等差数列复习

#等差数列(一)【知识要点】.等差数列的定义及通项公式.等差数列的两个重要性质⑴等差数列｛a｝中，若m+n=p+q，则a+a=a+an mnpq⑵等差数列｛a｝的任意连续m项的和构成的数列：S,S-S,S-S，…仍为等差数列n m2mm3m 2m.等差数列的前n项和公式【典型例题】.基本训练题(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.⑵在等差数列｛an｝中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.TOC\o"1-5"\h\z“ - 5 3।一(3)已知数歹U｛a/为等差数列，a3=4,a7=—4，求a15的值..等差数列性质的应用⑴已知等差数列｛a｝中，a+a=16,a=1，则a。的值是 .n 794 12⑵等差数列｛a｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为.n⑶一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则它的第七项等于..在等差数列｛a｝中n(1)已知a+a+a+a=36，求S.2 5 12 15 16(2)已知a=20，求S.6 11

TOC\o"1-5"\h\z.数列｛a｝的前n项和S=n2-7n-8，求数列通项公式.n n【课堂练习】.设｛a｝是公差为正数的等差数列，若a+a+a-15，aaa=80，则a+a+a=( )n 1 2 3 123 11 12 13A.120 B.105 C.90 D.75.数列｛a｝的前n项和S=n2+2n-1,则a+a+aH Fa=( )n n 1 3 5 25A.350 B.351 C.337 D.338.在等差数列｛a｝中：n⑴已知a=10,a=19,求a与d；4 7 1⑵已知a=9,a=3,求a.3 9 124.在等差数列｛4.在等差数列｛aJ中,若a3Ha8Ha13-12，aaa3813=28，求｛a｝的通项公式.n等差数列的前n项和知识要点：一、等差数列的前n项和公式1：S「『证明：S=a+a+aH Fa+a①S-a+a+aHFa+a②TOC\o"1-5"\h\zn 12 3 n-1n n nn-1 n-2 2 1\o"CurrentDocument"①+②：2S -(a+a)+(a +a)+(a+a )H F(a +a)n1n 2n-1 3n-2 nn•/a+a-a+a=a+a1n2 n-1 3n-2\o"CurrentDocument"・•・2S=n(a+a)由此得：S•/a+a-a+a=a+a1n2 n-1 3n-2二、等差数列的前n项和公式2：S=na+n(n-1)dn1 2\o"CurrentDocument"把a=a+(n-1)d代入公式1即得：S=na+n(n-1)dn1 n1 2此公式要求S必须已知三个条件：n,a,d(有时比较有用)n 1公式二又可化成式子：S=dn2+(a-d)n，当d/0,是一个常数项为零的二次式

n2 12三、对等差数列前项和的最值问题有两种方法：利用a:n当a>0,d<0,前n项和有最大值,可由a三0,且aW0,求得n的值.n n n+1当a<0,d>0,前n项和有最小值.可由aW0,且a三0,求得n的值.n n n+1利用S：n由Sn=2n2+(a1-2)n利用二次函数配方法求得最值时n的值.三、等差数列｛a｝的一些性质nTOC\o"1-5"\h\z(1)当公差d丰0时，等差数列的通项公式a-a+(n-1)d-dn+a-d是关于n的一次函数，且斜率为公n1 1\o"CurrentDocument"差d；前n和S=na+ndd=dn2+(a-d)n是关于n的二次函数常数项0.n1 2 2 12(2)若公差d>0,则为递增等差数列，若公差d<0,则为递减等差数列，若公差d=0,则为常数列。｛a｝的通项公式a=a+(n-1)d或a=a+(n-m)d或a=pn+q(p、q是常数)一n n1 nm n(4)对于任意的整数p,q,r,s，如果p+q=r+s，那么a+a=a+a.pqrs(5)对于任意的正整数n>1,有2a=a+a.n n+1 n-1(6)若｛a｝是等差数列，则｛a｝,｛a｝,｛a｝,｛a｝,｛a｝等都是等差数列；对于任意的非零实数b,n 2n 2n-1 3n 3n-1 3n一2数列｛ba｝也是等差数列；若｛b｝是等差数列，则｛a土b｝也是等差数列n n nn(7)S是等差数列L｝的前n项和，则S,S-S,S-S仍成等差数列，即S=3(S-S).n n k2k k3k 2k 3m 2m m(8)若S=S(m丰n)，贝US =0；若S=q,S=p，贝。S=-(p+q)mn n+n p q p+q(9)在等差数列｛a｝中，当项数为偶数2n时，S—S=nd；项数为奇数2n-1时，n 偶奇S-S=a,S=(2n-1).a(这里a即a)；S:S=(k+1):k。奇偶中 2n-1 中 中n 奇偶(10)若等差数列｛a｝、｛b｝的前n和分别为A、B，且察=f(n)，则?=祟二)?=却nn nnB b(2n—1)b Bn n n 2n-1题型讲解：【例1】.等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54?【例2】.一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？【例3】在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2,并求这些数的和.【练习】.求集合M=｛m|m=2n—1,n£N*,且m<60｝的元素个数及这些元素的和.【例4】在等差数列｛an｝中，已知a1=25,S9=S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值・【练习】.已知等差数列｛a｝中a=13且S=S，那么n取何值时，S取最大值.n 1 311 n【例5】在等差数列｛an｝中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn,且Sm=Sn,mWn,求Sm+n.【练习】.已知等差数列｛an｝中，S3=21,S6=64,求数列｛*｝的前n项和Tn【例7】.等差数列｛an｝的前n项和Sn=m，前m项和Sm=n(m>n),求前m+n项和Sm+n.【练习】.一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和.【例8】.证明：数列｛an｝的前n项之和Sn=an2+bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件.【练习】.求证：前n项和为4n2+3n的数列是等差数列.【例9】.在两个等差数列2,5,8,…，197与2,7,12,…，197中，求它们相同项的和.【例10].已知数列^a｝是等差数列，S是其前n项和，求证：（1）S,S-S,S-S成等差数列;n n 6 12 6 18 12（2）设S,S-S,S-S（kEN+）成等差数列k2k k3k2k习题：一、选择题：1、在-9与3之间插入口个数.使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n等于（）A、4 B、5 C、6 D、72、所有被7除余3的两位数之和为（）A、435 B、582 C、659 D、6663、一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为46°,则最大角为（）A、170° B、144° C、139° D、108°4、已知等差数列前n项之和S：n2-17n,则使S最小的n等于（）A、8 B、9nC、10n D、8或95、一个项数为26的等差数列的前四项和为21,末四项的和为67,则S26等于（）TOC\o"1-5"\h\zA.1142 B.572 C.286 D.3526、设等差数列｛an｝的前n项和为30,前2n项和为100,则它的前3n项和为（）A.300 B.170 C.210 D.2607、在等差数列｛an｝中，a产0,anT—an2+an+1=0（nN2）,若S2n_1=38，则n等于（）A.38 B.20 C.10 D.98、一个项数为偶数的等差数列，奇数项和偶数项的和分别为24和30,若最后一项超过第一项5,那么该等差数列的项数是（）A.18 B.12 C.10 D.89、、已知等差数列｛an｝中，d=2,an=11,Sn=35，那么a1的值是（）A.—1或3 B.—1或7 C.5或7 D.不确定10、一个等差数列共有n项，前四项和为124,最后四项和为156,所有n项的和是210,那么该数列的总项数n等于（）A.5 B.6 C.7 D.不确定11、已知等差数列｛an｝中，Sn=25,S2n=100，则S3n等于（）TOC\o"1-5"\h\zA.225 B.250 C.215 D.24512、在等差数列｛a｝中，公差d=1,$100=145，则a]+a3+a5+…+@99的值为（）n 2 100 1 3 5 "A.57 B.58 C.59 D.60二、填空题：13、等差数列｛a｝中，若a/aja/-1,则S5= .n^ 135 514、已知｛an｝为等差数列，且a2+a4+a6+a8=48,则S9=.15、一个有11项的等差数列，奇数项之和为30,则它的中项为.16、等差数列｛an｝的通项公式an=2n-49,前n项和Sn的最小值为.17、等差数列｛an｝中，d=1,S98=137，则a2+a4+a6+・・・+a98=.18、在等差数列｛an｝中，已知a6+a9+a12+a15=34,则前20项之和S20=.19、设f(x)=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…2x+.<2+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为.20、已知数列｛a｝的前n项和S=一3n2+205n,则数列｛a｝的通项公式为n n2 2 n21、已知两个等差数列｛a