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Page12024届高考数学一轮复习收官卷03(浙江专用)一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2024·浙江·慈溪市浒山中学高一期中)已知集合,则的子集有(
)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【详解】解:∵集合,∴的子集有:.则的子集有4个.故选:D.2.(2024·浙江·高考真题)已知(为虚数单位),则(
)A. B. C. D.【答案】B【详解】,而为实数,故,故选:B.3.(2024·浙江·高三专题练习)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的改变.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“——”,如图就是一重卦.在全部重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. B. C. D.【答案】A【详解】由题知,每一爻有2种状况,一重卦的6爻有状况,其中6爻中恰有3个阳爻状况有,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=,故选A.4.(2024·浙江省富阳中学高三阶段练习)已知,那么(
)A. B. C. D.【答案】A【详解】因为,可得,又由.故选:A.5.(2024·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试)在矩形中,,,点为边的中点,点为边上的动点,则的取值范围是(
)\A. B. C. D.【答案】B【详解】以为坐标原点,正方向为轴,可建立如图所示平面直角坐标系,则,,设,,,,,,即的取值范围为.故选:B.6.(2024·浙江·高二阶段练习)甲盒中有4个红球,2个白球和3个黑球,乙盒中有3个红球,2个白球和2个黑球(球除颜色不同外,大小质地均相同).先从甲盒中随机取出一球放入乙盒,分别以事务和表示从甲盒中取出的球是红球、白球和黑球;再从乙盒中随机取出一球,以事务B表示从乙盒中取出的球是红球.下列结论正确的个数是(
)①事务与相互独立;②是两两互斥事务;③;④.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【详解】依题意,,和是两两互斥事务,②正确;,,,又,事务,不独立,故①错误,,,,,故③正确,,④正确,综上,正确的有3个,故选:C.7.(2024·浙江省苍南中学高三阶段练习)直三棱柱的各个顶点都在同一球面上,若,则此球的表面积为(
)A. B. C. D.【答案】B【详解】如图所示,三角形的外心是,外接圆半径,在中,,,可得,由正弦定理,,可得外接圆半径,设球心为,连接,,,在中,求得球半径,此球的表面积为.故选:B.8.(2024·浙江·高三专题练习)若直线与两曲线分别交于两点,且曲线在点处的切线为,曲线在点处的切线为,则下列结论:①,使得;②当时,取得最小值;③的最小值为2;④最小值小于.其中正确的个数是(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【详解】解:由直线与两曲线分别交于两点可知:曲线上点坐标,可求导数,则切线斜率,可知切线:.曲线上点坐标,可求导数,则切线斜率.令,则,令,,由零点存在定理,使,即,使,即,故①正确.,令,由同理可知有,使,令,在处取最小值,即当时,取得最小值,故②正确.是对勾函数,在上是减函数,,故③错误,④正确.故选:C二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.(2024·浙江温州·高二期末)某学校组织了一次劳动技能大赛,共有100名学生参赛,经过评判,这100名参赛者的得分都在内,得分60分以下为不及格,其得分的频率分布直方图如图所示(按得分分成,,,,这五组),则下列结论正确的是(
)A.直方图中B.此次竞赛得分及格的共有55人C.以频率为概率,从这100名参赛者中随机选取1人,其得分在[50,80)的概率为0.75D.这100名参赛者得分的第80百分位数为75【答案】AD【详解】由图可知,,解得a=0.005,故A正确;竞赛及格的人数为:,故B错误;成果在内的频率为,即概率为0.85,故C错误;设第80百分位数为70+x分,则有,解得x=5,所以第80百分位数为75分,故D正确;故选:AD.10.(2024·浙江杭州·高二开学考试)已知直线,其中,下列说法正确的是(
)A.当时,直线与直线垂直B.若直线与直线平行,则C.直线的倾斜角肯定大于D.当时,直线在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【详解】A:当时,直线的方程为,可化为:,所以该直线的斜率为1,直线的斜率为,因为,所以这两条直线相互垂直,因此本选项说法正确;B:由直线与直线平行,可得或,因此本选项说法不正确;C:直线方程可化为:,设直线的倾斜角为,所以,所以本选项说法正确;D:当时,直线的方程为,当时,;当时,,因为,所以直线在两坐标轴上的截距不相等,因此本选项说法不正确,故选:AC11.(2024·浙江杭州·高一期末)已知实数为函数的两个零点,则下列结论正确的是(
)A. B.C. D.【答案】AB【详解】令则,分别作图与如图所示:由图可得,所以,故A正确;由于,,所以,所以,故B正确,C、D错误.故选:AB.12.(2024·浙江省杭州学军中学高三期中)如图,在直三棱柱中,是直角三角形,且,,为的中点,点是棱上的动点,点是线段上的动点,则下列结论正确的是(
)A.异面直线与所成角的余弦值是B.三棱柱的外接球的球面积是C.当点是线段的中点时,三棱锥的体积是D.的最小值是【答案】ACD【详解】解:对于A,如下图,连接在直三棱柱中,有,则为异面直线与所成角或其补角又是直角三角形,且,则,所以,则,在直三棱柱中,平面,平面,则,所以,同理得则于是异面直线与所成角的余弦值是,故A正确;对于B,由于直三棱柱中,平面,平面,则,且,故该三棱柱可以与以为顶点,为棱的长方体的各顶点重合所以三棱柱的外接球的球半径则三棱柱的外接球的球面积是,故B错误;对于C,如下图,连接在三棱柱中,四边形为平行四边形,当点是线段的中点时,也是线段的中点,又,平面,平面,所以平面则点到平面的距离与点到平面的距离相同所以,故C正确;对于D,在三棱柱中,四边形为矩形,又为的中点,则为的中点,则均在平面上在中,,,且如图,在平面,以为轴,为轴,建立平面直角坐标系,其中点关于直线对称的点为则又,则当三点共线时最小,点是棱上的动点,则可得最小值设,又,所以直线方程为所以,则,所以时,在线段上,且所以的最小值是,故D正确.故选:ACD.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,其中第16题第一空2分,其次空3分.)13.(2024·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习)在的绽开式中,含项的系数为__________.【答案】80【详解】由题设,,所以项的系数为.故答案为:8014.(2024·浙江·慈溪市浒山中学高一期中)已知函数的图象关于y轴对称,且关于x的方程有两个相等的实根,写出满意上述条件的一个函数______.【答案】(答案不唯一,只需满意即可)【详解】解:已知,∵的图象关于y轴对称,∴对称轴,∴,则方程即为,即,∴,∴,当时,,∴满意条件的二次函数可以为.故答案为:.(答案不唯一,只需满意即可)15.(2024·浙江温州·高二期中)几何学史上有一个闻名的米勒问题:“如图,点M,N是锐角∠AQB的一边QA上的两点,试在QB边上找一点P,使得∠MPN最大”.如图,其结论是:点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点.依据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(1,2),N(3,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为_________.【答案】3【详解】设直线MN与x轴交于Q,易得,过点M,N的圆且与轴相切于点P即为所求.则由圆幂定理得,所以,易得或,而过点的圆的半径大于过点的圆的半径,所以,故点P的横坐标为3.故答案为:3.16.(2024·浙江衢州·高三阶段练习)已知一个质子在随机外力作用下,从原点动身在数轴上运动,每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动一个单位.若移动n次,则当n=6时,质子位于原点的概率为___________;当n=___________时,质子位于5对应点处的概率最大.【答案】
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23或25【详解】设第n次移动时向左移动的概率为,事务n=6时质子位于原点等价于事务前6次移动中有且只有3次向左移动,所以事务n=6时质子位于原点的概率为,事务第次移动后质子位于5对应点处等价于事务质子在次移动中向右移了次,所以第次移动后质子位于5对应点处的概率,设,则,令可得,化简可得,所以,,所以令可得,,所以,又,所以m=9或m=10,即或时,质子位于5对应点处的概率最大.故答案为:;23或25.四、解答题(本题共6小题,共70分,其中第16题10分,其它每题12分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(2024·浙江·镇海中学模拟预料)已知向量,记函数.(1)求的对称轴和单调递增区间;(2)在锐角中,角A,B,C的对边为a,b,c,若,求的取值范围.【答案】(1)对称轴为,(2)【详解】(1)由题意,所以的对称轴为,即,单调递增区间满意,解得,所以单调递增区间为.(2)由得,,所以,所以,因为为锐角三角形,故,得,所以,即的取值范围为.18.(2024·浙江嘉兴·模拟预料)已知公差不为零的等差数列满意成等比数列.数列的前n项和为,且满意(1)求和的通项公式;(2)设数列满意,求数列的前项和.【答案】(1);(2)(1)由题:,∵,即得:,即当时,,当时,,,两式相减整理得,即数列是以首项,公比的等比数列∴(2)当n为奇数时,当n为偶数时,,两式相减得:得:19.(2024·浙江杭州·高二期中)已知四棱锥的底面是平行四边形、侧棱平面,点在棱上,且,点N是在棱上的动点(不为端点).(1)若N是棱中点,完成:(i)画出的重心G(在图中作出虚线),并指出点G与线段的关系;(ii)求证:平面;(2)若四边形是正方形,且,当点在何处时,直线与平面所成角的正弦值取得最大值,并求出最大值.【答案】(1)作图见解析,点在线段上;证明见解析;(2)当点在线段靠点的三等分点处时,直线与平面所成角的正弦值最大,最大值为.【详解】(1)设与的交点为,连接与交于点,点为中点,点为中点,与的交点为的重心,,又为在边上的中线,点也为的重心,即重心点在线段上.证明:连接并延长交于点,连接,点为的重心,,又,即,又平面,平面,所以平面.(2)四边形是正方形,且平面,、、两两垂直,以为坐标原点,、、的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则点,0,,,0,,,3,,,1,,则,,,设则,,设平面的法向量为,则有,化简得:,取则,,设直线与平面所成角为,则,当时的值最大,即当点在线段靠点的三等分点处时,直线与平面所成角的正弦值最大,最大值为.20.(2024·浙江浙江·高三期中)自主招生和强基安排是高校选拔录用工作改革的重要环节.自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后,可以得到相应的降分政策.2024年1月,教化部确定2024年起不再组织开展高校自主招生工作,而是在部分一流高校建设高校开展基础学科招生改革试点(也称强基安排).下表是某高校从2024年起至2024年通过自主招生或强基安排在部分专业的招生人数:年份数学物理化学总计202447617202458518202469520202487621202498623请依据表格回答下列问题:(1)统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系.记为年份与的差,为当年数学、物理和化学的招生总人数,试用最小二乘法建立关于的线性回来方程,并以此预料年的数学、物理和化学的招生总人数(结果四舍五入保留整数);(2)在强基安排实施的首年,为了保证招生录用结果的公允公正,该校招生办对年强基安排录用结果进行抽检.此次抽检从这名学生中随机选取位学生进行评审.记选取到数学专业的学生人数为,求随机变量的数学期望;(3)经统计该校学生的本科学习年限占比如下:四年毕业的占,五年毕业的占,六年毕业的占.现从到年间通过上述方式被该校录用的学生中随机抽取1名,若该生是数学专业的学生,求该生恰好在年毕业的概率.附:为回来方程,,.【答案】(1),24(2)(3)【详解】(1)由题意,的取值集合为,的取值集合为,,干脆依据公式求得,,因此回来方程为:,当时,可得,因此预料2024年的招生总人数为人.(2)由已知,可取0,1,2,3.,,,,故.(3)因为2025年毕业,则入学年份可能为2024年,2024年,2024年,由条件概率公式可知,该生被数学系录用的条件下,其在第年入学的概率为:,故,,,由全概率公式:.21.(2024·浙江·温州中学高三期末)已知抛物线上一点到其焦点的距离为5.(1)求与的值;(2)过点作斜率存在的直线与拋物线交于两点(异于原点),为在轴上的投影,连接与分别交抛物线于,问:直线是否过定点,若存在,求出该定点,若不存在,请说明理由.【答案】(1),(2)过定点,【详解】(1)解:(1)依据抛物线的定义得:,,将点代入抛物线方程得:,;(2)解:设,,,,直线的方程为.代入抛物线方程得:.得,由题得,设过点的直线方程为,代入抛物线方程得:,∴,,又由己知可得直线的方程为:,整理得:,将和代入直线方程得:,代入上式可得:,即,得,所以直线过定点.22.(2024·浙江·高三专题练习)已知函数.(1)若在单调递增,求实数a的取值范围;(2)若不等式在上恒成立,推断函数在上的零点个数,并说明理由.【答案】(1)(2)1个,理由见解析.(1)解:因为,所以,因
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