浙江专用2024-2025学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷专题05圆锥曲线的方程重点新人教A版

专题05圆锥曲线的方程（重点）一、单选题1．双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由双曲线方程可推断双曲线的焦点位置并同时求出，，由此可求其渐近线方程.【解析】由双曲线得，所以渐近线方程为，故选：B2．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】设点的坐标，由焦半径公式列出方程，求出点的横坐标，从而求出纵坐标，得到答案.【解析】由题意得，所以准线为，又因为，设点的坐标为，则有，解得：将代入解析式得：，所以M点到x轴的距离为．故选：D．3．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（

）A． B．椭圆的焦距为C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则【答案】C【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可推断作答.【解析】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误.故选：C4．已知双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点）､F（右焦点）的距离相等，则双曲线的离心率e的取值范围是（

）A． B． C．（1，2） D．【答案】D【分析】由题意只需线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点即可，可得，从而得出离心率的取值范围.【解析】双曲线的右焦点，若双曲线的右支上恰好有两点到O（坐标原点）､F（右焦点）的距离相等，则线段的垂直平分线与双曲线的右支有两个交点，所以，所以，所以双曲线的离心率e的取值范围是.故选：D5．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】依据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即可求出，再依据，即可得解；【解析】解：依据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即，又，所以，由，所以；故选：A6．已知实数x，y满意，其中常数，则动点的轨迹是（

）A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆【答案】C【分析】利用两点的距离公式、肯定值的几何意义以及抛物线的定义进行推断.【解析】因为表示动点到定点的距离与到定直线l：的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点的轨迹为抛物线．故A，B，D错误.故选：C.7．已知是双曲线的左右焦点，直线过与抛物线的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】依据直线的斜率列方程，求得，从而求得.【解析】已知双曲线的左焦点，双曲线的渐近线方程为，抛物线的焦点.因为直线过与抛物线的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，所以，又，解得：，所以.故选：C8．已知抛物线的焦点F、M是抛物线上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，若的外接圆D与抛物线的准线相切，则圆D与直线相交得到的弦长为（

）A． B．4 C． D．【答案】D【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求出圆与直线相交得到的弦长，得到答案.【解析】因为的外接圆与抛物线的准线相切，所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，又因为圆心在的垂直平分线上，，所以圆的半径为，圆心的横坐标为，所以圆心的纵坐标为，所以圆心到直线的距离，所以圆与直线相交得到的弦长为.故选：D.9．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（

）A．有最大值，为16 B．有最小值，为16C．有最大值，为4 D．有最小值，为4【答案】A【分析】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得有最大值，为16．【解析】由题意知，，则．由基本不等式，知，（当且仅当时等号成立），所以有最大值，为16．故选：A．10．双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由的周长为，结合双曲线的定义和对称性得到，，再由为的中点，得到为等边三角形求解.【解析】如图所示：由对称性可知，因为的周长为，所以，又，所以，．因为为的中点，所以，则为等边三角形，所以，，．又因为，所以在中，．所以，，即双曲线的渐近线方程为．故选：B11．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，的内切圆半径为A． B．2 C．1 D．【答案】A【分析】依据抛物线的性质可知从而当最小，即AP与抛物线相切时，的值最小．求出抛物线过A点的切线方程得出P点坐标，代入面积公式得出面积即可．【解析】解：抛物线的准线方程为．设P到准线的距离为，则．．当PA与抛物线相切时，最小，即取得最小值．设过A点的直线与抛物线相切，代入抛物线方程得，，解得．即，解得，把代入得．或．．所以，设的内切圆半径为r所以，所以．故选：A．12．已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出协助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围.【解析】如图，直线与直线相交于点N，由于PM是的平分线，且，即PM⊥，所以三角形是等腰三角形，所以，点M为中点，因为O为的中点，所以OM是三角形的中位线，所以，其中，因为P与的四个顶点不重合，设，则，则，所以，又，所以，∴的取值范围是.故选：D.二、多选题13．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则【答案】BC【分析】依据表示椭圆可求得或，推断A;表示双曲线可求得或，推断B;依据表示椭圆时焦点的位置可列出相应的不等式组，求得参数范围，推断C,D.【解析】当曲线C是椭圆时，解得或，故A错误；当曲线C是双曲线时，，解得或，故B正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得，故C正确；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故D错误．故选:BC．14．已知为坐标原点，为轴上的动点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，，若，则（

）A．B．C．当时，的纵坐标肯定大于D．不存在使得【答案】ABD【分析】依题意求出抛物线的焦点坐标，依据焦半径公式求出点横坐标，即可得到点坐标，从而求出，即可推断A，由点坐标得到直线的方程，即可求出点坐标，再一一推断即可.【解析】解：对于，易得，由可得，由焦半径公式得点横坐标为，代入抛物线可得，则，故A正确；对于，由可得直线的斜率为，则直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线解得，则，故在的中垂线上，，故B正确；对于，由抛物线的性质知，以为直径的圆与准线相切的切点纵坐标为，故当时，为该圆与轴的交点，纵坐标大于或小于均可，故C错误；对于D，设的中点为，，则，当轴时，，则，不存在使得，故D正确；故选：ABD.15．已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则（

）A．点的轨迹为抛物线B．圆面积最小值为C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为D．存在点，使得，其中为坐标原点【答案】ACD【分析】由抛物线定义可知A正确；由抛物线性质可知当为坐标原点时，圆面积最小，可知B错误；设，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得圆的半径，知C正确；设存在点，由可求得点坐标，知D正确.【解析】对于A，由题意知：点到点与到定直线的距离相等，且点不在直线上，符合抛物线定义，点的轨迹为抛物线，A正确；对于B，由A知，点的轨迹为抛物线，则当为坐标原点时，点到直线距离最小，即此时圆的半径最小，即，圆面积的最小值为，B错误；对于C，由A得：点的轨迹方程为，设，则圆的半径，点到轴的距离，，解得：，圆的半径，C正确；对于D，假设存在点，使得，设，则，整理可得：，解得：，，或，D正确.故选：ACD.16．已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（

）A．椭圆的离心率的取值范围是B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是C．存在点使得D．的最小值为1【答案】BCD【分析】依据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而推断A，依据离心率求出，则，即可推断B，设上顶点，得到，即可推断C，利用基本不等式推断D.【解析】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得，所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确；当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；设椭圆的上顶点为，，，由于，所以存在点使得，故C正确；，当且仅当时，等号成立，又，所以，故D正确．故选：BCD三、填空题17．已知抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限内一点，直线与轴交于点，且，则直线的斜率为___________.【答案】【分析】由题意可设、、的坐标，运用可解出，利用抛物线解析式可得，由斜率公式解出即可.【解析】由题意可设，，，，，为抛物线上第一象限内一点直线的斜率为；直线的斜率为：故答案为：.18．若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为___________.【答案】##【分析】求得双曲线的渐近线方程为，由于渐近与圆相切，所以圆心到渐近线的距离为1，列方程可求出，从而可求出双曲线的离心率.【解析】双曲线的渐近线方程为圆的圆心为，半径为1，由直线和圆相切，可得，解得，则离心率.，故答案为：19．已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是_____．【答案】【分析】作出图形，分析可知，，利用基本不等式可求得的最小值.【解析】如下图所示：在双曲线中，，，，圆的圆心为，半径长为，所以，双曲线的左、右焦点分别为、，由双曲线的定义可得，，所以，，当且仅当为射线与圆的交点，且时，等号成立，故的最小值是.故答案为：.20．已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为_____．【答案】(，]【分析】设，由已知得到的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e的范围.【解析】设，由，知，因为，在椭圆上，，所以四边形为矩形，；由，可得1，由椭圆的定义可得，

①，平方相减可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.故答案为：.四、解答题21．已知椭圆：的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）由，点代入椭圆，建立方程组求解即可；（2）当的斜率存在时，先由垂径定理求出圆心到直线l的距离，设：，，，由点线距离公式可得，可得，将方程代入椭圆方程中结合韦达定理、弦长公式可得，则，结合均值不等式探讨最大值即可；当的斜率不存在时，则：，可知直线与椭圆只有一个交点，不符合题意.（1），，由椭圆过点得，解得，，∴椭圆的方程为.（2）直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线l的距离d满意，解得，当的斜率存在时，设：，，，圆心为原点则有，∴.将方程代入椭圆方程中整理得：，∴，，，∴，当且仅当，即时取等号.当的斜率不存在时，则：，过椭圆的左、右顶点，此时直线与椭圆只有一个交点，不符合题意.∴面积的最大值为2.【点睛】直线与圆锥曲线相交弦相关的面积问题，一般可联立直线与圆锥曲线，结合韦达定理、弦长公式将弦长表示出来，再由点线距离作为高，即可表示三角形面积.另外直线与圆锥曲线相交弦的问题，留意探讨直线斜率存在与否.22．已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设点在C上，过Q作两条相互垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由及抛物线的性质可得的横坐标，再由．可得的纵坐标，将的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的方程；（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积的表达式，由数量积为0可得参数的关系，代入直线的方程可得直线恒过定点．（1）解：由，可得，代入．解得或（舍），所以抛物线的方程为：．（2）解:由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，由，得，从而，则．所以，，∵，∴，故，整理得．即，从而或，即或．若，则，过定点，与Q点重合，不符合；若，则，过定点．综上，直线过异于Q点的定点．23．已知一个半径为的圆的圆心在抛物线上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点.(1)求抛物线C的方程；(2)当时，求直线AB的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）设圆的圆心坐标为，由题意可得，，从而可求出，进而可得抛物线方程，（2）设直线AB的方程为，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，表示出AB的中点M的坐标，的长度，直线OA和OB的方程，表示出，由列方程求出，从而可求出直线AB的方程.（1）设圆的圆心坐标为，可得.易知抛物线的焦点为，准线方程为，由题意得，解得（负值舍去），则抛物线C的方程为.（2）由（1）知，设直线AB的方程为，与抛物线的方程联立，可得，，，则，，，则AB的中点M的坐标为，易知，故，直线OA的方程为，即，直线OB的方程为，即，令，可得，，则，即，解得，所以直线AB的方程为，即或.24．已知双曲线的离心率为，点在上.(1)求双曲线的方程.(2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，常数为．【分析】（1）由离心率得出，再代入已知点坐标求得得双曲线方程；（2）设，直线的方程为，代入双曲线方程，消去得的一元二次方程，由相交可得的范围，由韦达定理得，设存在符合条件的定点，计算出并代入化为关于的分式，由它是常数可求得，得定点坐标．（1）因为双曲线的离心率为，所以，化简得.将点的坐标代入，可得，解得，所以的方程为.（2）设，直线的方程为，联立方程组消去得（1-，由题可知且，即且，所以.设存在符合条件的定点，则，所以.所以，化简得.因为为常数，所以，解得.此时该常数的值为，所以，在轴上存在点，使得为常数，该常数为.【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查双曲线中的定点问题，定点问题的解题方法是：设直线方程（或点斜式方程），设交点坐标为，直线方程代入双曲线方程消元化为一元二次方程（可由相交得参数范围或不等关系），应用韦达定理得，对定点问题可假设定点存在，设出定点坐标，计算定点满意的关系，并代入韦达定理的结论化简后，利用常数、定值得参数值，从而说明定点存在，否则不存在．25．已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.(1)求双曲线的标准方程.(2)设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题知，进而解方程即可得答案；（2）由题设，直线，进而与双曲线联立方程结合韦达定理得，直线的斜率为，同理可得，进而依据可得，进而可证明结论.（1）解：依据双曲线的对称性，不妨设，其渐近线方程为，因为焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2.所以，因为双曲线的离心率是，所以，，解得所以，双曲线的标准方程为.（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设，直线.联立整理得，所以，.故.设直线的斜率为，同理可得.因为直线与直线的倾斜角互补，所以，所以，则，即，所以.26．如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．【答案】(1)椭圆，拋物线(2)【分析】（1）由题知，进而解方程即可求得答案；（2）设，进而分别与椭圆和抛物线联立计算弦长，，进而计算面