湖南省2024-2025学年高一数学上学期期中大联考试题含解析

Page12湖南省大联考2024－2024学年度高一数学上学期期中考试一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】依据题意，通过解不等式分别表示出两集合，再依据数轴，即可求解.【详解】依据题意，易得，，因此．故选：A.2.已知函数则（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】依据题意，先求，再求即可.【详解】依据题意，因为，所以．故选：B.3.在中，“”是“为等腰三角形”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】依据题意，结合小范围可以推出大范围，而大范围推不出小范围，即可求解.【详解】依据题意，由，可得为等腰三角形，反之由为等腰三角形，可得或或，故“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件．故选：C.4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】抽象函数定义域的求解，须要遵循两个原则，第一是定义域是指的取值范围；其次是同一对应法则下，整体范围相同.【详解】因为的定义域为，所以，解得或．又因为，解得，所以的定义域为．故选：C5.若函数（，且）在上的最大值与最小值的和为，则（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】确定函数是单调函数，得到，解得答案.【详解】在上单调，所以在上的最大值与最小值的和为，解得或（舍去）．故选：B.6.已知函数的定义域为R，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据题意转化为不等式在上恒成立，分类探讨，即可求解.【详解】由题意，函数有意义，则满意，因为函数的定义域为，即不等式在上恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，恒成立，符合题意．当时，不符合题意，综上可得，实数的取值范围是．故选：D.7.已知函数是定义在R上的增函数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】要想使分段函数在R上的增函数，须要每段函数都是单调递增函数，且在分段处左边函数的端点值，小于等于右边函数的端点值【详解】由题意可得：解得：．故选：B8.某公司实行10周年纪念活动，确定给每个员工发放纪念品，并找设计师设计了甲、乙、丙三款纪念品．为了了解员工更喜爱哪一款纪念品，随机抽取了60名员工对这三款纪念品进行投票，每人至少选择一款自己喜爱的纪念品投票（假如有多款喜爱的纪念品，可以选择多款纪念品投票）．详细投票状况如下表：纪念品给该款纪念品投票的人数甲31乙30丙33甲与乙11乙与丙17甲与丙15那么给三款纪念品都投票了的人数为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】利用集合学问容斥原理进行求解【详解】设给甲投票的员工为集合，给乙投票的员工为集合，给丙投票的员工为集合，因为每个人都有投票，所以三个集合的容斥原理为：所以给三款纪念品都投票了的人数为．故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.下列函数中，与函数是同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】依据函数的三要素：定义域、表达式以及值域逐项推断即可.【详解】解：函数的定义域为，对A，，定义域为，即与函数是同一函数，故A符合题意；对B，，定义域为，所以与函数不是同一函数，故B不符合题意；对C，，定义域为，所以与函数不是同一函数，故C不符合题意；对D，当，，当，，即，，所以与函数是同一函数，故D符合题意.故选：AD.10.函数的大致图象可能是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由题得再对分三种状况探讨，结合特值法分析推断得解.【详解】由题得当时，A正确．当时，不妨取，则B正确．当时，不妨取，则C正确．假设为偶函数，则对于恒成立，所以，无论取何值，都不行能对于恒成立，所以D错误.故选：ABC11.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】A选项，干脆对利用基本不等式，求出；B选项，先平方，再结合A选项的进行求解，C选项利用基本不等式“1”的代换；D选项化为进行求解.【详解】因为，所以，当且仅当，时取等号，A正确．因为，所以，当且仅当，时取等号，B错误．，当且仅当，时取等号，C正确．，当且仅当，时取等号，D正确．故选：ACD12.已知偶函数的定义域为R，也是偶函数，当时，．若，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依据偶函数的性质，结合函数的单调性进行推断即可.【详解】因为是偶函数，所以，．因为是偶函数，所以，则．．解得．因为在上单调递增，所以．因为，所以．故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“，”的否定是________．【答案】，【解析】【分析】特称命题的否定，只需把存在量词换成全称量词，再把结论否定即可.【详解】依据题意，知命题“，”的否定是，.故答案为：，.14.已知，则________．【答案】【解析】【分析】先把根式化为分数指数幂，再利用同底数幂运算法则进行计算【详解】，因为，所以，则．故答案为：15.某阅读平台为了吸引用户，确定对部分图书开展限时免费阅读活动．当供应免费阅读的图书为a本时，其用户人数（表示不大于a的最大整数）．当时，用户人数为________；若该平台想通过本次活动运用户人数不少于5000，则至少须要供应免费阅读的图书数量为________．【答案】①.②.【解析】【分析】依据函数的解析式，代入，即可求得的值，令，求得，即可求解.【详解】由题意，用户人数（表示不大于a的最大整数）．可得．令，解得，则，即，故至少须要供应免费阅读的图书数量为．故答案为：；．16.已知定义在R上的函数满意对随意实数x，都有，且，则________．【答案】2024【解析】【分析】依据题意转化为，得到，即可求解.【详解】由题意，函数满意对随意实数x，都有，且，当且时，可得，则，所以．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合．（1）求集合真子集的个数；（2）求【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）结合真子集定义可干脆求解；（2）由集合的交并补运算可干脆求解.【小问1详解】因为，所以，则真子集的个数为个；【小问2详解】，，则.18.已知幂函数满意f（2）＞f（1）．（1）求a的值；（2）若关于x的方程有唯一解，求m的值．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由是幂函数，求得a，再由f（2）＞f（1），验证即可；（2）将方程有唯一解，转化为方程有唯一解求解.【小问1详解】解：因为是幂函数，所以，解得或，当时．，不满意f（2）＞f（1）；当时，，满意f（2）＞f（1）；【小问2详解】由（1）得，则方程，即为，因为方程有唯一解，所以方程有唯一解，所以，解得.19.已知函数．（1）推断在上的单调性并用定义法证明；（2）推断的奇偶性，并求在上的值域．【答案】（1）在上为减函数，证明见解析（2）为奇函数，在上的值域为【解析】【分析】（1）推断出在上为减函数，然后任取、，作差，因式分解后推断的符号，即可证得结论成立；（2）求出函数的定义域，验证与的关系，即可得出函数的奇偶性，再利用（1）中函数的单调性可求得函数在上的值域.【小问1详解】解：在上为减函数，证明如下：任取，则，因为，所以，，，，则，即．故在上为减函数．【小问2详解】解：的定义域为，，故为奇函数．结合（1）知在上减函数，当时，取得最大值，且最大值，当时，取得最小值，且最小值为．故在上的值域为．20.已知二次函数在上有最大值7，最小值．（1）求的解析式；（2）若关于x的不等式在上有解，求k的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据二次函数的性质可得，列出关于的方程组解出即可；（2）利用分别参数思想可得，利用二次函数的性质求出最值即可得结果.【小问1详解】的图象开口向上，对称轴为直线，故在上单调递减，在上单调递增．结合二次函数的图象可得解得故．【小问2详解】由，可得，即．令，则，设函数，，则，故．综上，k的取值范围为．21.已知函数满意．（1）证明：．（2）解不等式．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先求出，再利用基本不等式证明；（2）等价于或，再解两个不等式综合即得解.【小问1详解】证明：因为，①将①中x用代替，得，②①得，③③②整理得．故（当且仅当时，等号成立）．小问2详解】解：因，所以，解得或．当时，，即，解得；当时，，，解得．故不等式的解集为．22.1.某科研机构为了探讨某种药物对某种疾病的治疗效果，打算利用小白鼠进行科学试验．探讨发觉，药物在血液内的浓度与时间的关系因运用方式的不同而不同．若运用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满意关系式（，a为常数）；若运用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满意关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的汲取与代谢互不干扰．假设同时运用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独运用每种方式给药的浓度之和．（1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范