河南省信阳市多校2024-2025学年高二数学上学期期中联考试题含解析

河南省信阳市多校2024-2025学年高二数学上学期期中联考试题第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知非零实数，，若，则下列不等式成立是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合不等式和函数性质，结合列举法即可求解.【详解】对AC，令，满意，但不满意，故A错；对B，令，满意，但不满意，故B错；对C，令，满意，但不满意，故C错；对D，设，函数为增函数，若，则，故D正确.故选：D2.在数列{中，，，，则的值为（）A.17 B.18 C.19 D.21【答案】C【解析】【分析】由题知公差为2，结合通项公式求出即可.【详解】由得，故.故选：C3.《算法统宗》是中国古代数学名著，很多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要详推.这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A.8岁 B.9岁 C.11岁 D.12岁【答案】C【解析】【分析】将年龄从小到大排列成公差为3的等差数列，利用公式计算得到答案.【详解】将年龄从小到大排列成公差为3的等差数列，前项和为，则，解得.故选：C.4.在下列函数中，最小值是2为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】取时，，A错误，CD选项中均值不等式等号条件不成立，错误，利用均值不等式得到B正确，得到答案.【详解】当时，，A错误；，当，即时等号成立，B正确；，则，，，即时等号成立，，等号不成立，故C错误；，，，，即时等号成立，，等号不成立，故D错误.故选：B.5.设变量满意约束条件，则的最小值为（）A.2 B.4 C.-2 D.12【答案】B【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数可化为直线，当直线过点A时，此时直线在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故选：B.【点睛】依据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.6.在中，，则该三角形的最大内角是（）A.135° B.120° C.84° D.75°【答案】B【解析】【分析】依据正弦边化角原则，求出三边比例，再由大边对大角，对最大角采纳余弦定理即可求解.【详解】由可得，不妨设，则，则，故.故选：B7.已知等差数列满意，，，则值为（）A.20 B.19 C.18 D.17【答案】A【解析】【分析】依据得到，带入求和公式结合等差数列性质解得答案.【详解】，故，即.，解得.故选：A.8.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则外接圆半径为（）A.2 B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】结合正弦定理边化角得，由得，联立第三角公式可求出，结合可求外接圆半径.【详解】由正弦定理可得，即，又，故，结合第三角公式得，故，，由.故选：D9.已知数列是等差数列，若，，且数列前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（）A.19 B.20 C.21 D.22【答案】A【解析】【分析】将条件处理得，再结合等差数列下标性质即可求解.【详解】，又，数列的前项和有最大值，故数列为递减数列，，所以，，，所以，又，故取得最小正值时等于19.故选：A10.在中，，，分别是角，，对边的长，依据下列条件解三角形，有两解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】【分析】依据正弦定理得到的值，依据角度范围得到解的个数，得到答案.【详解】依据正弦定理：，，，，有一解，A不满意；，，，有一解，B不满意；，，，有一解，C不满意；，，，有两解，D满意.故选：D.11.在数列中，，，，，则（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】依据，可得，则数列是以6为周期的周期数列，再求出，即可得解.【详解】，故，故，数列的周期为6.，，，，，，，.故选：B.12.已知数列满意，，，则数列的前2024项的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用累加法得到，带入得到，再利用分组求和法计算得到答案.【详解】，即...故.故选：A.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知关于的不等式的解集是{或}，则的解集为________.【答案】【解析】【分析】首先依据题意得到和是方程的根，从而得到，再解不等式即可.【详解】由题知：和是方程的根，所以，解得.所以，解得.所以解集为.故答案为：14.中，，，则在中，________.【答案】【解析】【分析】计算，依据正弦定理推断得到，依据和差公式计算得到答案.【详解】，则，，，依据正弦定理知，故，为锐角，故..故答案为：.15.如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形.为南门位置，为东门位置，小区里有一条平行于的小路，若米，则圆弧的长为___________米【答案】【解析】【分析】连结，由，可得，，在△中，由正弦定理可得，，可求出，进而可求出，进而依据圆弧所对应的圆心角及半径，可求出圆弧的长度.【详解】连结，因为，所以，.在△中，由正弦定理可得，，即，解得，因为，且，所以，所以.故答案为：.16.正数，满意，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】采纳基本不等式，先求出的最小值，再采纳分别参数法结合二次函数性质即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当时取到等号，故，则对恒成立等价于对恒成立，即对恒成立，，在单增，则，则.故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满意．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【详解】解：（1）由题意可知，；（2）当△ABC为等边三角形的时候取得最大值．18.设函数.当时，求关于的不等式的解集.【答案】答案见解析.【解析】【分析】探讨，和三种大状况，再考虑，，三种状况，解不等式得到答案.【详解】若，原不等式可化为，解得；若，原不等式可化为，解得或；若，原不等式可化为，其解得状况应由与1的大小关系确定，当时，解为；当时，解得；当时，解得.综上所述：当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.19.若数列的前项和为，且；数列满意，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）采纳作差法结合关系式可求，再验证可求的通项公式；对变形得，求出的通项公式，进而求出的通项公式；（2）采纳错位相减法即可求解.【小问1详解】由，得，.又，，两式相减，得，，.∴数列是首项为1，公比为2的等比数列..由，得，又，数列是首项为1，公差为1的等差数列..；【小问2详解】，.两式相减，得.20.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C；（2）若，且的面积，求的周长l的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用正弦定理，边角互化，再结合余弦定理，即可求解.(2)先利用三角形面积公式，得出的范围，再结合余弦定理，即可求出范围.【详解】（1）由正弦定理，得，∴，∴由余弦定理，得，∵，∴.（2）∵的面积，∴，∴，若，则，∴，∵的周长，且，∴，即的周长的取值范围为.21.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，实行了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？假如获利，求出最大利润；假如不获利，则须要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【答案】（1）400吨；（2）不获利，须要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.【解析】【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，留意等号成立条件.（2）依据获利，结合二次函数的性质推断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.【小问1详解】由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；当且仅当，即时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.【小问2详解】不获利，设该单位每个月获利为S元，则，因为，则，故该当单位每月不获利，须要国家每个月至少补