2023-2024学年高中数学A版（2019）高三（上）期末测试卷（高考模拟）

-2024学年高中数学A版（2019）高三（上）期末测试卷（高考模拟）姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题1．设集合A={−1，0，1，A．{−1} B．{−1C．{−1，0，2．设复数z=2−i1+i，则A．52 B．102 C．2 3．已知a≠0，下列各不等式恒成立的是（）A．a+1a>2 B．a+1a≥24．已知a，b是单位向量，若a⊥(a+3A．13a B．−13a 5．如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，集古典美和现代美于一体，富有东方神韵和时代气息。其中扇面的圆心角为120°，从里到外半径以1递增，若这些扇形的弧长之和为90π（扇形视为连续弧长，中间没有断开），则最小扇形的半径为（）A．6 B．8 C．9 D．126．已知曲线y=−x3−3x2+9x+9与曲线A．−16 B．−12 C．−9 D．−67．已知a=1A．c<a<b B．a<c<h C．b<a<c D．a<b<c8．(1+2x)(1+x)3展开式中，A．3 B．6 C．9 D．12二、多项选择题9．命题“∀1≤x≤2，x2A．a≥1 B．a≥3 C．a≥4 D．a≤410．已知实数a，b，c满足ea−cA．a=c B．ab≥C．a+b+2c的最小值为−3ln3 11．已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，过点F的直线交A．|MN|的最小值是6B．若点P(52，C．1D．若|MF|⋅|NF|=18，则直线MN的斜率为±112．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=4A．三棱锥C1−B1C．MN⊥NC D．线段DN长度的最大值为33三、填空题13．已知sin(x+π4)=114．某地，第x年该地人均收入y的部分数据如下表：年份20152016201720182019年份编号x12345年人均收入y（万元）0.50.611.4m根据表中所数据，求得y与x的线性回归方程为：y=0.32x+015．函数y=[x]为数学家高斯创造的取整函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.90]=0，[lg99]=1，已知数列{an}满足a3=316．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过点F作倾斜角为π4的直线交椭圆C于A，四、解答题17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bcosA+acosB=−2ccosA.（1）求角A的值；（2）已知点D为BC的中点，且AD=2，求a的最大值.18．已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1（1）证明：数列{Snn（2）若bn=1an⋅an+1，设数列19．为了保障学生的饮食安全和健康，学校对饭堂硬件和菜品均进行了改造升级，改造升级后的饭堂菜品受到了很多学生的欢迎，因此在学校饭堂就餐成为了很多学生的就餐选择.现将一周内在饭堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢饭堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢饭堂就餐”.学校为了解学生饭堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，统计数据如下：性别饭堂就餐合计喜欢饭堂就餐不喜欢饭堂就餐男生401050女生203050合计6040100（1）依据小概率值α=0.（2）该校小林同学逢星期三和星期五都在学校饭堂就餐，且星期三会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期三选择了①号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为0.8；若星期三选择了②号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为13，求小林同学星期五选择②（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢饭堂就餐”的人数为ξ，事件“ξ=k”的概率为P(ξ=k)，求使P(ξ=k)取得最大值时k的值.参考公式：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82820．如图（1）所示，在△ABC中，∠ABC=60∘，过点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上，且AD=23，CD=5，沿AD将△CDA折起（如图（2）），点E、F分别为棱（1）证明：AD⊥EF；（2）若二面角C−DA−B所成角的正切值为2，求二面角C−DF−E所成角的余弦值.21．已知函数f(（1）若函数f(x)在x=2处取得极值，求实数a（2）若当x≥1时，f(x)（3）证明：当n∈N*时，22．已知点(−2，0)在椭圆C：x2a2+y2b2=1（1）求C的方程；（2）过C的两焦点F1、F2作两条相互平行的直线l1，l2交

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：解不等式x2+2x-3<0⇒x+3x-1<0，解得-3<x<1所以A∩B={−1，故答案为：B.

【分析】先解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：因为复数z=2−i1+i，所以z=(2-i)(1-故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数与共轭复数的关系得出复数z的共轭复数，再结合复数乘法运算法则，进而得出z⋅z3．【答案】D【解析】【解答】解：当a<0时，a+1a<0，故A、B错误；当a>0时，a+1a>0，故C错误；当故答案为：D.

【分析】由a<0，a+1a<0即可判断A，B选项；由a>04．【答案】D【解析】【解答】解：已知a→，b→是单位向量，若a⊥(a+3b)，则a→·(a→+3b故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积求投影向量的方法，进而得出a→在b5．【答案】C【解析】【解答】解：设第一个半径为r，则从里到外的半径构成首项为r，公差为1的等差数列，共十项，

再因为圆心角为120°，所以圆心角为2π3，

所以90π=所以90π=2π3×10×(r+r+9)2

【分析】利用已知条件结合等差数列的定义，将问题转化为首项为r，公差为1的等差数列，再利用等差数列前n项和公式，从而解方程得出r的值，进而得出最小扇形的半径。6．【答案】B【解析】【解答】解：设f(x)=−x∵f(x−1)=−(x−1)f(−x−1)=−(−x−1)∴f(x−1)+f(−x−1)=−4，即f(x)关于(−1，又∵y=∴y=1−2xx+1也关于∵f∴当x∈(−∞，−3)∪(1，+∞)时，当x∈(−3，1)时，f'∴f(x)的极大值为f(1)=14，极小值为f(−3)=−18，∵当x∈(−1，+∞)时，y=−2+3当x=1时，y<14，∴当x∈(−1，+∞)时，f(x)与∴f(x)与y=1−2xx+1在∵f(x−1)+f(−x−1)=−4和y=−2+3x+1都关于∴f(x)与y=1−2xx+1在∴故答案为：B.【分析】首先，设f(x)=−x3−3x2+9x+9，则f(x−1)+f(−x−1)=−4，曲线关于(−1，−2)中心对称，而对7．【答案】D【解析】【解答】解：令fx=lnx+1-xx+1，x∈-1，+∞，则f'x=1x+1-1x+12=xx+12，

当x>0时，f'x>0，所以f(x)在0，+∞上是增函数，所以f0.1故答案为：D.【分析】先构造函数fx=ln8．【答案】C【解析】【解答】解：(1+2x)(1+x)3=1+x3+2x1+x3展开式中x故答案为：C.

【分析】根据二项式定理展开式的通项公式即可得解.9．【答案】B,C【解析】【解答】解：因为x2−2a≤0，即x2≤2a，

可知命题“∀1≤x≤2，x2≤2a”是真命题，

因为∀1≤x≤2，x2max=4故答案为：BC.

【分析】根据恒成立问题分析可得a≥2，根据推出关系与包含关系的对应分析判断.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：令ft=et-t-1，则f't=et-1，当t≤0时，f't≤0，ft为减函数，当t>0时，f't>0，ft为增函数，所以ft≥f0=0，所以et≥t+1，当且仅当t=0时，等号成立，由ea-c+bec+1≤a+lnb+3，可得ea-c+elnb+c+1≤a-c+c+lnb+3，

而ea-c≥a-c+1，elnb+c+1≥lnb+c+2，所以ea-c+elnb+c+1≥a-c+c+lnb+3，

所以ea-c+elnb+c+1=a-c+c+lnb+3，当且仅当a-c=0，lnb+c+1=0时成立，

即lnb=-1-c，b>0，b=e-1-c，所以A正确；

对于B中，ab=ce-1-c=cec+1，令gx=xex+1，可得g'x=故答案为：AC.

【分析】令ft=et-t-1，利用导数求得函数ft的单调性，得到ft≥f0=0，进而得到ea-c+elnb+c+1≥a-c+c+lnb+3，得出ea-c+e11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因为抛物线C方程为：y2=6x，

所以p=3，

对A选项，因为MN≥2p=6，当MN⊥x轴取等号，

A正确；

对B选项，若点P52，2，则MF+MP≥p2+xP=32+52=4，当PM⊥y轴时取等号，

B正确；

对C选项，设直线MN的倾斜角为θ，θ∈[0，π)，

则根据抛物线的定义易得：MF=p+MFcosθ，

所以MF=p1-cosθ，同理可得NF故答案为：ABD.

【分析】根据抛物线的几何性质，抛物线的焦点弦的性质，即可分别求解.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1则C(0，0，0)，D(4，0，0)，A1(4，4，对于选项A，因为点VC1−B1D1M=VM−B1所以三棱锥C1对于选项B，因为A1M=(x−4所以A1M⊥MN，又D1M⊥MN，A1所以MN⊥平面A1对于选项C，因为NC=(0，−4，−z)，且MN=(−x，0，对于选项D，因为DN=(−4，4当且仅当x=4−x时，即x=2时，zmax则|DN|=16+16+z2故答案为：ABD.

【分析】利用空间向量的坐标运算，用空间向量法对各个选项逐一判断即可得出结论.13．【答案】−【解析】【解答】解：由题意得cos2(x+π4)=1-2si故答案为：−7

【分析】利用诱导公式和余弦二倍角公式求解.14．【答案】1.7【解析】【解答】解：x=1+2+3+4+55=3，y=0.5+0.6+1+1.4+m5=3.5+m5故答案为：1.7

【分析】根据平均数公式得样本中心坐标，将点代入回归直线方程，求出m，从而求出2019年该地区实际年人均收入。

15．【答案】4962【解析】【解答】∵an=n(an+1−an)，

∴1+nan=nan+1，

即ann=an+1n+1，

∴ann=a33=1，

∴an=n，

当1≤n≤9时，0≤lgan≤1时，

bn=[lgan]=0；

当10≤n≤99时，1≤lga16．【答案】1【解析】【解答】解：由题意设直线AB：y=x-c，设Ax1，y1，Bx2，y2，

联立y=x-cx2a2+y2b2=1，得a2+b2x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0，故答案为：12

【分析】由题意设直线AB：y=x-c与椭圆联立利用韦达定理求AB=1+k2x1-x2，和中点坐标式进而得到17．【答案】（1）解：因为A、C∈(0，π)，则由正弦定理可得−2cos所以，cosA=−12（2）解：因为D为BC中点，则AD=AB所以，2AD所以，4AD由余弦定理可得a2所以，b2+c由基本不等式可得b2+c2≥2bc当且仅当b=cb2+故a的最大值为43【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形中角的取值范围得出角C的正弦值的正负，再利用正弦定理和两角和的正弦公式以及三角形内角和为180°的性质，进而得出角A的余弦值，从而得出角A的值。

（2）利用已知条件结合中点的性质和平面向量基本定理以及余弦定理，再结合均值不等式求最值的方法，进而得出a的最大值。18．【答案】（1）解：对任意的n∈N∗，则Sn+1所以，数列{Snn}为等差数列，且其首项为所以，Snn=1+n−1=n（2）解：当n≥2时，ana1=1也满足an=2n−1，故对任意的所以，bn故Tn【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的定义，从而证出数列{Snn}为等差数列，再利用等差数列的通项公式得出数列{Sn}的通项公式。

（2）由（1）得出的数列{Sn}的通项公式结合an，S19．【答案】（1）解：由列联表可得χ2所以依据小概率值α=0.（2）解：记星期三选择了①号套餐为事件A1，选择②号套餐为A星期五选择了①号套餐为事件B1，选择②号套餐为B则P(A1)=P(A2所以P(B所以P(B（3）解：依题意可得学生“喜欢饭堂就餐”的概率P=60则ξ∼B(10，35)，所以P(ξ=k)=C若P(ξ=k)取得最大值，则P(ξ=k)≥P(ξ=k+1)P(ξ=k)≥P(ξ=k−1)即C10即25≥3又0≤k≤10且k∈N，所以k=6.【解析】【分析】（1）计算卡方值，再根据临界值比较即可；

（2）利用全概率公式计算即可；

（3）先求出学生”喜欢饭堂就餐“概率，由题得出ξ∼B(10，35)，可得20．【答案】（1）证明：翻折前，AD⊥BC，则AD⊥CD，AD⊥BD，翻折后，则有AD⊥CD，AD⊥BD，因为BD∩CD=D，BD、CD⊂平面BCD，所以，AD⊥平面BCD，因为BC⊂平面BCD，所以，AD⊥BC，在四棱锥A−BCD中，因为点E、F分别为棱AC、AB的中点，则EF//BC，因此，AD⊥EF.（2）解：因为AD⊥CD，AD⊥BD，则二面角C−DA−B的平面角为∠BDC，即tan∠BDC=2因AD⊥平面BCD，以点D为坐标原点，DB、DA所在直线分别为x、y轴，平面BCD内过点D且垂直于BD的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为∠ABD=60∘，AD⊥BD，AD=23又因为CD=5，则A(0，23，0)、E(12，设平面CDF的法向量为m=(x1，y则m⋅DC=x1设平面DEF的法向量为n=(x2则n⋅DF=x2所以，cos⟨由图可知，二面角C−DF−E的平面角为锐角，故二面角C−DF−E的余弦值为1319【解析】【分析】（1）利用已知条件结合翻折的方法，再结合线线垂直证出线面垂直，再由线面垂直的定义证出线线垂直，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，从而判断出线线平行，进而证出AD⊥EF。

（2）利用已知条件结合二面角的作法和正切函数的定义，进而建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，进而得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法，由数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面CDF的法向量和平面DEF的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和二面角C−DF−E的平面角为锐角，从而得出二面角C−DF−E的余弦值。21．【答案】（1）解：∵f'(x)∴f'(2)则f'∴当x∈(0，12)∪(2，f(x)在(0，1f(x)的极大值为f(综上所述a=52；f(x)（2）解：f'令g(x)（ⅰ）当a2−4≤0，即−2≤a≤2时，g(则f(x)在[1，（ⅱ）当a2−4>0，即a<−2或令g(x)=0，解得：当a<−2时，x1<x2<0则f(x)在[1，当a>2时，0<x1<x2，又x∴当x∈(1，x2)时，g(f(x)