第四章指数函数与对数函数单元质量测评

第四章单元质量测评本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟．第I卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是( )A.y—2x2—x+3 B.y一qxI32.C.y=x3 D.y=l0glx答案C 2解析y=2x2-x+3的对称轴x=1,・,.在区间(0,1)上不是增函数，故A错误；又y=[4的底数大于0小于1,为减函数，故B错误；同理y=l0glx为22 , 、，一、，〜一。，减函数，故D错误；y=x3中，指数3〉0，在[0,+8)单调递增，C正确.故选C..函数y= .2x_的定义域是()1g(2x)A.[0,2) B.[0,1)U(1,2)C.(1,2) D.[0,1)答案Bx三0,解析若使函数有意义，则j2—x>0, 解得0<x<2且xW1.选B.、2—xW1,.计算1og225-1og32\：21og59的结果为( )A.3B.4C.5D.6答案D解析利用换底公式,则

原式=lg25

Tg2xlg2乎xlg9_2lg5x2lg2x2lg原式=lg25

Tg2Xlg3xlg5-Tg2X诟3X诉5-2X2X2-6..设a=50.8,b=0.67,c=log074,则a,b,c的大小关系是( )A．a<c<b B．c<a<bC．b<a<cDC．b<a<cc=log07c=log074V0,故c<b<a,故选D.)故选C.角星析 :a=5。.8>5。=1,0<b=0.67<0.60=1.若lg2=a,lg3=b，则log512等于(2a＋b a＋2b 2a＋b a＋2bA.-rn-B.-rn—C.-； D.-j 1＋a1＋a 1－a 1－a答案Clg122lg2+lg32a+b解析皿512=逅5=1—lg2=f6．2011年全球经济开始转暖,据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数>万人关于月数x的函数关系近似的是()A.y=0.2x B.y='(x2+2x)2xC.y—皿 D.y=0.2+logi6x答案C解析当x=1时，否定B；当x=2时，否定D；当x=3时，否定A,故选C.217.函数fx)=-+ln—f的零点所在的大致区间是()x x－1A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(1,2)与(2,3)答案B2 12解析易知fx)在(1,+8)上单调递减，f(2)=1>0,f(3)=3+ln2=3—ln2<0,所以fx)在(2,3)内只有一个零点.8.已知fx)是偶函数，它在［0,+8)上是减函数，若f(lgx)>(1),则x的取

值范围是（ ）11A«10<x<1 B.0<x<10^或x>1C.110Vx<10 D.0<x<1或x>10答案C解析:fx）为偶函数，且fx）在[0,+8）上是减函数，.,fx）在（一8,0）上是增函数.由函数的对称性且川gx）>（1）,.・・一1<lgx<1....110Vx<10.9.实数a,b,c是图象连续不断的函数>=fx)定义域中的三个数，且满足a<b<c,fafb)<0,fcfb)<0,则函数>=fx)在区间(a,c)上的零点个数为( )A.2 B.奇数C.偶数 D.至少是2答案D解析由根的存在性定理，fafb)<0,fcfb)<0,则>=fx)在区间(a,b)上至少有一个零点，在(b,c)上至少有一个零点，而fb)W0,所以y=fx)在区间(a,c)上的零点个数为至少2个.选D.fex+a,xW0,.已知函数fx)=1 1、八(a£R),若函数fx)在R上有两个零点，[2x—1,x〉0则a的取值范围是()A.(—8，—1) B.(—8，0)C.(—1,0) D.[—1,0)答案D解析易知当x>0时，2x-1=0有一个根；所以需使函数y=ex+a(xW0)有一个零点，即方程ex+a=0(xW0)有一个根，即a=—ex,由xW0,得一ex£[—1,0),故a£[—1,0)..已知函数fx)=|log2x|,正实数m,n满足m<n，且fm)=fn)，若fx)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m,n的值分别为()B.4，2D.1,B.4，2D.1,4C.^2,22答案A解析/(x)的图象如图所示:'•m<n,次加)=/(〃)，0<m<l<n.又・・7(x)在(0,1)上递减,.,./m2)=|log2m2|=2,解得加=g.・\A〃)=AM=|log2〃|=iog2J=1,解得77=2,选A.(q—2)x,x22,12.已知函数｛x)="n 满足对任意的实数芭都有TOC\o"1-5"\h\z' 7TL1,x<2 1 2旗/2)<0成立,则实数。的取值范围为()X1X2( 131A.(―0°,2) B1-8,_g_P13 )C.(—8,2] D.于2答案B解析・・•对任意的实数都有/J—八4)<0成立，，当x<x时，1 2 X一X- 1 2fxJfx2),可得函数fx)是定义在R上的减函数，因此，①当x三2时，函数fx)=(q-2)x为一次函数且为减函数，有a<2(*)；②当x<2时，fx)=^2x—1也是减函数，同时，还需满足：2(a—2)W122—1,解得a<：,再结合(*)可得实数a的取值范围是1—8,故选B.第II卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共1小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上).化简：,户一合.(1-2值=4/+2•Y I弋&'3_答案a，”解析原式=-I )一口X尸|X(2。3)2+2a^b~+(a3)2 「耳—2/工金_/(&-86 3iz-―主CL3b》—— —,Xa*X仪—(I弋b.a—8/?.函数/U)=(y)的单调递减区间是.答案［1，+8) . ⑦ 解析令u=x2—2x,其递增区间为［1,+8),根据函数>=qu是定义域上的减函数知，函数fx)的减区间就是［1,+8)..不等式〜〈:的解集是.答案(0,1)U(2,+8)解析由得/哈1＜丁—1.

X当1时1,即logcw＜log52,/.父＞2・当0＜工＜1时/0戏,文〉一L即log^iAlog/2亨，/＜2,即0＜x＜L综上得，不等式的解集为(0J)U(2,+oo).flog(X+1),x＞0,.已知函数fx)=f&2Vc-八若函数g(X)=fx)—m有3个零点，[—X2—2X,X&0,则实数m的取值范围是.答案(0,1)解析如图为已知函数的图象，若函数g(X)=fx)-m有三个零点，等价于直线＞=m和＞=fX)的图象有三个交点，数形结合可知m的取值范围是(0,1).三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).(本小题满分10分)(1)计算：(0.25)0—R6^-0.75+4(1-娘)4+.—4①+lnee+22+log23；(2)已知14a=6,14b=7,用a,b表示log4256.解(1)原式— 4)—1+(.7一1)+"(2—八产十Ine^+23X2^3TOC\o"1-5"\h\z1 ia=—8+2+5+12=境(2)V14a=6,14b=7,，10gl46=a,10gl47=b,log56/.log56=^ ng42 西42=1ogil14+logi44—10g146+1o&47=1+2log142a+b_1+210g14174a+b=1+2(1og1414T0gM7)a+b=3-21ogB7a+b3—2ba+b.18.(本小题满分12分)定义在R上的偶函数>=fx)在(一8,0]上递增，函数fx)的一个零点为一1,求满足7(1。目x)三0的x的取值范围.4一1一 ( 1、 一 解V—2是函数的一个零点，/./—2=0.V>=fx)是偶函数且在(-8,0]2 '乙)上递增，，当1ogxW0,即x三1时，1og^x三一2,解得xW2,即1Wx<2.由对一一一. 、1 「1 1称性可知，当10gLx>0时，2Wx<1.综上所述，x的取值范围是2,2.19.(本小题满分12分)已知函数fx)=lg(3+x)+lg(3—x).(1)求函数y=fx)的定义域；(2)判断函数y=fx)的奇偶性；⑶若f(2m—1)<f(m),求m的取值范围.13+x〉0,解(1)要使函数有意义，则、 、八 解得一3<x<3,[3—x〉0,故函数y=fx)的定义域为(一3,3).(2)由(1)可知，函数y=fx)的定义域为(一3,3),关于原点对称.对任意x£(一3,3)，则」一x£(一3,3),:f一x)=lg(3一x)+lg(3+x)=fx),・・・由函数奇偶性可知，函数y=fx)为偶函数.(3)•・•函数fx)=lg(3+x)+lg(3-x)=lg(9—x2),由复合函数单调性判断法则知，当0Wx<3时，函数y=fx)为减函数.又函数y=fx)为偶函数，，不等式f(2m—1)<f(m)等价于|m|<|2m—1|<3,解得一1<m<3或1<m<2.20.(本小题满分12分)某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，决定用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法.实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%,且在一定范围内，礼品价值为(n+1)元时比礼品价值为n元(n£N*)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品的价值，以便商店获得最大利润.解(1)设未赠礼品时的销售量为m个，则当礼品价值为n元时，销售量为m(1+10%)n个；利润yn=(100—80—n)•m・(1+10%)〃=(20—n)•m11n(0<n<20,n£N*).(2)令yn+1—yn三0,即(19—n)•mT.1n+1—(20—n)•mT.1n三0,解得nW9.•・y1<y2<y3<...<y9=y10.令yn+1—yn+2三0，即(19—n)•mT.1n+1—(18—n)•mT.1n+2三0,解得n三8.・・y9=y10>yn>y12>yJ…〉y19，,・礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润.21.(本小题满分12分)已知函数fx)=bd(q,b为常数，且a>0,a#1,

bW0)的图象经过点^(1,8),B(3,32).(2)若不等式&jx+

ka(2)若不等式&jx+

ka7x—m三0在x£(—8,1］时恒成立，求实数m的取值范围.解(1);函数fx)=b-ax的图象经过点^(1,8),B(3,32),'ab=8,Y 又a>0,/a=2,b=4.a3b=32,(2)由题意，知mW2(2)由题意，知mW2x+k214[x在x£(—8,1]时怛成立.设g(x)=12)+x,x£(一8,1],则m&g(x)min.・•g(x)在(一8,1]上是减函数，113•gx)mm=g(1)=2+4=4，331:・m<4.故实数m的取值范围为1—8,411ax22.(本小题满分12分)设fx尸小三不+x为奇函数，a为常数.(1)求a的值；⑵判断函数fx)在x£(1,+8)上的单调性，并说明理由;⑶若对于区间［3,4］上的每一个x值，不等式fx)＞丘jx+m恒成立，求实数的取值范围.—ax，，一…角牛(1)•/f(x)=log1x_1+x为奇函数，:・f(—x)+fx)=0对定义域内的任意x都成立,+ax 1—ax’10gl——1—x+logi^―1+x=0，2.1+ax1—ax・・—x—1x—1 1，解得a=—1或a=1(舍去).

任取X],%'任取X],%'(1，+°°),设则(2)由(1)知，・・"(x)=log—+x,—JvJL2>0,1+X]l+%2一2(%—xj>0,X]—lx2—1(%—1)(%—1)1+x,1+x°・•・^>0,X]—1 %—1+X| 1