2025年新高考数学一轮复习第3章重难点突破08利用导数解决一类整数问题(四大题型)(学生版+解析)

重难点突破08利用导数解决一类整数问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离 2题型二：整数解问题之直接限制法 3题型三：整数解问题之虚设零点 4题型四：整数解问题之必要性探路 503过关测试 7

利用导数解决一类整数问题常见技巧有：1、分离参数、分离函数、半分离2、直接限制法3、虚设零点4、必要性探路题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离【典例1-1】（2024·高三·江西·期末）若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例1-2】若函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1-1】（2024·高三·福建泉州·期中）关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式1-2】已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-3】若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1-4】（多选题）（2024·高三·广东揭阳·期末）已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数a的可能取值为（

）A． B． C． D．【变式1-5】（2024·河南·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是.题型二：整数解问题之直接限制法【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）若对于，，使得不等式恒成立，则整数x的最大值为．【典例2-2】（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是．【变式2-1】（2024·高三·重庆·期中）若关于x的不等式的解集中恰有三个整数解，则整数a的取值是（

）(参考数据:ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)A．4 B．5 C．6 D．7【变式2-2】（2024·海南海口·模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为．【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过原点．(1)求的值；(2)设，若对总，使成立，求整数的最大值．【变式2-4】已知函数.(1)当时，证明：；(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【变式2-5】（2024·江西·模拟预测）已知函数.(1)求函数在区间上的最大值；(2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.题型三：整数解问题之虚设零点【典例3-1】已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)当时，恒成立，求整数a的最大值．【典例3-2】（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数，对任意的，关于的方程有两个不同实根，则整数的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）当时，恒成立，则整数的最大值为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【变式3-2】（2024·浙江·三模）已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为.【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．题型四：整数解问题之必要性探路【典例4-1】（2024·安徽合肥·三模）对于定义在上的函数，若存在，使得，则称为的一个不动点．设函数，已知为函数的不动点．(1)求实数的取值范围；(2)若，且对任意满足条件的成立，求整数的最大值．（参考数据：，，，，）【典例4-2】已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是.【变式4-1】（2024·浙江台州·一模）设(1)求证：；(2)若恒成立，求整数的最大值．（参考数据，）【变式4-2】已知，函数，．(1)若，求证：在上是增函数；(2)若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值．【变式4-3】已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)若在上恒成立，求整数a的最小值.【变式4-4】，对，，求整数的最小值．1．已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的最小整数为．3．（2024·云南·三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是.4．（2024·广东深圳·模拟预测）若关于x的不等式对任意的恒成立，则整数k的最大值为.5．（2024·甘肃·三模）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为.6．（2024·江苏常州·模拟预测）已知函数，若的解集中恰有一个整数，则m的取值范围为．7．（2024·高三·上海宝山·期中）若不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是．8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数．(1)若，求证：；(2)当时，对任意，都有，求整数的最大值．9．（2024·贵州·一模）已知．(1)讨论的单调性；(2)若对恒成立，求整数a的最小值．10．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值．11．（2024·广西桂林·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，且存在整数使得恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，）12．设函数(1)求的单调区间(2)若，k为整数，且当时，求k的最大值13．已知，R．(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．14．已知函数.(1)若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；(2)若，在上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：，）15．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，曲线在点处切线方程为.(1)求实数a的值及函数的单调区间；(2)若时，，求整数m的最大值.16．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数.(1)判断函数的单调性；(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.17．已知函数，在上恒成立，求整数k的最大值.18．已知函数(1)讨论的单调性；(2)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值19．（2024·高三·广东·开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)当时，求的最小值；(2)若对定义域内的一切实数，都有，求整数的最小值．（参考数据：）重难点突破08利用导数解决一类整数问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离 2题型二：整数解问题之直接限制法 9题型三：整数解问题之虚设零点 14题型四：整数解问题之必要性探路 1803过关测试 24

利用导数解决一类整数问题常见技巧有：1、分离参数、分离函数、半分离2、直接限制法3、虚设零点4、必要性探路题型一：整数解问题之分离参数、分离函数、半分离【典例1-1】（2024·高三·江西·期末）若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】原不等式等价于，设，，则，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.又，时，，因此与的图象如图，当时，显然不满足题意；当时，当且仅当，或.由第一个不等式组，得，即，由第二个不等式组，得，该不等式组无解.综上所述，.故选：A.【典例1-2】若函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，得有两个实根，设，则，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；故当时，函数取得极大值，且，又时，；时，；当时，，，作出函数的大致图象，如图所示：直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为，由题意知，又，，因为存在唯一的整数，所以，又直线与的图象有两个交点，由图可知：，即.故选：C.【变式1-1】（2024·高三·福建泉州·期中）关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，即的解集中有且仅有两个大于2的整数，构造函数，即的解集中有且仅有两个大于2的整数，当时，对于，，即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.所以..若，即，设，，设，，在上递减，且，所以当时，，递减，由于，所以当时，，所以当时，递减，所以，所以当时，恒成立，即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意.所以，即，解得，所以的取值范围是.故选：D【变式1-2】已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，，当时，且，作出的函数图象如图所示：由仅有一个整数解，得只有一个整数解，设，由图象可知：当时，在上恒成立，不符合题意，当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1，所以，即，解得．故选：D．【变式1-3】若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，且，可得，构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，且，由题意可得，解得，所以的取值范围是.故选：C.【变式1-4】（多选题）（2024·高三·广东揭阳·期末）已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数a的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】令，得.令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.如图，分别作出函数与的图象，其中直线恒过定点.由图可知，，，存在唯一的整数，使得，则需，故实数a的取值范围是，其中，，而，，故选：AC.【变式1-5】（2024·河南·模拟预测）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是.【答案】【解析】函数存在唯一的整数，使得，设与,即存在唯一的整数，使得在直线上方,，当时，,在上单调递增；当时，,在上单调递减，,，若要存在唯一的整数，使得在直线上方，则或，代入得或，解得,故答案为：.题型二：整数解问题之直接限制法【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）若对于，，使得不等式恒成立，则整数x的最大值为．【答案】【解析】恒成立，等价于.令，，则，注意到时，，，时，.则在上单调递减，在上单调递增，则.则，则.令，.当，，故满足条件；当，则在上单调递减，故.令，.则，得在上单调递增，时，，不合题意；综上，整数x的最大值为.故答案为：.【典例2-2】（2024·河南南阳·一模）已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是．【答案】（答案不唯一，中的任意整数均可）【解析】由可知，，又在上有最小值，所以在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令，则在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，所以，解得，又因为，所以.故答案为：（答案不唯一，中的任意整数均可）.【变式2-1】（2024·高三·重庆·期中）若关于x的不等式的解集中恰有三个整数解，则整数a的取值是（

）(参考数据:ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】不等式可整理为，当时，成立，所以其它两个整数解大于1，当时，原不等式可整理为，令，则，令，则，当时，，则在上单调递增，又，所以，所以在上单调递增，所以不等式的两个整数解只能是2,3，所以不等式的三个整数解为1,2,3，则，解得，因为，，，所以整数.故选：B.【变式2-2】（2024·海南海口·模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为．【答案】，，，只需写出一个答案即可【解析】设切点为，因为，所以切线方程为．因为切线经过点，所以，由题意关于的方程没有实数解，则，解得．因为为整数，所以的取值可能是，，.故答案为：，，，只需写出一个答案即可【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过原点．(1)求的值；(2)设，若对总，使成立，求整数的最大值．【解析】（1）易知的定义域为，又，的图象在处的切线方程为，将代入，得；（2）．当时，取得最小值，．由（1）知，．，得的定义域为．则，易知单调递增，又．即在上有唯一解，故．于是当时，在上单调递减；当时，在上单调递增．在处取得极小值也是最小值．则，对总，使成立，只需，得．故整数的最大值为．【变式2-4】已知函数.(1)当时，证明：；(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【解析】（1）当时，，，令，得，当时，单调递增；当时，单调递减，所以在处取得唯一的极大值，即为最大值，所以，所以，而，所以.（2）令.则.当时，因为，所以，所以在上单调递增，又因为.所以关于的不等式不能恒成立；当时，.令，得，所以当时，；当时，.因此函数在上单调递增，在上单调递减.故函数的最大值为.令，因为，又因为在上单调递减，所以当时，.所以整数的最小值为3.【变式2-5】（2024·江西·模拟预测）已知函数.(1)求函数在区间上的最大值；(2)若为整数，且关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【解析】（1）若时，在区间上单调递减，所以.若，则二次函数图象对称轴，当，即时，1离对称轴近，2离对称轴远，所以.当，即时，1离对称轴远，2离对称轴近，.若，对称轴在区间上单调递减，综上，.（2）因为恒成立，即恒成立，令,所以,当时，因为，所以，所以在上是单调递增函数.又因为，所以关于的不等式不能恒成立.当时，,令得，所以当时，；当时，.因此函数在上是增函数，在上是减函数.故函数的最大值为.令，因为.又因为在上是减函数，所以当时，,即关于的不等式恒成立，所以整数的最小值为2.题型三：整数解问题之虚设零点【典例3-1】已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)当时，恒成立，求整数a的最大值．【解析】（1）若，则，，则切点坐标为，，则切线斜率，所以切线方程为，即．（2）由，得，当时，，；当时，，设，，设，，则在单调递增，，，所以存在使得，即．时，，即；时，，即，则有在单调递减，在单调递增，，所以，因为，所以，所以整数a的最大值为4．【典例3-2】（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数，对任意的，关于的方程有两个不同实根，则整数的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由，即，得，设，则，显然是上的增函数.因为，所以存在，使得，即；当时，，当时，0，则；令，则，当时，，在上单调递减，因为，所以，则，又为整数，所以.故选：A【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）当时，恒成立，则整数的最大值为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】由题意得，在上恒成立，设，，所以，因为，令，，则，所以在上单调递增，因为，，所以在上仅有一个实数根，设为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.因为，，所以，将代入可得，令，，则，所以在上单调递增，又，，所以，当时，不成立，又，则整数的最大值为.故选：B.【变式3-2】（2024·浙江·三模）已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为.【答案】【解析】依题意对任意，且有，因为存在使得不等式成立，所以存在使得，即，令，，则，令，，则在上单调递增，且，，所以使得，即，，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，因为，所以，所以，依题意，又为整数，所以，所以的最大值为.故答案为：【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．【解析】（1）当时，，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由题意，知对任意恒成立，可知对任意恒成立．设函数，只需．对函数求导，得．设函数，对函数求导，得，所以函数在上单调递增．又，所以存在，使，即，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，所以．又，所以，所以整数的最大值为2．题型四：整数解问题之必要性探路【典例4-1】（2024·安徽合肥·三模）对于定义在上的函数，若存在，使得，则称为的一个不动点．设函数，已知为函数的不动点．(1)求实数的取值范围；(2)若，且对任意满足条件的成立，求整数的最大值．（参考数据：，，，，）【解析】（1）依题意，方程在内有根，且，令，，求导得，当时，在，上都递增，而，因此函数在、无零点，当时，令，，，则函数在，上都递增，当时，当时，，函数在上递增，无零点，当时，，则存在，使得，即，当时，递减，在时，递增，，而，有，，因此存在，使得，即函数在上有零点，则，当时，当时，，函数在上递减，，无零点，当时，，则存在，使得，即，当时，递减，在时，递增，，，令，求导得，令，则，即函数在上单调递增，，函数在上单调递增，因此存在，使得，即函数在上有零点，则，所以实数的取值范围是.（2）依题意，，于是，即因为，取，有，因此取2，下证：对任意成立，令，，当时，递增，当时，递减，，即对恒成立，当时，，令，，函数在上递增，，即，从而成立，当时，只需证：成立，令，，只需证，，令，，显然在上递增，，，即存在，使，且当时，递减，当时，递增，，整理得，因为函数在递减，所以，所以在恒成立，即在递增，显然，所以成立.【典例4-2】已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是.【答案】1【解析】通过观察可得恒成立；整数满足恒成立则一定满足恒成立；注意到时，，取特殊值，得到，可验证当时，若取大于的整数，都有使得.下面验证满足恒成立：令，，，，由零点存在定理得：存在使得.且当，，单调递减；，，单调递增；满足.，当且仅当取等，,可得恒成立，即恒成立，恒成立.综上，可知满足题意的最大整数为.故答案为：1【变式4-1】（2024·浙江台州·一模）设(1)求证：；(2)若恒成立，求整数的最大值．（参考数据，）【解析】（1）要证：，（，），只要证：，又当时，，当时，，即与同号，故只要证：，即证：，令，（，），则，当时，，时，，所以在上递减，在上递增，所以，故原不等式得证．（2）因为，当时，有，则，所以整数．当时，由（1）可得，下证：，，只要证：．令，，因为，所以在上单调递减，故，所以得证,综上所述，整数的最大值为2．【变式4-2】已知，函数，．(1)若，求证：在上是增函数；(2)若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值．【解析】（1），令，，令,解得在上单调递减,单调递增，，，命题得证.（2）存在,使得对于成立,等价于存在,使得对于成立，由于,原题意的必要条件是,对都成立设,使得,即，在是减函数,在是增函数,其中,即，，显然,由上图知,，对都成立的最大整数是2，以下证明充分性,当时,存在,使得恒成立,,由上证明知存在大于0的正的最小值,故存在大于0的,使得恒成立，当时,设,故对不恒成立，存在,使得对于任意的成立,最大的整数的值是2.【变式4-3】已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)若在上恒成立，求整数a的最小值.【解析】（1）当时，，则，令得.若，则；若，则.所以；（2）由，可得，当时，，则，即.当时，令，则，则在上单调递增，所以，所以成立.因此整数a的最小值为1.【变式4-4】，对，，求整数的最小值．【解析】当时，，此时不合题意，当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，函数的最大值为，即满足题意，下面证明当时，对恒成立，由于，其对称轴为，故当时，，综上可得，整数的最小值为1．1．已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数，可得，其中，若时，，则在上单调递增，且，所以有无数个整数解，不符合题意，若时，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，所以，综上可得，实数的取值范围为.故选：B.2．（2024·全国·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的最小整数为．【答案】1【解析】当时，，不等式恒成立，则，即恒成立，亦即恒成立，令，，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以，因为，所以，所以恒成立，即，令，，则，令，，则恒成立，所以在单调递增，所以，即在恒成立，所以在单调递增，所以，即，，故，据此可判断满足不等式成立，所以实数的最小整数为.故答案为：3．（2024·云南·三模）设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是.【答案】【解析】由函数，设和因为存在唯一整数，使得，所以存在唯一的整数使得在直线的下方，如图所示，因为，当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增，当时，取得极小值，也为最小值，且当时，，当时，，又由直线恒经过原点，斜率为（其中），所以且，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：4．（2024·广东深圳·模拟预测）若关于x的不等式对任意的恒成立，则整数k的最大值为.【答案】1【解析】因为对于任意恒成立，等价于对于任意恒成立，令，，则，令，，则，所以在上单调递增，又，所以在有且仅有一个根，满足，即，当时，，即，函数单调递减，时，，即，函数单调递增，所以，由对勾函数可知，即，因为，即，，，所以.故答案为：1.5．（2024·甘肃·三模）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为.【答案】1【解析】因为对于任意恒成立，等价于对于任意恒成立，令，，则，令，，则，所以在上单调递增，又，，所以在有且仅有一个根，满足，即，当时，，即，函数单调递减，时，，即，函数单调递增，所以，由对勾函数可知，即，因为，所以，，所以.故整数的最大值为1.故答案为：16．（2024·江苏常州·模拟预测）已知函数，若的解集中恰有一个整数，则m的取值范围为．【答案】【解析】由题可知，，，由于的解集中恰有一个整数，即，即，因为，所以的解集中恰有一个整数，令，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，画出和的大致图象，如图所示：要使得，可知，设为和的交点的横坐标，而的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即，当时，得；当时，得，即，，当直线过点时，得，当直线过点时，得，所以的取值范围为.故答案为：7．（2024·高三·上海宝山·期中）若不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是．【答案】【解析】原不等式等价于，，设，所以，令，得．当时，，单调递增，当时，，单调递减．又，时，，因此与的图象如下，当时，显然不满足条件，当时，只需满足，解可得，．故答案为：．8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数．(1)若，求证：；(2)当时，对任意，都有，求整数的最大值．【解析】（1）时，设，则，，即在上恒成立，在上单调增，

又，即；（2）时，当时，，所以．下证符合．时，当时，，所以当时，．记，则只需证对恒成立．，令，则在递减，又，所以存在，使得，则在递增，在递减；又，所以存在使得，且，所以在递增，在递减，又，所以对恒成立，因为，所以符合．综上，整数的最大值为3．9．（2024·贵州·一模）已知．(1)讨论的单调性；(2)若对恒成立，求整数a的最小值．【解析】（1）的定义域为，（ⅰ）当时，，∴在上单调递增；（ⅱ）当时，令，令，∴当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）由，可得：，∵，∴原命题等价于对恒成立．令，∴，令，∴，∴在上单调递增．又，故存在唯一的，使得．当时，，∴，∴在上单调递增，当时，，∴，∴在上单调递减．∴，∴时，恒成立．∴，又，∴a的最小整数值为2．10．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值．【解析】（1），其定义域为，，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由，得，所以．令，则，所以在上单调递增，因为，，所以存在，使得，即，即．故当时，，当时，，又当时，（等号仅在时成立），所以当时，；当时，（等号仅在时成立）．所以在上单调递增，在上单调递减，则．令，，则，所以在上单调递增，则，．所以，所以．11．（2024·广西桂林·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，且存在整数使得恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，）【解析】（1），，若，则，，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，若，则，所以函数在上递增，若，则，当或时，，当时，，所以函数在上递减，在和上递增，若，则，当或时，，当时，，所以函数在上递减，在和上递增，综上所述，当时，函数在上递减，在上递增，当时，函数在上递增，当时，函数在上递减，在和上递增，当时，函数在上递减，在和上递增；（2）若，，，，令，则，令，则，所以函数在上递增，即函数在上递增，又，则当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，又，，，所以函数存在唯一的零点，且，此时，则当时，，即，当时，，即，所以函数在上递减，在上递增，所以，令，，则，，所以函数在上递减，所以，又，，所以，又存在整数使得恒成立，所以整数的最大值为0.12．设函数(1)求的单调区间(2)若，k为整数，且当时，求k的最大值【解析】（1）函数的定义域是，，当时，，所以函数在上单调递增，当时，时，，当，所以，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）由于，所以，故当，，等价于令，①则，由(1)可知，当时，函数在上单调递增，而，所以在存在唯一零点，故在存在唯一零点，设此零点为，则有，当时，，当时，，所以在上的最小时为，又由，可得，所以，由于①等价于，故整数的最大值为2.13．已知，R．(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．【解析】（1）由题意得的定义域为，，①时，，在内单调递减，②时，令得或（舍）当，单调递减当，，单调递增．（2）由题意得，整理得，因为，所以原命题等价于在区间内恒成立，令，则，令，易知在区间内单调递增，又，，故存在唯一的，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；故当时，函数有极大值，也即为最大值，，故，又，故，又a为整数，故a的最小整数值为14．已知函数.(1)若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；(2)若，在上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：，）【解析】（1），函数定义域为，∵在上单调递增，∴在上恒成立，，记，，解得，，解得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，a的取值范围为（2）由可知，，∴，记，∵，令，，，解得，，解得在上单调递减，在上单调递增，，，∴，，，，∴，∴单调递减，，，，∴单调递增，，∵，，∴，∴整数k的最大值为6．15．（202