辽宁省沈阳市2024-2025学年高一数学上学期12月月考

Page17考试时间：120分钟试题满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合，集合，所以，故选：A2.某单位有职工人，其中青年职工人，中年职工人，老年职工人．为了了解该单位职工的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为人，则样本容量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合分层抽样方法求出青年职工的比例继而求出样本容量【详解】由题意得样本容量为故选：A3.一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事务“至少有2个黑球”，下列事务中，与事务互斥而不互为对立的是（）A.都是黑球 B.恰好有1个黑球 C.恰好有1个红球 D.至少有2个红球【答案】B【解析】【分析】利用对立事务、互斥事务的定义干脆求解即可．【详解】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球，在中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事务，故错误，在中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事务，故正确，在中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事务，故错误，在中，至少有2个黑球和至少有2个红球事务不能同时发生，是对立事务，故错误．故选：．4.考古科学家在测定良渚古城遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而削减”这一规律.已知样本中碳14的质量随时间（单位：年）的衰变规律满意（表示碳14原有的质量）.经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推想良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间，则“______”为（参考数据：）（）A.4011 B.3438 C.2865 D.2292【答案】A【解析】【分析】利用题目所给的衰变规律计算出的范围即可.【详解】由题可得，两边同取以2为底的对数，得，所以，则推想良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间.故选：A.5.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先推断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数在上连续单调递增，且,所以函数零点在区间内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简洁题.应用零点存在定理解题时，要留意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6.设函数，若函数的最大值为－1，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得时的值域，当时，依据二次函数图象与性质可得，依据题干条件，列出不等式，即可得答案.【详解】当时，为单调递减函数，所以当x=1时，，当时，，为开口向下，对称轴为x=-1的抛物线，所以当x=-1时，有最大值，由题意得，解得，故选：D7.已知函数有4个零点，则k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将函数零点问题转化为曲线与直线的交点问题，如图分析临界直线，可得的取值范围.【详解】,即，函数表示恒过点的直线，如图画出函数，以及的图象，如图，有两个临界值，一个是直线过点，此时直线的斜率，另一个临界值是直线与相切时，联立方程得，，解得：，或，当时，切点是如图，满意条件，当时，切点是不成立，所以，如图，曲线与直线有4个交点时，的取值范围是.故选：B8.已知函数，若不等式（是自然对数的底数），对随意的恒成立，则整数的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先推断函数的单调性和奇偶性，再结合性质解不等式得到，只须要求二次函数的最大值，即解得的范围，再利用对数式比大小即得到整数的最小值.【详解】由指数函数性质知和在R上是递增函数，故在R上是递增函数.又，故是奇函数.故不等式即转化为：，即，故，所以，而对称轴为，依据二次函数对称性可知对随意的上，当时，，故，故，而，即，故整数的最小值是4.故选：C.【点睛】本题解题关键在于先推断函数的单调性和奇偶性，并结合性质化简恒成立式，再解决恒成立问题即可，解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法：画图像，对关键点限制条件；②分别参数法：转化成参数与函数最值的关系；③构造函数法：转化成函数最值（含参数）的范围.二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.某篮球运动员8场竞赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A.中位数为3 B.众数为3，6，8C.平均数为5 D.方差为4.8【答案】BC【解析】【分析】依据中位数、众数、平均数以及方程的计算公式，即可简洁选择.【详解】对数据2，6，8，3，3，4，6，8，依据从小到大排序即为，中间两个数字为：，故其中位数是，故错误；明显数据均出现次，故众数为，则正确；又其平均数为，故正确；则其方差为：，故错误.故选：【点睛】本题考查一组数据众数、中位数、平均数以及方差的求解，属简洁题.10.下列所给函数中值域为的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】A.利用幂函数的性质推断；B.令，转化为指数函数推断；C.令，转化为对数函数推断；D.分和探讨求解推断.【详解】A.因为的定义域为，因为函数在上是减函数且为偶函数，所以其值域是，故正确；B.令，则，故错误；C.令，则，故错误；D.当时，，当时，，综上：，故正确；故选：AD11.下列推断不正确的是（）A.函数在定义域内是减函数B.的单调减区间为（4，＋∞）C.已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（－4，1）D.已知在R上是减函数，则a的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】依据函数单调性的性质、复合函数单调性、基本不等式、分段函数单调性进行推断即可.【详解】A：因为，明显不符合减函数的性质，所以A不正确；B：函数定义域满意所以定义域为，设在上单调递增，单调递增，由复合函数的单调性的单调增区间为（4，＋∞），所以B不正确.C：因为，所以有，当且仅当时取等号，即当时取等号，要想恒成立，只需，故C正确；D：当时，是减函数，则，即，当时，是减函数，则，又因为函数在R上是减函数，还须要满意即，综上a的取值范围是，故D不正确.故选：ABD12.已知函数，使得“方程有6个相异实根”成立的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】令.经过分析可得，要使方程有6个相异实根，则应满意方程有两个不同的解、，且满意，.结合，.即可得到，构造对勾函数，依据单调性即可得到，即可得到的范围，进而得到答案.【详解】令，方程可化为，该方程最多有两个解.当，即或时，方程有两个不同的解，设为、，则由韦达定理可得，.当时，在处有最大值1.作出的图象如下图.由图象可得，当时，与函数有3个交点，即方程有3个解.要使方程有6个相异实根，则应有，，且.又，.且，当且仅当时，等号成立.因为，所以，即，所以.因为，，则，即，所以.又，所以.所以，令，依据对勾函数的性质可得，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.又，所以时，有恒成立，即.所以，即，则有.即“方程有6个相异实根”成立的充要条件是.所以，“方程有6个相异实根”成立的充分条件的范围应当为上述范围的子集.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，，则用“＜”连接这三个数应为________.【答案】【解析】【分析】分别利用函数、、的单调性求出a、b、c的取值范围，进而得出结果.【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即；因为函数在R上单调递增，且-3.2<0，所以，即；因为函数在上单调递减，且6>1，所以，即，故.故答案为：14.已知四个函数：①；②；③；④.从中任选2个，则事务“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________【答案】【解析】【详解】由四个函数①；②；③；④，从中任选个函数，共有种，其中“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”共有①③、①④，共有种，所以“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.15.函数的最小值为__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：所以，当，即时，取得最小值.所以答案应填：.考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.16.设函数的定义域为D，若函数满意条件：存在，使在上的值域是，则称为“双倍函数”，若函数为“双倍函数”．则实数t的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】依据题设条件可得的两个不同的解，利用对数的运算和换元法可得在上有两个不同的正数解，结合根分布可求参数的取值范围.【详解】因为为增函数，设此函数的值域为，则，而在上为增函数，故为上的增函数，由为“双倍函数”，故，故为方程的两个不同的解，故即方程有两个不同的解，设，则在上有两个不同的正数解，故，解得.故答案为：.四、解答题：本大题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知．（1）若p为真命题，求此不等式的解集；（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据分式不等式的求解方法，可得答案；（2）依据充分条件的集合表示形式，利用分类探讨，依据含参二次不等式，可得答案.【小问1详解】已知P为真命题，由，，可得，所以．所以不等式的解集为.【小问2详解】因为p是q的充分条件，所以对应的集合是所对应集合的子集．q：，可得①当时，q：；因为对应的集合是所对应集合的子集，所以，可得．②当时，q：，所以不符合题意；③当时，q：；因为对应的集合是所对应集合的子集，所以，无解．所以m的取值范围为．18.（1）先后掷两个质地匀称的骰子，视察朝上的面的点数，记事务A：两个骰子点数相同，事务B：点数之和小于7.求，；（2）某培训机构在假期招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成果为130分，方差为115，B班的平均成果为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成果和方差．【答案】（1），；（2）平均分为115，方差为265.【解析】【分析】（1）求出试验样本空间，写出各个事务包含的基本领件，依据古典概型公式即可求出；（2）依据各层的平均数估计总体平均数，将总数求出来除以总人数即可得出.在求总体方差时，首先推出总体方差与各层方差、平均数之间的关系式，代入数据即可求得.【小问1详解】抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，第一枚骰子的每一个结果都可与其次枚骰子的随意一个结果配对.用数字表示第一枚骰子出现的点数是，数字表示第一枚骰子出现的点数是，则数组表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间，其中共有36个样本点.由于骰子的质地匀称，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.因为，所以，所以；因为，所以，所以.【小问2详解】A班学生成果用来表示，B班学生成果用来表示.设A班平均成果为，方差为；B班平均成果为，方差为.则，，，.全体学生的平均成果为，全体学生的方差.由，可得.同理可得，.因此，.所以，全体学生的平均分为115，全体学生成果的方差为265.19.已知函数f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，(1)求g(x)的解析式及定义域；(2)求函数g(x)的最大值和最小值．【答案】（1）g(x)＝22x－2x＋2，{x|0≤x≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】【详解】（1）f(x)＝2x的定义域是[0,3]，设g(x)＝f(2x)－f(x＋2)，因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．（2）设．∵x∈[0,1],即2x∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3．20.为了选择奥赛培训对象，今年月我校进行一次数学竞赛，从参与竞赛的同学中，选取名同学将其成果分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图（如图），视察图形中的信息，回答下列问题：（1）利用组中值估计本次考试成果的平均数；（2）从频率分布直方图中，估计第百分位数是多少；（3）已知学生成果评定等级有优秀､良好､一般三个等级，其中成果不小于分时为优秀等级，若从第组和第组两组学生中，随机抽取人，求所抽取的人中至少人成果优秀的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依据频率分布直方图估计平均数的方法干脆计算可得结果；（2）首先确定第百分位数位于，设其为，由可求得结果；（3）依据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数，利用列举法列举出全部可能的基本领件，并确定满意题意的基本领件个数，依据古典概型概率公式可求得结果.【小问1详解】由频率分布直方图可知平均数.【小问2详解】成果在的频率为，成果在的频率为，第百分位数位于，设其为，则，解得：，第百分位数为.【小问3详解】第组的人数为：人，可记为；第组的人数为：人，可记为；则从中任取人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种状况；其中至少人成果优秀的状况有：，，，，，，，，，，，，，，，共种状况；至少人成果优秀的概率.21.已知函数为偶函数，且．（1）求值，并确定的解析式；（2）若(且)，求在上值域．【答案】（1），；（2）当时，函数的值域为，当时，的值域为.【解析】【详解】试题分析：（1）因为，所以由幂函数的性质得，，解得，因为，所以或，验证后可知，；（2）由（1）知，函数在上单调递增，故按，两类，利用复合函数单调性来求函数的值域.试题解析：（1）因为，所以由幂函数的