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Page8河北省唐山市2024届高三数学下学期3月一模试题留意事项:1、答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2、回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3、考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,,则()A. B. C. D.2.若复数满意,则的虚部是()A.i B.1 C. D.3.下表是足球世界杯连续八届的进球总数:年份19941998200220062010201420242024进球总数141171161147145171169172则进球总数的第40百分位数是()A.147 B.154 C.161 D.1654.将英文单词“rabbit”中的6个字母重新排列,其中字母b不相邻的排列方法共有()A.120种 B.240种 C.480种 D.960种5.()A. B. C. D.6.在四棱台中,底面是边长为4的正方形,其余各棱长均为2,设直线与直线的交点为,则四棱锥的外接球的体积为()A. B. C. D.7.已知点,圆,过点的直线与圆交于,两点,则的最大值为()A. B.12 C. D.8.已知函数是定义在上的奇函数,且的一个周期为2,则()A.1为的周期 B.的图象关于点对称C. D.的图象关于直线对称二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.函数,(,,)在一个周期内的图象如图所示,则()A. B. C. D.10.在棱长为4的正方体中,点,分别是棱,的中点,则()A. B.平面C.平面与平面相交 D.点到平面的距离为11.已知椭圆的左焦点为,为的上顶点,,是上两点.若,,构成以为公差的等差数列,则()A.的最大值是B.当时,C.当,在轴的同侧时,的最大值为D.当,在轴的异侧时(,与不重合),12.已知,函数,则()A.对随意,,存在唯一极值点B.对随意,,曲线过原点的切线有两条C.当时,存在零点D.当时,的最小值为1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知是等比数列的前项和,,,则______.14.某种食盐的袋装质量听从正态分布,随机抽取10000袋,则袋装质量在区间的约有______袋.(质量单位:g)附:若随机变量听从正态分布,则,,.15.已知,,且,则的最小值为______.16.已知抛物线的焦点为,经过的直线,与的对称轴不垂直,交于,两点,点在的准线上,若为等腰直角三角形,则______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列的前项和为,满意.(1)求;(2)令,证明:,.18.(12分)如图,在三棱柱中,侧面和侧面均为正方形,为棱的中点.(1)证明:平面平面;(2)若直线与平面所成角为30°,求平面与平面夹角的余弦值.19.(12分)如图,在平面四边形中,,,.(1)若,求的面积;(2)若,求.20.(12分)为弘扬体育精神,营造校内体育氛围,某校组织“青春杯”3V3篮球竞赛,甲、乙两队进入决赛.规定:先累计胜两场者为冠军,一场竞赛中犯规4次以上的球员在该场竞赛结束后,将不能参与后面场次的竞赛.在规则允许的状况下,甲队中球员都会参赛,他上场与不上场甲队一场竞赛获胜的概率分别为和,且每场竞赛中犯规4次以上的概率为.(1)求甲队其次场竞赛获胜的概率;(2)用表示竞赛结束时竞赛场数,求的期望;(3)已知球员在第一场竞赛中犯规4次以上,求甲队竞赛获胜的概率.21.(12分)已知双曲线过点,且与的两个顶点连线的斜率之和为4.(1)求的方程;(2)过点的直线与双曲线交于,两点(异于点).设直线与轴垂直且交直线于点,若线段的中点为,证明:直线的斜率为定值,并求该定值.22.(12分)已知,证明:(1);(2).唐山市2024届一般高等学校招生统一考试第一次模拟演练数学参考答案一.选择题:1~4.BDCB 5~8.AABC二.选择题:9.BD10.BCD11.ABC12.ABD三.填空题:13.14.818615.16.四.解答题:(若有其他解法,请参照给分)17.解:(1)由,得,…2分所以,…2分.…2分(2),当时,.…1分当时,,…2分故.…1分综上,,.18.解:(1)因为侧面、侧面均为正方形,所以,,,又,所以,平面,…1分又,所以,平面,又平面,所以.…2分由,为棱的中点,所以,,…1分又,因此,平面;…1分又平面,故平面平面.…1分(2)由(1)得是与侧面所成角,即,…1分不妨令,所以,又,所以,,所以,.…1分以为原点,以,,分别为轴,轴,轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系,由题意可得,,.所以,.…1分设是平面的法向量,则即取.…1分由题意知是平面的一个法向量,…1分则.所以,平面与平面的夹角的余弦值为.…1分19.解:(1)在中,由余弦定理可得.…2分,…2分所以.…2分(2)设,则,,在中,由正弦定理可得,…2分即,所以,.…2分于是,解得或(舍).所以,因此.…2分20.解:(1)设“第场甲队获胜”,“球员第场上场竞赛”,,2,3.由全概率公式…2分.…2分(2)的可能取值为2,3.,…1分,…2分.…1分(3),…1分…1分…1分.…1分21.解:(1)双曲线的两顶点为,所以,,即,…2分将代入的方程可得,,故的方程为.…2分(2)依题意,可设直线,,.与联立,整理得,…1分所以,,解得,且,,,…1分所以.…(*)…1分又,所以,的坐标为,…1分由可得,,从而可得的纵坐标,…1分将(*)式代入上式,得,即.…1分所以,,…1分将(*)式代入上式,得.…1分22.证明:(1)令,则,,…1分当时,,单调递减;当时,,单调递增,…1分所以,等号仅当时成立,即,…1分从
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