专题一 二次函数小压轴题（含答案）2025年中考数学一轮题型专练（陕西）

专题一二次函数小压轴题题型1二次函数的系数与函数图象的性质(2024,2021)1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为直线x=1,则下列结论正确的是()A.abc<0 B.2a-b=0C.5a+3b+2c<0 D.4ac-b2>02.下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的结论错误的是()A.当x>0时,y随x的增大而减小B.该函数的图象一定经过点(0,1)C.该函数图象的顶点在函数y=x2+1的图象上D.该函数图象与函数y=-x2的图象形状相同3.(2024·交大附中模拟)已知抛物线y=12ax2+(1-a)x-1(a<0),则它的顶点M一定在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.已知二次函数y=x2+bx+c,当x>0时,函数的最小值为-3;当x≤0时,函数的最小值为-2.则b的值为()A.6 B.2 C.-2 D.-35.(2024·西工大附中模拟)已知二次函数y=ax2+bx-2(a<0),函数值y和自变量x的几组对应取值如下表:x…01234…y…-2mnp-2…若mn<0,则a的取值范围是()A.a<-2B.a<1C.-23<a<-D.a<-23或-16.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线y=-x2+2mx+n(m,n为常数),则下列结论正确的是()A.开口向上B.对称轴在y轴的左侧C.若m+n=1,该函数图象与x轴没有交点D.当m-1≤x≤m+2时,该函数的最大值与最小值的差为4题型2对二次函数图象的分析判断(2020,2019.T10)7.【原创好题】在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx的图象和一次函数y=ax+b(a,b为常数,且ab≠0)的图象可能是()ABCD8.【原创好题】在平面直角坐标系中,若二次函数y=ax2+(2a-1)x+a-3的图象与坐标轴最多有两个交点,则函数图象不可能经过()A.第三象限B.第四象限C.第三象限和第四象限D.第一象限和第二象限9.【原创好题】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),若满足ac<0且ab>0,则下列选项中,符合条件的抛物线为()A BC D10.已知抛物线L:y=ax2+bx+c的顶点坐标在第四象限,与x轴没有交点,则下列结论正确的是()A.a>0B.b2-4ac>0C.若点(-1,m)在抛物线L上,则m<cD.若点A(x1,y1),点B(x2,y1)在抛物线L上,且x1<x2,则y1<y2题型3二次函数图象中对称轴的运用(2013,2022)11.已知二次函数y=ax2-3ax+c(a≠0)的图象与x轴交于点P(x1,0),点Q(x2,0),若-3<x1<-2,则x2的取值范围是()A.5<x2<6 B.4<x2<5C.4<x2<6 D.3<x2<512.若抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0)之间的距离为6,且x1+x2=8,则这个抛物线的顶点坐标是()A.(3,9) B.(-3,-9)C.(-4,-9) D.(4,9)13.在抛物线L:y=ax2-(1-a)x+2a(a≠0)上存在一点M(a,m).当x<a时,y随x的增大而减小;当x>a时,y随x的增大而增大,则m的值为()A.-1 B.-3C.12 D.14.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是(n,0)和(-n+4,0),且该抛物线还经过点(-4,y1)和(4,y2),则下列关于y1,y2的大小关系判断正确的是()A.y2=y1B.y2<y1C.y1<y2D.y1≤y2题型4运用二次函数增减性比较函数值的大小15.【原创好题】已知抛物线y=ax2+4ax-3与x轴的交点位于原点两侧,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点在抛物线上,且满足x1<0<x2<x3,x1+x2>-4,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y216.【原创好题】已知M(x0,y0)是抛物线y=ax2-4ax+c的顶点,且y0为y=ax2-4ax+c的最大值.若点(-5,y1),(1,y2),(0,y3)在抛物线上,则下列说法中正确的是()A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2题型5二次函数与几何图形关系(2016.T10)17.已知抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,若在x轴下方的抛物线上存在一点C,使得△ABC的最大面积为6,则a的值为()A.-25 B.25 C.-18.M是抛物线y=x2+x-2在第三象限部分的一点,过点M向x轴和y轴作垂线,垂足分别为P,Q,则四边形OPMQ周长的最大值为()A.1 B.2 C.4 D.6题型6抛物线的交点与方程的关系(2015.T10)19.将抛物线y=-2x2+(m-3)x-1向上平移m(m>0)个单位长度,与直线y=-x+3有且只有一个交点,则m的值为()A.4 B.8C.42-2 D.42+220.在平面直角坐标系中,抛物线C:y=ax2+(3-2a)x+a-2与坐标轴有两个交点,则a的值为()A.-94 B.49C.-2 D.94或题型7二次函数图象的变换21.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=ax2(a≠0)不动,x轴向上平移3个单位长度,y轴向右平移3个单位长度,那么关于新坐标系下的抛物线,下列说法正确的是()A.新坐标系下的抛物线的对称轴为直线x=3B.新坐标系下的抛物线与y轴的交点的纵坐标为3a+3C.新坐标系下的抛物线的顶点在第三象限D.新坐标系下的抛物线与x轴一定有两个交点22.已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点,将该抛物线向左平移3个单位长度,再向下平移5个单位长度后,得到的抛物线的顶点一定在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限23.将抛物线L:y=-(x-b+1)2+b先向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到抛物线L',若抛物线L'的顶点到原点的距离为5,则抛物线L'的顶点坐标为()A.(0,5)B.(5,0)C.(0,-5)或(5,0)D.(0,5)或(-5,0)题型8二次函数图象的实际应用24.某同学用相机拍摄记录小球投掷实验,并绘制了示意图如图所示,其中x轴表示小球滞空时间,y轴表示小球高度,小球的运动轨迹为抛物线,在第0.8s与第1.2s时,小球高度一致,已知点A(0,2),小球在最高点的纵坐标为4,则小球落地时,点B的坐标为()A.(2.2,0) B.(2+2,0)C.(2,0) D.(2+1,0)25.如图,某涵洞的截面是抛物线形,现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O与水面的距离CO是2m,则当水位上升1.5m时,水面的宽为()A.0.4m B.0.6mC.0.8m D.1m

参考答案1.C解析:∵抛物线开口向上,∴a>0.∵抛物线的对称轴在x轴正半轴上,∴-b2a∴a,b异号,∴b<0.∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc>0,故选项A错误.∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴-b2a=1,即b=-2∴2a+b=0,故选项B错误.由题图可知,当x=1时,y=a+b+c<0.∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴点(2,4a+2b+c)与(0,c)关于对称轴对称,∴4a+2b+c=c.∵c<0,∴4a+2b+c<0,∴(a+b+c)+(4a+2b+c)<0,即5a+3b+2c<0.故选项C正确.∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac-b2<0,故选项D错误.故选C.2.A解析:∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=m,∴当x>m时,y随x的增大而减小,故选项A错误;∵当x=0时,y=1,∴该函数的图象一定经过点(0,1),故选项B正确;∵y=-(x-m)2+m2+1,∴抛物线的顶点坐标为(m,m2+1),∴抛物线的顶点在抛物线y=x2+1上,故选项C正确;∵y=-(x-m)2+m2+1与y=-x2的二次项系数都为-1,∴两函数图象的形状相同,故选项D正确.故选A.3.A解析:依题意,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1-a2×1∵a<0,∴a-1a>0,∴对称轴在y∵Δ=(1-a)2-4×12a·(-1)=1+a2>∴抛物线与x轴有两个交点,∴顶点M一定在第一象限,故选A.4.C解析:∵二次函数y=x2+bx+c,当x>0时,函数的最小值为-3,∴该函数图象的对称轴在y轴右侧,4×1×c-b24×1=-∴b<0.∵当x≤0时,函数的最小值为-2,∴当x=0时,y=c=-2,将c=-2代入4×1×c-b24×1=-3,可得b1=2(舍去),故选C.5.C解析:依题意,当x=0和x=4时,y的值都是-2,∴抛物线的对称轴为直线x=0+42=∴顶点为(2,n),-b2a=2,即b=-∵a<0,∴n是函数的最大值.∵mn<0,∴m<0,n>0,∴当x=1时,y=a-4a-2<0;当x=2时,y=4a-8a-2>0,解得-23<a<-126.D解析:∵a=-1<0,∴抛物线开口向下,故A选项错误;∵抛物线的对称轴为直线x=-2m2×(-1)∴当m>0时,对称轴在y轴右侧;当m<0时,对称轴在y轴左侧;当m=0时,对称轴为y轴,故B选项错误;∵m+n=1,∴Δ=(2m)2-4×(-1)·n=4m2+4n=4m2+4(1-m)=4m2-4m+4=4m-122+3>0,∴抛物线与x轴有两个交点,故C选项错误;∵抛物线的开口向下,对称轴为直线x=m,∴二次函数的最大值为-m2+2m2+n=m2+n.∵m+2-m=2>m-(m-1)=1,∴当x=m+2时,二次函数有最小值,最小值为-(m+2)2+2m(m+2)+n=m2+n-4,∴m2+n-(m2+n-4)=4,故D选项正确.故选D.7.A解析:A,B选项中,由二次函数y=ax2+bx的图象可以判断a>0,b<0.C,D选项中,由二次函数y=ax2+bx的图象可以判断a<0,b>0.对于y=ax2+bx,当y=0时,得0=ax2+bx,解得x1=0,x2=-ba对于y=ax+b,当y=0时,解得x=-ba,故二次函数的图象与一次函数的图象交于x轴上一点故选A.8.D解析:根据题意,Δ=4a2-4a+1-4a(a-3)=4a2-4a+1-4a2+12a=8a+1≤0,解得a≤-18∴二次函数的图象开口向下,且与y轴交于负半轴,与x轴最多有一个交点,故二次函数图象不可能经过第一象限和第二象限.9.B解析:分情况讨论:当a>0时,c<0,b>0,抛物线开口向上,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴左侧;当a<0时,c>0,b<0,抛物线开口向下,与y轴交于正半轴,且对称轴在y轴左侧.综上所述,只有B选项符合题意.10.C解析:根据题意,抛物线L的大致图象如图所示.可知a<0,由于与x轴没有交点,故b2-4ac<0.∵对称轴在y轴右侧,∴当x<-b2a时,y随x∵-1<0,∴m<c.当点A与点B在对称轴的右侧时,y1>y2,故C选项正确.11.A解析:∵二次函数y=ax2-3ax+c(a≠0),∴图象的对称轴为直线x=--3a2a∵二次函数y=ax2-3ax+c(a≠0)的图象与x轴交于点P(x1,0),点Q(x2,0),且-3<x1<-2,∴5<x2<6.故选A.12.D解析:∵x1+x2=8,∴抛物线的对称轴为直线x=-b-2=b2=4,解得b=∵A,B之间的距离是6,∴A,B的坐标为(1,0),(7,0).将(1,0)代入y=-x2+8x+c,得0=-1+8+c,解得c=-7,∴y=-x2+8x-7.将x=4代入y=-x2+8x-7,得y=9,∴顶点坐标为(4,9).故选D.13.D解析:根据题意,抛物线L的对称轴是直线x=a,∴1-a2a=a,整理得2a2+a-1=0,解得a1=12,a∵x<a时,y随x的增大而减小;当x>a时,y随x的增大而增大,∴a>0,∴a=12,∴M为抛物线的顶点,且y=12x2-12x+1=12x-122+7814.B解析:∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是(n,0)和(-n+4,0),∴对称轴为直线x=n-n+4∵抛物线经过点(-4,y1)和(4,y2),∴点(-4,y1)到对称轴的距离大于点(4,y2)到对称轴的距离.∵抛物线开口向上,∴y1>y2.故选B.15.C解析:当x=0时,y=-3,∴抛物线与y轴的交点为(0,-3).∵抛物线与x轴的交点位于原点两侧,∴a>0,即抛物线开口向上.∵x1<0<x2,x1+x2>-4,得x2-(-2)>-2-x1,∴y2>y1.∵x3>x2,∴y3>y2,∴y3>y2>y1.故选C.16.B解析:∵M(x0,y0)是抛物线y=ax2-4ax+c的顶点,且y0为y=ax2-4ax+c的最大值,∴抛物线开口向下.由y=ax2-4ax+c可得抛物线的对称轴为直线x=2,∴抛物线上的点到对称轴距离越大,该点的纵坐标越小,点(-5,y1)到抛物线的对称轴的距离d1=2-(-5)=7,点(1,y2)到抛物线的对称轴的距离d2=2-1=1,点(0,y3)到抛物线的对称轴的距离d3=2-0=2.∵d2<d3<d1,故y2>y3>y1.17.D解析:由抛物线y=a(x+1)(x-5)可知,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(5,0),∴AB=6.∵在x轴下方的抛物线上存在一点C,使得△ABC的最大面积为6,∴S△ABC=12AB·h=6,解得h=根据二次函数图象的性质,抛物线的顶点坐标为(2,-2),将其代入抛物线的表达式中,-2=a(2+1)×(2-5),解得a=29,故选D18.D解析:设点M的坐标为(m,m2+m-2),根据题意,四边形OPMQ为矩形,∴C矩形OPMQ=2(OP+OQ)=2(-m-m2-m+2)=-2(m+1)2+6,当m=-1时,C矩形OPMQmax=19.C解析:平移后的抛物线表达式为y=-2x2+(m-3)x-1+m.∵与直线y=-x+3有且只有一个交点,∴关于x的方程-2x2+(m-3)x-1+m=-x+3有两个相等的实数根,整理上述方程得-2x2+(m-2)x-4+m=0,Δ=(m-2)2-4×(-2)(m-4)=0,解得m1=42-2,m2=-42-2.∵m>0,∴m=42-2,故选C.20.D解析:当抛物线C与x轴有一个交点时,4a2-12a+9-4a(a-2)=0,解得a=94当抛物线C经过原点时,a-2=0,解得a=2.综上所述,a的值为94或2,故选D21.C解析