江西省南昌市2025届高三数学上学期第一次考试理试题含解析

Page17江西省南昌市2024届高三数学上学期第一次考试（理）试题一、选择题（每小题5分，满分60分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题可得，再求即可.【详解】∵，所以.故选：B.2.复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据复数的运算法则即可得到结果【详解】所以虚部为故选：A3.若，且，则下列不等式肯定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对于ABD，举例推断，对于C，利用基本不等式推断.【详解】对于A，若，则满意，且，而，所以A错误，对于B，若，则满意，且，而，所以B错误，对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而，所以取不到等号，所以，所以C正确，对于D，若，则满意，且，而，所以D错误，故选：C4.若双曲线的两条渐近线与圆的交点等分圆周，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将双曲线渐近线方程与圆的方程联立可求得其在第一象限内的交点坐标，依据渐近线与圆的交点等分圆周可得渐近线斜率，由此可构造方程求得结果.【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，双曲线的渐近线与圆的交点等分圆周，双曲线渐近线斜率为，即，解得：.故选：C.5.2024年3月中旬，新冠肺炎疫情突袭南昌，南昌市统一指挥，多方携手、众志成城，构筑起抗击疫情的坚实堡垒．某小区有小王、小张等5位中学生主动参与社区志愿者，他们被分派到测温柔扫码两个小组，若小王和小张不同组，且他们所在的两个组都至少须要2名中学生志愿者，则不同的安排方案种数有（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】【分析】先安排其他3名中学生，再安排小王和小张即得.详解】先安排其他3名中学生有种方法，再安排小王和小张有种方法，由分步计数原理可得，不同的安排方案种数有.故选：C.6.已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A. B.0 C. D.1【答案】A【解析】【分析】由为偶函数，结合为奇函数，可得以4为周期的函数，从而依据已知的解析式可求出.【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，又为偶函数，故可得，则，故以4为周期，故．故选：A7.在绽开式中，下列说法错误的是（）A.常数项为 B.第项的系数最大C.第项的二项式系数最大 D.全部项的系数和为【答案】B【解析】【分析】由二项式定理可得绽开式通项；令即可求得常数项，知A正确；若系数最大，则需，由此可确定系数最大项，知B错误；由绽开式共有项可知C正确；令即可得到D正确.【详解】绽开式的通项为：；对于A，令，解得：，常数项为，A正确；对于B，由通项公式知：若要系数最大，全部可能的取值为，则，，，，绽开式第项的系数最大，B错误；对于C，绽开式共有项，则第项的二项式系数最大，C正确；对于D，令，则全部项的系数和为，D正确.故选：B.8.已知是的一个零点，是的一个零点，，则（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】利用导数探讨函数的单调性得仅有1个零点，且，结合函数的单调性与零点的存在性定理得，依据对数运算得，进而，再依据范围得大小.【详解】解：因为，，所以在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，因为，所以仅有1个零点，因为，所以，因为是增函数，且，，所以，因为，，所以，所以.故选：A．9.在正方体中，分别为，的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，建立空间直角坐标系，利用向量法推断垂直即可【详解】由题，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则有，，∴，∴，故选：A10.已知函数，微小值点为，若且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先对进行求导得微小值点，接着通过得，则，利用导数求其最小值即可【详解】解：由可得，令解得或0，因为，所以当或时，递增，当时，递减，故微小值点为，由可得=整理得因为解得，则，设，，令解得，当递减；当递增，故的微小值，也为最小值为，故选：B11.在平面直角坐标系中，为坐标原点，为平面上两点，且，为线段中点，其坐标为，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题可得以为直径的圆过点，由点到直线的距离公式可得圆与直线相切，进而可得圆的直径的最小值，即得.【详解】由题意，以为直径的圆过点，由，可得，则圆的半径与点到直线距离相等，所以圆与直线相切，则圆的直径的最小值为点到直线的距离，所以.故选：B.12.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，问题转化为，构造函数，通过导数，对的单调性进行探讨，进而可以得到，进而可求答案.【详解】令，则，问题转化为恒成立.令，则，因为，所以.令，则，所以在上单调递增，又，，所以存在，使得，即，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，，所以，所以，解得故选：C二、填空题（每小题5分，满分20分）13.已知向量，，则=_________．【答案】【解析】【分析】依据向量数量积的坐标运算公式和向量模的坐标运算公式进行计算即可.【详解】由题意得，.故答案为：.14.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_____．【答案】【解析】【分析】互为反函数的图象关于直线对称，所以两个阴影部分也关于直线对称.利用面积分割和定积分求出上部分阴影面积，再乘以2得到整个阴影面积.【详解】如图所示，连接，易得，，.【点睛】考查敏捷运用函数图象的对称性和定积分求解几何概型，对逻辑思维实力要求较高.本题在求阴影部分面积时，只能先求上方部分，下方部分中学阶段无法干脆求.15.已知正四棱锥底边边长为，，分别在上，且，则平面截四棱锥的外接球的截面面积是______．【答案】【解析】【分析】平面截四棱锥外接球的截面为圆，先求出外接球半径R，的边上的高，再求出外接球球心到平面的距离为，则可通过求出圆半径，即可求截面面积【详解】由题，正四棱锥中，为正方形中心，则平面，，，，外接球球心在PO上，外接球半径，由即，可解得，∵，∴，又AB中点为G，则，，∴，则的边上的高，，设外接球球心到平面的距离为，则有，∴，平面截四棱锥的外接球的截面为圆，则其半径，则截面面积为，故答案为：

16.已知，若方程恰有4个不同的实数解，，，，且，则___________.【答案】【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合方法判定易知，，关于直线对称，结合可知，进而求得.【详解】如图，易知，，关于直线对称，所以，又且，所以，所以，所以，从而.故答案为：三、解答题17.已知函数是偶函数．（1）求；（2）解不等式【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合偶函数性质以及对数运算法则即可解出；（2）结合对数运算法则，将原函数化成对数形式，则不等式等价为，求解即可【小问1详解】是偶函数，，即对随意恒成立，，．【小问2详解】∵，则不等式等价于，由解得；由得，得，即，综上，不等式的解为18.如图，四边形中，，且，沿着翻折，当三棱锥体积最大值时．（1）求此时三棱锥的体积；（2）求此时直线与平面夹角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意知当平面平面时，体积最大，取中点，依据已知可知为高，为底面，依据数量关系可求得；（2）由题意以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，代入公式即可求得.【小问1详解】解：沿折叠，当平面平面时，体积最大，由平面平面，平面平面，取中点，，，，，且平面，，且，，且平面，，；【小问2详解】沿BD折叠，取中点，由（1）得到，平面平面，，且，以为原点，以分别为轴，如图建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，，，，令，，又设直线与平面夹角为，，所以直线与平面夹角的正弦值为.19.某商场为吸引顾客，增加顾客流量，确定开展一项有奖嬉戏．参与一次嬉戏的规则如下：连续抛质地匀称的硬币三次（每次抛硬币结果相互独立），若正面朝上多于反面朝上的次数，则得分，否则得分．一位顾客可最多连续参与次嬉戏．（1）求顾客甲在一次嬉戏中正面朝上次数的分布列与期望；（2）若连续参与嬉戏获得的分数总和不小于分，即可获得一份大奖．顾客乙打算连续参与次嬉戏，则他获得这份大奖的概率多大？【答案】（1）分布列见解析，数学期望为（2）【解析】【分析】（1）依题意，依据二项分布的概率公式求出所对应的概率即可求出分布列，再由二项分布的期望公式求出数学期望；（2）设次嬉戏中，得分的次数为，即可求出的取值范围，再依据，利用二项分布的概率公式计算可得.【小问1详解】解：由题意得三次抛硬币正面朝上的次数，则，，，，所以分布列为0123则甲在一次嬉戏中硬币正面朝上次数的期望【小问2详解】解：由（1）知，在一次嬉戏中，顾客乙得3分和得1分的概率均为设次嬉戏中，得分的次数为，则，即，易知，故.20.设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于M，N两点，．（1）求C的方程；（2）设点，直线与C的另一个交点分别为A，B，当直线的斜率存在时，分别记为．则是否为常数，请说明理由．【答案】（1）；（2）是常数，理由见解析.【解析】【分析】（1）设直线，，求出，得当与x轴垂直时弦长最短，即得解；（2）设，直线，求出，，，，得，即得解.【小问1详解】解：设直线，，由可得，，所以，所以当，即与x轴垂直时弦长最短，此时，所以，所以抛物线C的方程为；【小问2详解】解：设，直线由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以，所以．21.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为（2）【解析】【分析】（1）用导数法求单调区间即可；（2）等价于，依据不等式的特征，结合导数法分别探讨、、时的恒成立问题即可【小问1详解】当时，，定义域为，，当；当.故单调增区间为，单调减区间为【小问2详解】等价于，令，，则，i.当时，对于不等式，∵，故不等式恒成立；ii.当时，，故，不等式恒成立；单调递减；单调递增，要使不等式成立，只需，解得，iii.当时，，，故，不等式恒成立；，单调递减；，单调递增，要使不等式成立，只需即，解得，综上，【点睛】本题考查含参不等式恒成立问题，解题关键是分别常量，构造函数探讨.本题中等价于，恒成立，故关键是对式子的分析，可看作二次函数，则通过作为依据对a分类探讨，最终结合导数法探讨各分类的恒成立状况即可.四、选做题22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．（1）写出一般方程；（2）点为曲线上随意一点，求点到曲线距离的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将参数方程中的参数消掉，并确定，即可得到一般方程；（2）将参数方程化为一般方程，可知为斜率为的直线，利用导数几何意义可求得曲线的斜率为的切线方程，则两条切线之间距离即为所求的距离的最小值.【小问1详解】由得：，又，曲线的一般方程为：