适用于新教材2025版高中数学课时素养检测十四余弦定理正弦定理应用举例-高度角度问题新人教A版必修第二册

PAGE十四余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°【解析】选B.如图所示，∠ACB＝90°.又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°，所以点A在点B的北偏西15°.2．如图所示，为测一树的高度，在地上选取A，B两点，从A，B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A.(30＋30eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))m D．(15＋3eq\r(3))m【解析】选A.设树高为xm，则BP＝eq\r(2)xm.在△ABP中，AB＝60，BP＝eq\r(2)x，∠A＝30°，∠APB＝15°.由正弦定理得eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(BP,sin30°)，即eq\f(60,sin15°)＝eq\f(\r(2)x,sin30°)，解得x＝30(1＋eq\r(3)).3．(2024·银川高一检测)常用的A4打印纸的长宽比例是eq\r(2)∶1，从A4纸中剪去一个最大的正方形后，剩下的矩形长与宽之比称为“白银比例”．白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域有着广泛的应用．已知某高塔自下而上依次建有第一观景台和其次观景台，塔顶到塔底的高度与其次观景台到塔底的高度之比，其次观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比，都等于白银比例，若两观景台之间高度差为60米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是()A．285米B．268米C．255米D．248米【解析】选D.由题意可知：白银比例为1∶(eq\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1；设塔底为点A，第一观景台为点B，其次观景台为点C，塔顶为点D，所以eq\f(AD,AC)＝eq\r(2)＋1，eq\f(AC,AB)＝eq\r(2)＋1，因为BC＝AC－AB＝(eq\r(2)＋1)AB－AB＝eq\r(2)AB＝60(米)，所以AB＝30eq\r(2)米，所以AD＝(eq\r(2)＋1)AC＝(eq\r(2)＋1)2AB＝30eq\r(2)×(3＋2eq\r(2))＝120＋90eq\r(2)≈247.26(米)，所以选项中与塔的实际高度最接近的是248米．【补偿训练】1.(2024·亳州高一检测)圣·索菲亚教堂(英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标记性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物爱护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中心主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领会它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15eq\r(3)－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为()A．20m B．30mC．20eq\r(3)m D．30eq\r(3)m【解析】选D.由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝eq\f(AB,sin∠AMB)＝eq\f(AB,sin15°)，在△ACM中，由正弦定理得eq\f(AM,sin30°)＝eq\f(CM,sin45°)，所以CM＝eq\f(AM·sin45°,sin30°)＝eq\f(AB·sin45°,sin15°·sin30°)，在Rt△DCM中，CD＝CM·sin60°＝eq\f(AB·sin45°·sin60°,sin15°·sin30°)＝eq\f(（15\r(3)－15）·\f(\r(2),2)·\f(\r(3),2),\f(\r(6)－\r(2),4)·\f(1,2))＝30eq\r(3).2．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10000m到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为()A．2500(eq\r(3)－1)m B．5000eq\r(2)mC．4000m D．4000eq\r(2)m【解析】选A.如图，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°，AB＝10000，所以∠ACB＝45°.由正弦定理，得eq\f(10000,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，又cos75°＝eq\f(BD,BC)，所以BD＝eq\f(10000·sin30°,sin45°)·cos75°＝2500(eq\r(3)－1)(m).4．(2024·三明高一检测)日常生活中，我们常看到各种各样的简易遮阳棚(板).现有直径为2m的圆面，在其圆周上选定一个点固定在水平地面上，然后将圆面撑起，做成简易遮阳棚(板).某一时刻的太阳光线与水平地面成40°角，若要得到最大的遮阴面，则遮阳棚(板)与遮阴面所成角大小为()A．60°B．50°C．45°D．40°【解析】B.依题意分析可知，阴影面是椭圆，椭圆的短轴长2b＝2m，如图，圆的直径AB在地面的投影为AC，则AC为椭圆的长轴，∠BAC为圆面与阴影面所成二面角的平面角，∠BCA＝40°，依据椭圆的面积公式可得S＝πab＝π·eq\f(1,2)|AC|·1＝eq\f(π,2)·|AC|，所以要使椭圆的面积最大，只要|AC|最大即可．在△ABC中，由正弦定理可得eq\f(|AC|,sin∠ABC)＝eq\f(|AB|,sin∠BCA)，所以|AC|＝eq\f(2sin∠ABC,sin40°)，当∠ABC＝90°时，|AC|最大，此时∠BAC＝50°，所以遮阳棚(板)与遮阴面所成角大小为50°.二、填空题(每小题5分，共10分)5．在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为__________m.【解析】过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，则BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200eq\r(3)m.故两船距离BC＝BH＋CH＝200(eq\r(3)＋1)m.答案：200(eq\r(3)＋1)6．甲船在岛A的正南B处，以4km/h的速度向正北航行，AB＝10km，同时乙船自岛A动身以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为________.【解析】如图，当两船航行th时，甲船到D处，乙船到C处，则AD＝10－4t，AC＝6t，∠CAD＝120°，若AD′＝4t－10，AC＝6t，∠CAD′＝60°，所以CD2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝28t2－20t＋100，所以当t＝eq\f(5,14)h时，CD2最小，即两船最近，t＝eq\f(5,14)h＝eq\f(150,7)min.答案：eq\f(150,7)min【补偿训练】如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船马上前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距6海里的C处的乙船，乙船马上朝北偏东(θ＋30°)的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为________.【解析】连接BC，由已知得AC＝6，AB＝10，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos120°＝100＋36－2·10·6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝196，所以BC＝14，由正弦定理得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即eq\f(10,sinC)＝eq\f(14,\f(\r(3),2))，解得sinC＝eq\f(5\r(3),14)，所以sinθ＝eq\f(5\r(3),14).答案：eq\f(5\r(3),14)三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，为测量竖直旗杆CD高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4eq\r(21)m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，求旗杆CD高度．【解析】设CD＝x，在Rt△BCD，∠CBD＝45°，所以BC＝x，在Rt△ACD，∠CAD＝60°，所以AC＝eq\f(CD,tan60°)＝eq\f(x,\r(3))，在△ABC中，∠CAB＝20°，∠CBA＝10°，所以∠ACB＝180°－20°－10°＝150°，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°，又AB＝4eq\r(21)，即(4eq\r(21))2＝eq\f(1,3)x2＋x2＋2·eq\f(x,\r(3))·x·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(7,3)x2，解得x＝12.所以旗杆高12米．8．某海岛四周38nmile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30nmile后测得此岛在东北方向，若不变更航向，试问此船是否有触礁的危急？说明理由．【解析】如图所示，由题意知，在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，所以∠ACB＝15°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(30sin30°,sin15°)＝eq\f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq\r(6)＋eq\r(2)).在Rt△BDC中，CD＝eq\f(\r(2),2)BC＝15(eq\r(3)＋1)>38.所以此船无触礁的危急．(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D点测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15米B．5米C．10米D．12米【解析】选C.如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝eq\r(3)h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理，得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，所以h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍).2．2024年国庆节期间，某数学老师进行了一次“说走就走”的登山活动，从山脚A处动身，沿一个坡角为45°的斜坡直行，走了100eq\r(2)m后，到达山顶B处，C是与B在同一铅垂线上的山底，从B处测得另一山顶M点的仰角为60°，与山顶M在同一铅垂线上的山底N点的俯角为30°，两山BC，MN的底部与A在同一水平面，则山高MN＝()A．200mB．250mC．300mD．400m【解析】选D.如图，由题可知，AB＝100eq\r(2)，∠A＝45°，∠M＝30°，∠MBN＝90°，∠MNB＝60°，所以BC＝100，BN＝200，MN＝400.【解后反思】解三角形的实际应用题型，首先是模型的建立，本题要依据题目条件，画出正确的几何图形模型，再依据题目的条件，利用解三角形的学问，进行目标的求解．在本题中，可以依据条件的特别性，干脆利用三角形的几何特征求解．3．(多选题)一船向正北航行，望见正西方向有相距10nmile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，接着航行半小时后，望见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，此时离最近的灯塔为anmile，设这艘船的速度是每小时vnmile，则()A．a＝5 B．a＝10C．v＝10 D．v＝10eq\r(3)【解析】选BC.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，BC＝5eq\r(3)，所以这艘船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(nmile/h)，即v＝10.4．如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，总建筑面积700多平方米．塔内供奉观音大士铜铸32应身，玻璃钢彩铸大悲咒出相84尊，有通道拾级而上可登顶层．塔名由中国书法协会名誉主席、中国佛教协会顾问、国学大师启功先生题写．塔是佛教的工巧明(即工艺学，比如建筑学就是工巧明之一)，东汉明帝永平年间方始在我国兴建．所谓救人一命胜造七级浮屠，这七级浮屠就是指七级佛塔．下面是观音塔的示意图，游客(视为质点)从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进51米达到E点，此时看点C点的仰角为45°，若2BC＝3AC，则该八角观音塔的高AB约为()(eq\r(3)≈1.73)A.8米B．9米C．40米D．45米【解析】选D.设AC＝x，由2BC＝3AC得，BC＝eq\f(3,2)x，因为∠CEB＝45°，所以BE＝BC＝eq\f(3,2)x，在Rt△ABD中，tan30°＝eq\f(AB,BD)＝eq\f(x＋\f(3,2)x,\f(3,2)x＋51)＝eq\f(\r(3),3)，解得x＝eq\f(102\r(3),15－3\r(3))≈18，所以AB＝eq\f(5,2)x≈45米．二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30eq\r(2)海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心马上把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为________．【解析】如图所示，在△ABC中，AB＝30eq\r(2)，AC＝20，∠BAC＝135°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos135°＝3400，所以BC＝10eq\r(34)，由正弦定理得sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(3\r(34),34)，由∠BAC＝135°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝eq\f(5\r(34),34)，故cosθ＝cos(∠ACB＋45°)＝cos∠ACBcos45°－sin∠ACBsin45°＝eq\f(\r(2),2)(eq\f(5\r(34),34)－eq\f(3\r(34),34))＝eq\f(\r(17),17).答案：eq\f(\r(17),17)6．有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不变更坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长________m.【解析】如图，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(x,sin45°)＝eq\f(10,sin30°)，所以x＝10eq\r(2)(m).答案：10eq\r(2)三、解答题(每小题10分，共20分)7．在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走10eq\r(3)m，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．【解题指南】如图所示，求角θ，必需把角θ，2θ，4θ和边长30，10eq\r(3)尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．【解析】方法一：因为∠PAB＝θ，∠PBC＝2θ，所以∠BPA＝θ，所以BP＝AB＝30.又因为∠PBC＝2θ，∠PCD＝4θ，所以∠BPC＝2θ，所以CP＝BC＝10eq\r(3).在△BPC中，依据正弦定理，得eq\f(PC,sin2θ)＝eq\f(PB,sin（π－4θ）)，即eq\f(10\r(3),sin2θ)＝eq\f(30,sin4θ)，所以eq\f(2sin2θcos2θ,sin2θ)＝eq\f(30,10\r(3)).由于sin2θ≠0，所以cos2θ＝eq\f(\r(3),2).因为0°<2θ<90°，所以2θ＝30°，所以θ＝15°.方法二：在△BPC中，依据余弦定理，得PC2＝PB2＋BC2－2PB·BC·cos2θ，把PC＝BC＝10eq\r(3)，PB＝30代入上式得，300＝302＋(10eq\r(3))2－2×30×10eq\r(3)×cos2θ，化简得：cos2θ＝eq\f(\r(3),2).因为0°<2θ<90°，所以2θ＝30°，所以θ＝15°.方法三：如图，过顶点C作CE⊥PB，交PB于E，因为△BPC为等腰三角形，所以PE＝BE＝15.在Rt△BEC中，cos2θ＝eq\f(BE,BC)＝eq\f(15,10\r(3))＝eq\f(\r(3),2).因为0°<2θ<90°，所以2θ＝30°，所以θ＝15°.8．某海轮以30海里/时的速度航行，在点A测得海上面油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶40分钟到达C点．(1)求PC间的距离；(2)在点C测得油井的方位角是多少？【解题指南】(1)在△ABP中，依据正弦定理，求BP，再利用勾股定理算出PC的长，即可算出P，C两地间的距离；(2)依据内错角相等可证明CP∥AB，从而可得出结论．【解析】(1)在△ABP中，AB＝30×eq\f(40,60)＝20，∠APB＝30°，∠BAP＝120°，依据正弦定理得：eq\f(20,\f(1,2))＝eq\f(BP,\f(\r(3),2))⇒BP＝20eq\r(3)，在△PBC中，BC