浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高三上学期数学期末试卷

浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U−Z，集合A={x|A．A⊆B B．B⊆A C．A=B D．A∩B=∅2．设i为虚数单位，若复数z满足z=−3−3i1−i，则A．−3i B．−3 C．3i D．33．已知向量a=(−2，3)，A．−43 B．−1 C．44．已知函数f(x)=3sinA．3 B．32 C．−325．图①中的“马头墙”是我国江南传统民居建筑的重要特色之一，它的顶部称之为垛．每只垛的结构如图②，可近似地看成由一个正三棱柱和两个完全相同的正四面体构成的几何体．已知AD=1，AB=4，FG=13A．39+8 B．36+8 C．6．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+yA．2024 B．10123 C．3 7．已知四边形ABCD的四个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，则“A，B，C，DA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知数列{an}满足a1=0，a2=A．22024−47 B．22024+37二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某电商平台为了对某一产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示：单价x/元88.599.510销量y/万件8985807868根据以上数据得到y与x具有较强的线性关系，若用最小二乘估计得到经验回归方程为y=−19A．相关系数r>0B．点(9C．aD．x=9.510．已知M为直线x−y+5=0上的一点，动点N与两个定点O(0，A．动点N的轨迹方程为(B．|C．|MN|D．∠AON的最大角为π11．对于任意实数x，[x]表示为不超过x的极大整数，如[−1A．若x≤y时，则[B．若x，y∈R，则[C．若n∈N*，x∈RD．若n∈N*，x∈R12．已知直三棱柱ABC−A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，AE=mABA．存在正实数m，n，t，使得截面Ω为等边三角形B．存在正实数m，n，t，使得截面Ω为平行四边形C．当1m+1t=1D．当m>1，0<n<1，0<t<1时，截面Ω为梯形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在(3x+13x14．若a，b>0，且log2(ab)15．若函数f(x)=e2(2x−1)−bx+b有两个零点，则正整数16．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin(A−B（1）求A；（2）若a=2，BC边上的中线AD=33，求18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且（1）求数列{a（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=a19．如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD=AB=2BC=4，∠PAB=∠PCB=90°，∠BAD=120°．（1）求证：PA⊥CD；（2）若四棱锥P−ABCD的体积为12，求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．20．已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y（1）求椭圆E的方程；（2）过点M(2，0)且斜率不为零的直线l与椭圆E交于C，D两点，若直线AC与BD21．某城市的青少年网络协会为了调查该城市中学生的手机成瘾情况，对该城市中学生中随机抽出的200名学生进行调查，调查中使用了两个问题．问题1：你的学号是不是奇数？问题2：你是否沉迷手机？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取一个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．（1）如果在200名学生中，共有80名回答了“是”，请你估计该城市沉迷手机的中学生所占的百分比．（2）某学生进入高中后沉迷手机，学习成绩一落千丈，经过班主任老师和家长的劝说后，该学生开始不玩手机．已知该学生第一天没有玩手机，若该学生前一天没有玩手机，后面一天继续不玩手机的概率是0.8；若该学生前一天玩手机，后面一天继续玩手机的概率是0.5．（ⅰ）求该学生第三天不玩手机的概率P；（ⅱ）设该学生第n天不玩手机的概率为Pn，求P22．已知函数f(x)（1）当a=1时，求曲线y=f(x)（2）若f(x)

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为B={x|x=6k−1，k∈Z}={x|x=3×(故答案为：B.【分析】先化简集合B，在根据集合子集的定义判断即可．2．【答案】D【解析】【解答】解：z=(−3−3i)(1+i)故答案为：D.【分析】根据复数的除法运算计算，结合共轭复数的定义求解即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：由题意，因为a//b，所以−4=3λ，解得故答案为：A.

【分析】由向量共线的坐标表示列式求解即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：由f(π3)=3，可得sin(ωπ又因为0<ω<6，所以ω=2，所以f(−π故答案为：C.【分析】根据已知条件求出ω，确定函数的解析式，再求对应的函数值即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：因为FG=13DA，则正四面体的一个面为边长为13的正三角形，其面积为3又因为AB=4，所以正三棱柱的一个侧面为长为4，宽为1的矩形，其面积为4×1=4，所以小青瓦所要覆盖的面积S为4个正三角形与2个矩形的面积和，则S=4×2+3故答案为：A.【分析】小青瓦所要覆盖的面由两个矩形及四个正三角形组成，分别求解即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，当x=y=0时，f(0)f(0)f(0)=f(0)−f(0)−f(0)，解得f(0)=0；当y=1时，f(x+1)f(x)f(1)=f(x+1)−f(x)−f(1)，即3f(x+1)f(x)=f(x+1)−f(x)−当x=0时，3f(1)f(0)=f(1)−f(0)−3，解得当x=1时，3f(2)f(1)=f(2)−f(1)−3，解得当x=2时，3f(3)f(2)=f(3)−f(2)−3，解得所以函数f(因为2024=675×3−1，所以k=1=675[f(1)+f(2)+f(3)]−f(2025)=3×(3故答案为：D.【分析】根据已知条件推出函数f(x)7．【答案】C【解析】【解答】解：设直线AB的方程为l1x+m1y+又四边形ABCD的四个顶点在抛物线y2过A，B，C，D四点的二次曲线系为(l即l1若A，B，C，D四点共圆，则曲线系方程表示圆，有l1l2=m即直线AC与BD倾斜角互补，故充分性成立；当直线AC与BD倾斜角互补，有kAB+kCD=0曲线系方程为l1这种形式的方程表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹，而A，B，C，D四点都在曲线上，所以曲线表示圆，也即A，B，C，D四点共圆，故必要性成立，所以“A，B，C，D四点共圆”是“直线AC与BD倾斜角互补”的充要条件.故答案为：C.【分析】表示出过A，B，C，D四点的二次曲线系方程，由方程表示圆证明直线AC与BD倾斜角互补，由直线AC与BD倾斜角互补证明方程表示圆.8．【答案】B【解析】【解答】解：因为a1=0，a2=a3=1，且bn=an+an+1+an+2(n∈N*)故答案为：B.【分析】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、累加法的运用，根据题意及已知条件求出数列{bn}【解析】【解答】解：A、由y=−19.8x+a可得y与x具负相关，故A错误；故样本中心为(9,80C、将点(9,80)代入y=−19D、当x=9.5时，y=−19故答案为：BC.【分析】根据负相关即可判断A；根据平均数计算样本中心，即可判断B；根据样本中心在直线上即可求解C；根据残差的计算即可判断D.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：设点N(x,y)，由题意可得|NO||NA|=x2+所以动点N的轨迹是以4,0为圆心，2为半径的圆，故A正确；因为圆心B(4,0)到直线x−y+5=0的距离d=|4+5|2=92|MN|+12|NO|=|MN|+|NA|，当M最小值为点A(3,0)到直线x−y+5=0的距离∠AON的最大时，ON与圆B相切，此时BN⊥ON，|BN|=2=12|OB|故答案为：ACD.【分析】由动点N的轨迹求出方程即可判断A；由圆上的点到直线的最小距离即可判断B；由三点共线求距离之和的最小值即可判断C；由直线与圆的位置关系求∠AON的最大值即可判断D.【解析】【解答】解：设x=a+r1,y=b+r2，其中a,A、x≤y，故a≤b，则[xB、x，y∈R，[x所以[xC、n∈N*，x∈R，所以[nxD、[xn]=故答案为：ABD.【分析】设x=a+r12．【答案】A,C【解析】【解答】解：由题意，在直三棱柱ABC−A∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，AE=mAB(m>0)，AF=nA、当AE=AF=AG时，截面Ω为等边三角形，此时，m=n=t且m,B、当0≤m,n,当m>1,当n>1,当t>1,当m,n,当m,n,t有三个大于所以不存在正实数m，n，t，使得截面Ω为平行四边形，故B错误；C项，当1m+1t=1，n∈(0,1)时，因为1m+1t=1，所以直线EGD、当m>1，0<n<1，0<t<1时，截面Ω为四边形FGKJ，易知JF与GK相交，假设JK//FG，因为JK⊄平面ACC1A1，所以JK//平面ACC又JK⊂平面BCC1B1，平面所以JK//CC1，所以故四边形FGKJ不是梯形，故D错误.故答案为：AC.【分析】分类讨论E,13．【答案】252【解析】【解答】解：(3x+13x令8−43r=0，解得r=6，所以(3x+故答案为：252.【分析】直接利用二项展开式的通项公式求解即可.14．【答案】2【解析】【解答】解：因为a，b>0，log所以a+b+24所以a+b≥2ab=2a+b+2当且仅当a=b=1时等号成立，所以a+b的最小值为2.故答案为：2.【分析】根据已知条件求出a+b与ab的关系，再利用基本不等式即可得出a+b的最小值.15．【答案】18【解析】【解答】解：令f(x)=e记g(x)=ex(当g'(x)>0时，x>32或x<0；当g作出g(x)的大致图象如图所示：

要使函数f(x)所以b>4e32由于4e32故答案为：18.【分析】将问题转化为b=ex(16．【答案】30°【解析】【解答】解：易知A-a,0，因为双曲线的离心率e=不妨取a=1，c=2，则b=c故双曲线方程C:x2−y设k1=则直线lAP:y=k1(x+1)，联立所以xp=k12所以kPF=6k1故答案为：30°.【分析】根据离心率写出双曲线方程，与直线AP联立求出P点坐标，求出直线PF的斜率，即可得∠PFA的值.17．【答案】（1）解：因为sin(A−B即sinA所以sinB又因为sinB≠0，所以cosA=−1（2）解：因为AD=所以AD2=1所以b2+由余弦定理得，4=b2所以由①②得，bc=所以S△ABC【解析】【分析】（1）利用三角形内角和结合两角和、差的正弦公式展开化简，即可求解；（2）借助向量，结合余弦定理和三角形面积公式求解即可.18．【答案】（1）解：设等差数列公差为d，

则6解得a1=1d=（2）解：由（1）知bn所以Tn=1×13T由①－②相减得：2=1+故Tn所以λ≥所以λ【解析】【分析】（1）根据等差数列求和公式、通项公式列方程组求解即可；（2）由（1）知bn=n+12×19．【答案】（1）证明：连接AC．因为AD//BC，∠BAD=120°，所以∠ABC=60°，又因为AB=4，BC=2，所以AC所以AB2=A因为∠BCP=90°，AC∩PC=C，所以BC⊥平面PAC所以BC⊥PA，因为∠PAB=90°，所以PA⊥AB，AB∩BC=B，所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．（2）解：因为VP−ABCD=1以A为原点，AC，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，

则P(0，0，23设平面PBC的一个法向量为n1BC⋅n1=0设平面PCD的一个法向量为n2CD⋅n2=0所以cos⟨所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为222【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理、勾股定理推出PA⊥平面ABCD，从而证明PA⊥CD；（2）利用体积求出三棱锥的高，以A为原点，建立空间直角坐标系，写出相应点坐标，求出平面PBC与平面PCD的法向量，利用空间向量法即可求出平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．20．【答案】（1）解：由题意知4a2+59（2）解：设直线l的方程为x=my+2，C(x1，由x=my+2x2+9所以y1+y直线AC方程为y=y1x由y=y1x又因为x1=my所以x=所以点P在定直线x=9【解析】【分析】（1）由题意，将坐标代入即可求得a2（2）设直线l的方程为x=my+2，C(x1，y1)，D(x2，21．【答案】（1）解：设“回答问题1”记为事件A1，“回答问题2”记为事件A2，回答“是”记为事件B，则P(A1因为P所以P(B|即该城市沉迷手机的中学生所占30%（2）解：（ⅰ）P=0（ⅱ）由题意知P1=1，第n−1天不玩手机的概率是Pn−1，