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文档简介

安徽省亳州市重点中学2025届高三3月份模拟考试数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的一个零点在区间内,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.2.已知复数满足,则()A. B. C. D.3.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.4.若样本的平均数是10,方差为2,则对于样本,下列结论正确的是()A.平均数为20,方差为4 B.平均数为11,方差为4C.平均数为21,方差为8 D.平均数为20,方差为85.在平面直角坐标系中,将点绕原点逆时针旋转到点,设直线与轴正半轴所成的最小正角为,则等于()A. B. C. D.6.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考情况,得到如图柱状图:则下列结论正确的是().A.与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加B.与2016年相比,2019年一本达线人数减少C.与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.3倍D.2016年与2019年艺体达线人数相同7.数列满足:,则数列前项的和为A. B. C. D.8.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数,且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都小于的概率为()A. B. C. D.9.在复平面内,复数z=i对应的点为Z,将向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数是()A. B. C. D.10.设为锐角,若,则的值为()A. B. C. D.11.已知,,,,则()A. B. C. D.12.一个封闭的棱长为2的正方体容器,当水平放置时,如图,水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器里水面的最大高度为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.记实数中的最大数为,最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长,若,则的取值范围是.14.已知、为正实数,直线截圆所得的弦长为,则的最小值为__________.15.(5分)在平面直角坐标系中,过点作倾斜角为的直线,已知直线与圆相交于两点,则弦的长等于____________.16.若复数z满足,其中i是虚数单位,则z的模是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设为实数,已知函数,.(1)当时,求函数的单调区间:(2)设为实数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围;(3)若函数(,)有两个相异的零点,求的取值范围.18.(12分)已知函数,.(1)证明:函数的极小值点为1;(2)若函数在有两个零点,证明:.19.(12分)如图,在长方体中,,为的中点,为的中点,为线段上一点,且满足,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知正实数满足.(1)求的最小值.(2)证明:21.(12分)已知函数(1)求单调区间和极值;(2)若存在实数,使得,求证:22.(10分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,四条侧棱长均相等.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解.【详解】由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,故选:C【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.2、A【解析】

根据复数的运算法则,可得,然后利用复数模的概念,可得结果.【详解】由题可知:由,所以所以故选:A【点睛】本题主要考查复数的运算,考验计算,属基础题.3、A【解析】

求出集合,然后进行并集的运算即可.【详解】∵,,∴.故选:A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和运算,属于基础题.4、D【解析】

由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.【详解】样本的平均数是10,方差为2,所以样本的平均数为,方差为.故选:D.【点睛】样本的平均数是,方差为,则的平均数为,方差为.5、A【解析】

设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为,由任意角的三角函数的定义可以求得的值,依题有,则,利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图,设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为因为点在角的终边上,所以依题有,则,所以,故选:A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式,属于基础题.6、A【解析】

设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,2016年高考不上线人数为,2019年不上线人数为,故A正确;2016年高考一本人数,2019年高考一本人数,故B错误;2019年二本达线人数,2016年二本达线人数,增加了倍,故C错误;2016年艺体达线人数,2019年艺体达线人数,故D错误.故选:A.【点睛】本题考查柱状图的应用,考查学生识图的能力,是一道较为简单的统计类的题目.7、A【解析】分析:通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知,进而可知,利用裂项相消法求和即可.详解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴数列前项的和为,故选A.点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.8、C【解析】

由几何概型的概率计算,知每次生成一个实数小于1的概率为,结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.故选:C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率,考查学生基本的计算能力,是一道容易题.9、A【解析】

由复数z求得点Z的坐标,得到向量的坐标,逆时针旋转,得到向量的坐标,则对应的复数可求.【详解】解:∵复数z=i(i为虚数单位)在复平面中对应点Z(0,1),

∴=(0,1),将绕原点O逆时针旋转得到,

设=(a,b),,则,即,

又,解得:,∴,对应复数为.故选:A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.10、D【解析】

用诱导公式和二倍角公式计算.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式,解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.11、D【解析】

令,求,利用导数判断函数为单调递增,从而可得,设,利用导数证出为单调递减函数,从而证出,即可得到答案.【详解】时,令,求导,,故单调递增:∴,当,设,,又,,即,故.故选:D【点睛】本题考查了作差法比较大小,考查了构造函数法,利用导数判断式子的大小,属于中档题.12、B【解析】

根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半,由此得到结论.【详解】正方体的面对角线长为,又水的体积是正方体体积的一半,且正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半,即最大水面高度为,故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征,考查了空间想象能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】试题分析:显然,又,①当时,,作出可行区域,因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是(1,1)和,从而②当时,,作出可行区域,因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是(1,1)和,从而综上所述,的取值范围是.考点:不等式、简单线性规划.14、【解析】

先根据弦长,半径,弦心距之间的关系列式求得,代入整理得,利用基本不等式求得最值.【详解】解:圆的圆心为,则到直线的距离为,由直线截圆所得的弦长为可得,整理得,解得或(舍去),令,又,当且仅当时,等号成立,则.故答案为:.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系,考核基本不等式求最值,关键是对目标式进行变形,变成能用基本不等式求最值的形式,也可用换元法进行变形,是中档题.15、【解析】

方法一:依题意,知直线的方程为,代入圆的方程化简得,解得或,从而得或,则.方法二:依题意,知直线的方程为,代入圆的方程化简得,设,则,故.方法三:将圆的方程配方得,其半径,圆心到直线的距离,则.16、【解析】

先求得复数,再由复数模的计算公式即得.【详解】,,则.故答案为:【点睛】本题考查复数的四则运算和求复数的模,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)函数单调减区间为;单调增区间为.(2)(3)【解析】

(1)据导数和函数单调性的关系即可求出;(2)分离参数,可得对任意的及任意的恒成立,构造函数,利用导数求出函数的最值即可求出的范围;(3)先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围【详解】解:(1)当时,因为,当时,;当时,.所以函数单调减区间为;单调增区间为.(2)由,得,由于,所以对任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以对任意的恒成立,设,,则,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以,所以.(3)由,得,其中.①若时,则,所以函数在上单调递增,所以函数至多有一个零点,不合题意;②若时,令,得.由第(2)小题,知:当时,,所以,所以,所以当时,函数的值域为.所以,存在,使得,即,①且当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减.因为函数有两个零点,,所以.②设,,则,所以函数在单调递增,由于,所以当时,.所以,②式中的,又由①式,得.由第(1)小题可知,当时,函数在上单调递减,所以,即.当时,(ⅰ)由于,所以得,又因为,且函数在上单调递减,函数的图象在上不间断,所以函数在上恰有一个零点;(ⅱ)由于,令,设,,由于时,,,所以设,即.由①式,得,当时,,且,同理可得函数在上也恰有一个零点.综上,.【点睛】本题考查含参数的导数的单调性,利用导数求不等式恒成立问题,以及考查函数零点问题,考查学生的计算能力,是综合性较强的题.18、(1)见解析(2)见解析【解析】

(1)利用导函数的正负确定函数的增减.(2)函数在有两个零点,即方程在区间有两解,令通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.【详解】解:(1)证明:因为,当时,,,所以在区间递减;当时,,所以,所以在区间递增;且,所以函数的极小值点为1(2)函数在有两个零点,即方程在区间有两解,令,则令,则,所以在单调递增,又,故存在唯一的,使得,即,所以在单调递减,在区间单调递增,且,又因为,所以,方程关于的方程在有两个零点,由的图象可知,,即.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,确定函数的极值,利用二次求导,零点存在性定理确定参数范围,属于难题.19、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)解法一:作的中点,连接,.利用三角形的中位线证得,利用梯形中位线证得,由此证得平面平面,进而证得平面.解法二:建立空间直角坐标系,通过证明直线的方向向量和平面的法向量垂直,证得平面.(2)利用平面和平面法向量,计算出二面角的余弦值.【详解】(1)法一:作的中点,连接,.又为的中点,∴为的中位线,∴,又为的中点,∴为梯形的中位线,∴,在平面中,,在平面中,,∴平面平面,又平面,∴平面.另解:(法二)∵在长方体中,,,两两互相垂直,建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,,,,,,,,.(1)设平面的一个法向量为,则,令,则,.∴,又,∵,,又平面,平面.(2)设平面的一个法向量为,则,令,则,.∴.同理可算得平面的一个法向量为∴,又由图可知二面角的平面角为一个钝角,故二面角的余弦值为.【点睛】本小题考查线面的位置关系,空间向量与线面角,二面角等基础知识,考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力,数形结合思想,化归与转化思想.20、(1);(2)见解析【解析】

(1)利用乘“1”法,结合基本不等式求得结果.(2)直接利用基本不等式及乘“1”法,证明即可.【详解】(1)因为,所以因为,所以(当且仅当,即时等号成立),所以(2)证明:因为,所以故(当且仅当时,等号成立)【点睛】本题考查了基本不等式的应用,考查了乘“1”法的技巧,考查了推理论证能力,属于中档题.21、(1)时,函数单调递增,,函数单调递减,;(2)见解析【解析】

(1)求出函数的定义域与导函数,利用导数求函数的单调区间,即可得到函数的极值;(2)易得且,要证明,即证,即证,即对恒成立,构造函数,,利用导数研究函数的单调性与最值,即可得证;【详解】解:(1)因为

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