数学自我小测：类比推理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．下列类比正确的是(）．A．平面内两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则空间中两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．平面内两组对边分别平行的四边形是平行四边形,则空间内两组对边分别平行的四边形为平行四边形C．平面内垂直于同一条直线的两直线平行，则空间内垂直于同一条直线的两直线平行D．平面内n边形的内角和为（n－2)×180°，则空间内n面体的各面内角和为n(n－2）×180°2．下面使用类比推理恰当的是()．A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出若“a·0＝b·0，则a＝b”B．“（a＋b）c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“（a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“”D．“（ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”3．下面类比推理所得结论正确的是()．A．由(a＋b）2＝a2＋2ab＋b2类比得(a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2B．由｜a｜＝｜b|⇒a＝±b(a，b∈R）类比得|a｜＝｜b｜⇒a＝±bC．由ax＋y＝ax·ay(a∈R)类比得sin（α＋β)＝sinα·sinβD．由（ab）c＝a(bc）(a，b，c∈R)类比得（a·b)·c＝a·(b·c)4．下列推理是合情推理的是(）．①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了,推出该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是（n－2)180°A．①②B．①③④C．①②④D．②④5．类比以(0，0）为圆心、以r为半径的圆的方程x2＋y2＝r2，写出以(0，0，0)为球心、以r为半径的球的方程为__________．6．（2011山东枣庄高考调研)在平面几何中,有射影定理：“在△ABC中，AB⊥AC，点A在BC边上的射影为D,有AB2＝BD·BC。”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥ABCD中，AD⊥平面ABC，点A在底面BCD上的射影为O,则有__________．"7．已知等差数列｛an｝，公差为d，前n项和为Sn，有如下性质：（1)通项an＝am＋(n－m）d.(2)若m＋n＝2p，m、n、p∈N＋，则am＋an＝2ap.（3）Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．类比得出等比数列的性质．8．三角形的面积为，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，求出四面体的体积公式．求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．例如：原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积．”求出体积后，它的一个“逆向"问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长"；也可以是“若正四棱锥的体积为,求所有侧面面积之和的最小值”．试给出问题“在平面直角坐标系xOy中，求点P（2,1）到直线3x＋4y＝0的距离"的一个有意义的“逆向"问题．

参考答案千里之行始于足下1．B空间内两组对边分别相等的四边形不一定是平行四边形，但两组对边平行,则一定在一个平面内是平行四边形．2．C可以按照实数的运算法则进行判断．3．A逐一进行判断．A正确,向量的数量积运算就按多项式乘法法则运算．B不正确,向量既有大小，又有方向,大小相等不能说明方向相同或相反．C由两角和的三角函数公式可知不正确．D向量的数量积不满足结合律，故D错．4．C③不符合合情推理．5．x2＋y2＋z2＝1将平面方程推广到空间中需用三维坐标，球上任意一点(x,y,z）到球心的距离等于半径．6．7．解：等比数列{bn｝，公比为q,前n项和为Sn，有如下性质：（1)通项an＝amqn－m。（2)若m＋n＝2p,p、m、n∈N＋,则。（3)Sn，，构成等比数列．8．解：（S1＋S2＋S3＋S4）r（S1、S2、S3、S4分别为四个面的面积，r为内切球半径）．如下图，设△ABC的三边与⊙O分别切于点D、E、F，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD＝OE＝OF＝r.连接OA、OB、OC，则S△ABC＝S△OAB＋S△OAC＋S△OBC＝cr＋br＋ar＝(a＋b＋c)r。类似地，如下图,三棱锥P。ABC的内切球为球O，半径为r,则球心O到各面的距离都为r，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则VP。ABC＝VO。ABC＋VO.PBC＋VO。PAC＋VO。PAB＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r＝(S1＋S2＋S3＋S4)r。百尺竿头更进一步解：本题的答案不唯一，下列答案都属于有意义的“逆向”问题．（1）“若点P(2,1）到过原点的直线l的距离为2,求直线l的方程"；（2)“若点P（2,1）到直线l：ax＋by＝0的距离为2，求a，b之间的关系