浙江专用2024-2025学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷期末测试卷01新人教A版

-2025学年高二数学上学期期末测试卷01测试范围：第1-4章一、单选题1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据空间里面点关于面对称的性质即可求解.【解析】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是.故选：C.2．已知等比数列的公比为正数，且，，则（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出【解析】设等比数列的公比为（），由题意得，且，即，，因为，所以，，故选：D3．已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（

）A．3 B．4 C．9 D．21【答案】A【分析】由干脆可得.【解析】由题知，所以，因为，所以.故选：A4．已知向量，，且与相互垂直，则k的值是（

）.A．1 B． C． D．【答案】D【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.【解析】，，因为与相互垂直，所以，所以，所以.故选：D.5．设是数列的前项和，已知，则数列（

）A．是等比数列，但不是等差数列 B．是等差数列，但不是等比数列C．是等比数列，也是等差数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列【答案】B【分析】依据与的关系求出通项，然后可知答案.【解析】当时，，当时，，综上，的通项公式为，数列为等差数列同理，由等比数列定义可推断数列不是等比数列.故选：B6．已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】依据圆心到直线的距离即可推断.【解析】由得，则圆的圆心为，半径，由，则圆心到直线的距离，∵，∴在圆上到直线距离为1的点有两个.故选：B.7．在棱长为1的正四面体中，点满意，点满意，当和的长度都为最短时，的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.【解析】因，则，即，而，则共面，点M在平面内，又，即，于是得点N在直线上，棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，，而，，所以.故选：A8．已知双曲线，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点A.已知为原点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出图象，结合渐近线方程得到，，进而得到，结合渐近线的斜率及角度关系，列出方程，求出，从而求出.【解析】渐近线为，如图，过点F作FB垂直于点B，交于点A，则到渐近线距离为，则，又，由勾股定理得：，则，又，，所以，解得：，所以.故选：C二、多选题9．在长方体中，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】依据空间向量的加减运算即可得到答案.【解析】如图：对A，，正确；对B，，正确；对C，，错误；对D，，错误.故选：AB.10．已知圆：，：，则（

）A．圆的圆心坐标是B．圆的半径等于4C．圆与圆相离D．圆与轴相交，且截得的弦长等于【答案】ACD【分析】由圆的标准方程解出圆心坐标、半径去推断选项AB；由两圆圆心距与两圆半径和差的关系去推断选项C；解得圆截轴所得的弦长去推断选项D.【解析】由，得圆心，半径故选项A推断正确；选项B推断错误；由，得圆心，半径两圆圆心距，，由，可知圆与圆相离.选项C推断正确；圆截轴所得的弦长为.选项D推断正确.故选：ACD11．已知数列的前项和，则（

）A．数列的通项公式B．数列单调递减C．数列的全部项中第四项或第五项最小D．数列的前项和【答案】BCD【分析】利用时可推断AB；求出可推断C；分、求出可推断D.【解析】当时，，当时，，，故不符合此式，所以，故A错误；由于，，当时，是单调递减的，所以数列是单调递减数列，故B正确；当时，，当时，，即或时最小，故C正确；当时，，当时，，可得，所以时，，，时，，所以数列的前项和，故D正确.故选：BCD.12．如图所示，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（

）A．圆和圆外切 B．圆心肯定不在直线上C． D．的取值范围是【答案】ABC【分析】由双曲线定义及圆的切线长定理，数形结合可以顺当求得的横坐标，同样由数形结合可得到直线的倾斜角取值范围为，接下来再去求值、证明即可解决.【解析】双曲线的，渐近线方程为、，两渐近线倾斜角分别为和，设圆与x轴切点为G过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为由双曲线定义和圆的切线长定理可知、的横坐标均为，即与x轴垂直.故圆和圆均与x轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A推断正确；由双曲线定义知，中，，则AO只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心肯定不在直线上.选项B推断正确；在中，，，则由直角三角形的射影定理可知，即则，故.选项C推断正确；由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为，则的取值范围为，故则令，则在单调递减，在单调递增.，，，值域为故的值域为.选项D推断错误.故选：ABC【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于运用了数形结合的方法，许多问题便迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。奇妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是探讨“以形助数”。三、填空题13．已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若，则______．【答案】7【分析】先证明四边形是平行四边形，再依据双曲线的定义可求解.【解析】由双曲线的对称性，可知，又，所以四边形是平行四边形，所以，由，可知点在双曲线的左支，如下图所示：由双曲线定义有，又，所以.故答案为：14．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱、、两两夹角都为，且，，，、分别为、的中点，则与所成角的余弦值为__________.【答案】【分析】计算出以及、的值，可求得的值，即可得解.【解析】如下图所示：由题意可得，，所以，，，，所以，.因此，与所成角的余弦值为.故答案为：.15．已知平面上随意一点，直线，则点P到直线l的距离为；当点在函数图象上时，点P到直线l的距离为，请参考该公式．求出的最小值为____________．【答案】【分析】令，将问题转化为函数图象上的点到直线的距离的倍与到的距离之和的倍的和，即可求得最小值．【解析】令，，∴表示函数图象上的点到直线的距离，表示函数图象上的点到直线的距离，∴目标式几何意义：半圆函数图象上的点到直线的距离的倍与到的距离之和的倍的和.依据圆上的点到与圆相离的直线的距离最小值为圆心到直线的距离与半径之差，所求最小值为．故答案为：.16．设数列的前项和为，，，且，则的最大值是________．【答案】【分析】由已知等式结合因式分解可求得，求出，可得出，令，分析数列的单调性，可求得数列最大项的值，进而可求得数列最大项的值.【解析】因为，则，由，可得，所以，，即，满意，，，则，所以，数列为等差数列，故，则，令，则，当时，，即；当时，，即数列从第三项起先单调递减，故，所以，.故答案为：.四、解答题17．已知等差数列的前项和为，满意，.(1)求数列的通项公式与前项和；(2)求的值.【答案】(1)，；(2).【分析】(1)设出等差数列的公差，借助前项和公式列式计算作答.(2)由(1)的结论借助裂项相消去求解作答.(1)设等差数列的公差为，因，，则，解得，于是得，，所以数列的通项公式为，前项和.(2)由(1)知，，所以.18．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线只有一个公共点.(1)求抛物线的方程；(2)求直线的方程.【答案】(1)；(2)或或.【分析】(1)依据给定条件结合p的几何意义，干脆求出p写出方程作答.(2)直线l的斜率存在设出其方程，再与抛物线C的方程联立，再探讨计算，l斜率不存在时验证作答.(1)因抛物线的焦点到准线的距离为，于是得，所以抛物线的方程为.(2)当直线的斜率存在时，设直线为，由消去y并整理得：，当时，，点是直线与抛物线唯一公共点，因此，，直线方程为，当时，，此时直线与抛物线相切，直线方程为，当直线的斜率不存在时，y轴与抛物线有唯一公共点，直线方程为，所以直线方程为为或或.19．一个小岛的四周有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.(1)若，轮船直线返港，没有触礁危急，求的取值范围?(2)若轮船直线返港，且必需经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值.【答案】(1)(2)120【分析】（1）建立平面直角坐标系设直线方程，依据点到直线的距离公式可得；（2）先求补水点的坐标，依据直线过该点，结合所求，依据基本不等式可得.(1)依据题意，以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系，当时，则轮船返港的直线为，因为没有触礁危急，所以原点到的距离，解得.(2)依据题意可得，，点C在直线上，故点C，设轮船返港的直线是，则，所以.当且仅当时取到最小值.20．如图，在四棱锥中，底面，，是的中点，，.

(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别求出向量和，证明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，则直线与平面所成角的正弦值即为.(1)证明：∵，，∴△≌△,∴,设，在△中，由余弦定理得，即，则,即，，连接交于点，分别以，为轴、轴，过作轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，的中点，则，，∵，∴.(2)由（1）可知，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，则，记直线与平面所成角为，.21．已知数列的前项和分别是，满意，，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列对随意都有恒成立，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）依据已知递推关系式再写一式，然后两式相减，由等差数列、等比数列的定义即可求解；（2）依据已知递推关系式再写一式，然后两式相减，求出，最终利用错位相减法即可得答案.(1)解：因为，，所以，，得，所以是以2为首项2为公差的等差数列，是以1为首项2为公差的等差数列，所以，，所以；因为，所以，又由得，所以是以2为首项2为公比的等比数列，所以.(2)解：当时，，当时，，得，即，记，则,,则.22．如图，已知椭圆的左顶点，过右焦点的直线与椭圆相