5.ABD对于A,将空间中全部单位向量的起点移到同一点,它们的终点构成一个球面,A选项错误;对于B,因为m·n=2+1-3=0,所以l∥α或l⊂α,B选项错误;对于C,因为=(-1,1,1),=(1,3,0),所以n·=-u+2+t=0,n·=u+6=0,解得u=-6,t=-8,所以u+t=-14,C选项正确;对于D,因为=(-2,0,-2),所以cos<n,>===-,所以点M到平面α的距离d=|||cos<n,>|=2×=,D选项错误.故选ABD.6.ABD以A为坐标原点,AB,AD,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系(如图),设SA=AB=2,则A(0,0,0),C(2,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0),S(0,0,2),O(1,1,0),P(1,1,1),由M是棱SD上的动点,可设M(0,λ,2-λ)(0≤λ≤2).∵=(1,1,1),=(-1,λ-1,2-λ),∴·=-1+λ-1+2-λ=0,∴AP⊥OM,故A正确.当M为SD的中点时,OM是△SBD的中位线,∴OM∥SB,又OM⊄平面SBC,SB⊂平面SBC,∴OM∥平面SBC,故B正确.=(2,0,0),=(-1,λ-1,2-λ),若存在点M,使直线OM与AB所成的角为30°,则cos30°===,化简得3λ2-9λ+7=0,方程无解,故C错误.点M到平面ABCD的距离d1=2-λ,易知=(0,λ,2-λ),=(0,2,0)是平面SAB的一个法向量,故点M与平面SAB的距离d2===λ,∴点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为d1+d2=2-λ+λ=2,是定值,故D正确.故选ABD.7.在四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,4),=(-4,1,0),=(-6,2,-8).设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z).则可得不妨令x=1,则y=4,z=1,可得n=(1,4,1).则h=||·|cos<,n>|===.故答案为.8.如图,以D为原点建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),O(2,1,1),E(1,2,0),则=(0,1,-1),=(-1,2,-2),则cos<,>===.又<,>∈[0,π],所以sin<,>=,所以点O到直线A1E的距离为||·sin<,>=×=.故答案为.9.解建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C(0,1,0),则=(1,0,1),=(1,1,0),=(0,1,0).设平面A1DB的法向量为n=(x,y,z),则不妨令x=1,则y=-1,z=-1,所以n=(1,-1,-1),所以平面A1DB与平面D1CB1间的距离d===.10.(1)证明如图,取EC的中点G,连接BD,交AC于点N,连接GN,GF,因为ABCD是菱形,所以AC⊥BD,且N是AC的中点,所以GN∥AE且GN=AE.又AE∥BF,AE=2BF=2,所以GN∥BF且GN=BF,所以四边形BNGF是平行四边形,所以GF∥BN.又EA⊥平面ABCD,BN⊂平面ABCD,所以EA⊥BN.又因为AC⊥BN,AC∩EA=A,AC,EA⊂平面EAC,所以NB⊥平面EAC,所以GF⊥平面EAC.又GF⊂平面EFC,所以平面EFC⊥平面EAC.(2)解∵GN∥AE,EA⊥平面ABCD,∴GN⊥平面ABCD,且CN⊥BN,∴以N为原点,NC,NB,NG所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,则E(-1,0,2),B(0,,0),C(1,0,0),F(0,,1),A(-1,0,0),D(0,-,0).∵M在棱EC上,∴可设=λ=λ(-2,0,2),∴M(1-2λ,0,2λ),∴=(1-2λ,,2λ),=(0,2