2025年新高考数学一轮复习第4章第01讲三角函数概念与诱导公式(九大题型)(练习)(学生版+解析)

第01讲三角函数概念与诱导公式目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 2题型二：等分角的象限问题 2题型三：弧长与扇形面积公式的计算 3题型四：割圆术问题 3题型五：三角函数的定义 4题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值 5题型七：弦切互化求值 5题型八：诱导求值与变形 6题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 602重难创新练 703真题实战练 10题型一：终边相同的角的集合的表示与区别1．与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

3．与终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．4．把表示成的形式，则θ的值可以是（

）A． B． C． D．题型二：等分角的象限问题5．如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．若角是第二象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角7．已知θ为第二象限角，若，则在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角题型三：弧长与扇形面积公式的计算9．已知一个扇形圆心角，所对的弧长，则该扇形面积为．10．（2024·高三·浙江金华·期末）已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为．11．已知扇形的周长为，则这个扇形的面积为，则该扇形圆心角的弧度数为．12．（2024·宁夏·二模）最美数学老师手表上的时针长度是1厘米，则时针（时）转出的扇形面积是平方厘米．13．已知一扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角弧度．题型四：割圆术问题14．刘徽（约公元225年年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，当变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，得到的近似值为（

）A． B． C． D．15．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（

）．A． B．C． D．16．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（

）

A． B． C． D．题型五：三角函数的定义17．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，锐角以为顶点，为始边.将的终边绕逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则（

）A． B． C． D．18．已知角终边上一点，若，则的值为（

）A． B．2 C． D．19．如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第4次相遇时，点的坐标是（

）A． B．C． D．题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值20．如果是第一象限角，则（

）A．且 B．且C．且 D．且21．（2024·高三·河北·期末）“是第二象限角”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件22．已知点在第三象限，则角在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限23．（多选题）若，则角的终边可能在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限题型七：弦切互化求值24．若，则．25．（多选题）已知，，则（

）A． B．C． D．26．（多选题）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．27．已知是关于的方程的两个实根，则的值为．28．设，则29．（2024·吉林长春·三模）已知，且，则．题型八：诱导求值与变形30．已知是第三象限角，且，则，.31．已知，则的值为（

）A． B． C． D．32．已知，则（

）A． B． C． D．33．已知，若，则的值为（

）A． B． C． D．题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用34．已知，且为第三象限角．(1)求，的值；(2)求的值．35．已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点.(1)求的值；(2)若，求的值.36．已知函数(1)化简；(2)若，求､的值；(3)若，求的值.1．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（

）

A． B． C． D．2．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（

）A． B． C． D．3．已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．4．（2024·山东济南·二模）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（

）A． B． C． D．5．（2024·山东济南·三模）若，则（

）A．1 B． C．2 D．6．（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．7．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义：A． B． C． D．12．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知，则13．已知，，则.14．（2024·湖北十堰·模拟预测）已知，则．15．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知、是方程的两个实数根.(1)求实数的值；(2)求的值；(3)若，求的值.16．（2024·福建福州·一模）已知（1）求的值；（2）若，且角终边经过点，求的值1．（2021年全国新高考I卷数学试题）若，则（

）A． B． C． D．2．（2015年山东省春季高考数学真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（

）A． B．C． D．3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若α为第四象限角，则（

）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<04．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷））若，且为第四象限角，则的值等于A． B． C． D．5．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版））已知，则．A． B． C． D．6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若，则．7．（2022年新高考浙江数学高考真题）若，则，．8．（2021年北京市高考数学试题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为．9．（2020年浙江省高考数学试卷）已知圆锥的侧面积（单位：）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是．第01讲三角函数概念与诱导公式目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 2题型二：等分角的象限问题 3题型三：弧长与扇形面积公式的计算 5题型四：割圆术问题 6题型五：三角函数的定义 8题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值 9题型七：弦切互化求值 10题型八：诱导求值与变形 13题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 1402重难创新练 1603真题实战练 25题型一：终边相同的角的集合的表示与区别1．与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为与角终边相同的角是，，所以当时，与角终边相同的角是，D选项符合，其他选项不满足.故选：D2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，故选：C．3．与终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．与终边相同的角可以写成的形式，时，，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确．故选：D．4．把表示成的形式，则θ的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，故选：B．题型二：等分角的象限问题5．如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】∵α为第三象限角，∴，∴，令，，时，，，可得的终边在第一象限；令，时，，，可得的终边在第三象限，令，时，，，∴可得的终边在第四象限，故选:B．6．若角是第二象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】C【解析】由题意可知，当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴，当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴，即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限.故选：C.7．已知θ为第二象限角，若，则在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因为θ为第二象限角，所以，则，当时，，当时，，因为，所以，所以在第三象限，故选:C8．若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角【答案】D【解析】由题意知，，，则，所以，．当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．所以是第二或第四象限角.故选：D.题型三：弧长与扇形面积公式的计算9．已知一个扇形圆心角，所对的弧长，则该扇形面积为．【答案】【解析】因为扇形圆心角，且所对的弧长，设扇形所在圆的半径为，可得，解得，所以扇形的面积为.故答案为：.10．（2024·高三·浙江金华·期末）已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为．【答案】/【解析】圆锥的侧面积即是侧面展开图对应的扇形的面积，所以侧面积.故答案为：.11．已知扇形的周长为，则这个扇形的面积为，则该扇形圆心角的弧度数为．【答案】或【解析】设扇形半径为，由题意可知：扇形的弧长为，则扇形的面积为，解得或2，可得扇形的弧长为或3，所以该扇形圆心角的弧度数为或.故答案为：或.12．（2024·宁夏·二模）最美数学老师手表上的时针长度是1厘米，则时针（时）转出的扇形面积是平方厘米．【答案】/【解析】时针长度是1厘米，则时针（时）转出的扇形面积（平方厘米）．故答案为：13．已知一扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角弧度．【答案】.【解析】由题意，扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，且扇形周长为20，可得，即，则扇形的面积，当时，扇形面积取得最大值，此时.故答案为：.题型四：割圆术问题14．刘徽（约公元225年年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，当变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，得到的近似值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】将一个单位圆分成360个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为，∵这360个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，∴，∴.故选：B.15．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为，所以，单位圆的内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，，则.故选：A.16．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】设圆的半径为，依题意小扇形的圆心角为，依题意，小扇形的面积近似等于小等腰三角形的面积，故，化简得.故选：D题型五：三角函数的定义17．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，锐角以为顶点，为始边.将的终边绕逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，由，，得，所以.故选：D18．已知角终边上一点，若，则的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】由角终边上一点，得，因此，解得，所以的值为.故选：D19．如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第4次相遇时，点的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】相遇时间为秒，故转过的角度为，其对应的坐标为，即.故选：C题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值20．如果是第一象限角，则（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【解析】因为是第一象限角，则，，所以，，所以是第一或第三象限角，则或，，故排除B、D；又，，所以的终边在第一、第二象限或在轴的非负半轴上，则，当的终边在轴的非负半轴上时，无意义，故排除A.故选：C21．（2024·高三·河北·期末）“是第二象限角”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：若是第二象限角，则，，可推出，充分性成立；必要性：若，即与异号，则为第二象限或第三象限角，必要性不成立；故选：A22．已知点在第三象限，则角在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵点在第三象限，∴，∴在第四象限.故选：D.23．（多选题）若，则角的终边可能在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】BD【解析】由题意可得：，即同号，所以角的终边可能在第一象限或第三象限.故AC错误，BD正确.故选：BD.题型七：弦切互化求值24．若，则．【答案】/【解析】因为，所以.故答案为：.25．（多选题）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】，，，故A正确B错误；由，所以，，又，所以，故C错误D正确.故选：AD26．（多选题）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为，平方可得，解得，因为，所以，所以，所以A正确；又由，所以，所以D正确；联立方程组，解得，所以B正确；由三角函数的基本关系式，可得，所以C错误.故选：ABD27．已知是关于的方程的两个实根，则的值为．【答案】/【解析】因为，是关于的方程的两个实根，可得，平方可得，可得，所以.故答案为：28．设，则【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为：29．（2024·吉林长春·三模）已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以.故答案为：题型八：诱导求值与变形30．已知是第三象限角，且，则，.【答案】/【解析】由二倍角公式得：，因为是第三象限角，所以解得，再由平方关系解得：，所以，，所以，，故答案为：.31．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C32．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得.故选：C.33．已知，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，即，当且仅当时，等号成立，又因，故，所以，，因此.故选：D.题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用34．已知，且为第三象限角．(1)求，的值；(2)求的值．【解析】（1）因为，，所以，又为第三象限角，所以，所以；（2）由诱导公式化简得：．35．已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点.(1)求的值；(2)若，求的值.【解析】（1）由题意得，；（2），.36．已知函数(1)化简；(2)若，求､的值；(3)若，求的值.【解析】（1）（2）因为，所以为第三象限角或第四象限角.当为第三象限角时，；当为第四象限角村，.（3）因为，所以.因为，所以.故.因此.1．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】延长与交于点．由，，得，．因为所对的圆心角为直角，所以，．所以该梅花砖雕的侧面积，扇环的面积为，则该梅花砖雕的表面积．故选：C．2．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设弧的长为，弧的长为.因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5，所以，，即，.因为，所以.又因为，联立可得，解得，所以该扇环的内弧长为.故选：A3．已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为，为圆心，如下图，取的中点，连接，则，则，则扇形的半径，所以扇形的弧长，.故选：D.4．（2024·山东济南·二模）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，由题意可知，两质点起始点相差角度为，则，解得，若，则，则重合点坐标为，若，则，则重合点坐标为，即，若，则，则重合点坐标为，即，当与第2024次重合时，，则，则重合点坐标为，即.故选：B.5．（2024·山东济南·三模）若，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以，故选：B6．（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函数的定义可得，所以.故选：B.7．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义：①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即；②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即；③把点的纵坐标的倒数叫作的余割，记作，即；④把点的横坐标的倒数叫作的正割，记作，即.下列结论正确的有（

）A．B．当时，C．函数的定义域为D．当且时，【答案】ABD【解析】选项A：，故A正确.选项B：当时，成立，故B正确.选项C：函数的定义域为，故C错误.选项D：当且时，，成立，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：ABD.8．（2024·北京·三模）“为锐角三角形”是“，，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：因为为锐角三角形，所以，即，所以，同理可得，，故充分性得证；必要性：因为，所以，因为，所以，若，则，若，则，所以，综上，，同理，所以为锐角三角形，必要性得证，综上所述，为充分必要条件.故选：C.9．（多选题）（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（

）A．若角的终边过点，则角的集合是B．若，则C．若，则D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是【答案】ABC【解析】因为角的终边过点，为第一象限角，所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同，所以角的集合是，故A选项正确；因为，所以B选项正确；因为，所以C选项正确；设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为，所以扇形周长为，故，所以D选项不正确．故选：ABC10．（多选题）（2024·高三·山东济宁·开学考试）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．2【答案】BD【解