适用于新教材2025版高中数学课时素养检测四十二事件的相互独立性新人教A版必修第二册

PAGE四十二事务的相互独立性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若A与B是相互独立事务，则下列结论中正确的是()A．A与B是对立事务 B．A与B是互斥事务C．eq\x\to(A)与eq\x\to(B)不相互独立 D．A与eq\x\to(B)是相互独立事务【解析】选D.相互独立与互斥、对立没有必定联系．2．(2024·张家口高一检测)甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的．今从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为()A．eq\f(1,20)B．eq\f(15,16)C．eq\f(3,5)D．eq\f(19,20)【解析】选C.设“从甲盒中取一螺杆为A型螺杆”为事务A，“从乙盒中取一螺母为A型螺母”为事务B，则A与B相互独立，P(A)＝eq\f(160,200)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(180,240)＝eq\f(3,4)，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P＝P(A∩B)＝P(A)P(B)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5).3．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事务A：“甲击中目标”，事务B：“乙击中目标”，则事务A与事务B()A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥【解析】选A.对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事务A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事务A与B可能同时发生，所以事务A与B不是互斥事务．4．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是()A．0.56B．0.92C．0.94D．0.96【解析】选C.因为两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，所以目标被击中的概率为1－0.06＝0.94.5．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是()A．0.64B．0.56C．0.81D．0.99【解析】选C.Ai表示“第i题做对”，i＝1，2，则P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.【补偿训练】假日期间，甲去黄山的概率是eq\f(1,4)，乙去黄山的概率是eq\f(1,5)，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在假日期间甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是()A．eq\f(3,20)B．eq\f(1,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(9,20)【解析】选C.设甲、乙去黄山分别为事务A，B，则P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,5)，所以甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是P＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5).6．如图所示，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.eq\f(4,9)B．eq\f(2,9)C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,3)【解析】选A.“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事务A，则P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事务B，则P(B)＝eq\f(2,3)，事务A，B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).二、填空题(每小题5分，共10分)7．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为eq\f(1,70)，eq\f(1,69)，eq\f(1,68)，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．【解析】加工出来的零件的正品率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,70)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,69)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,68)))＝eq\f(67,70)，因此加工出来的零件的次品率为1－eq\f(67,70)＝eq\f(3,70).答案：eq\f(3,70)8．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．【解析】由题意知P＝eq\f(8,8＋4)×eq\f(6,6＋6)＋eq\f(4,8＋4)×eq\f(6,6＋6)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答题(每小题10分，共20分)9．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为eq\f(4,5)，乙当选的概率为eq\f(3,5)，丙当选的概率为eq\f(7,10).(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．【解析】设甲、乙、丙当选的事务分别为A，B，C，则有P(A)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(3,5)，P(C)＝eq\f(7,10).(1)因为事务A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝P(A)·P(eq\x\to(B))·P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A))·P(B)·P(eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))·P(C)＝eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,10)＋eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(47,250).(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(83,125).10．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳中学胜利的概率分别为0.7，0.6，且每次试跳胜利与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才胜利的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人胜利的概率．【解析】记“甲第i次试跳胜利”为事务Ai，“乙第i次试跳胜利”为事务Bi(i＝1，2，3)，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立．(1)“甲试跳三次，第三次才胜利”为事务eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3，且这三次试跳相互独立．所以P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人胜利”为事务C.P(C)＝1－P(eq\x\to(A)1)P(eq\x\to(B)1)＝1－0.3×0.4＝0.88.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2024·南宁高一检测)甲、乙两人参与学问竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为()A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,7)D．eq\f(5,12)【解析】选D.依据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(5,12).2．设两个独立事务A和B都不发生的概率为eq\f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事务A发生的概率P(A)等于()A．eq\f(2,9)B．eq\f(1,18)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)【解析】选D.由题意，P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))·P(B)＝P(A)·P(eq\x\to(B)).设P(A)＝x，P(B)＝y，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－x）（1－y）＝\f(1,9)，,（1－x）y＝x（1－y），))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x－y＋xy＝\f(1,9)，,x＝y.))所以x2－2x＋1＝eq\f(1,9)，所以x－1＝－eq\f(1,3)，或x－1＝eq\f(1,3)(舍去)，所以x＝eq\f(2,3).3.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳动时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,9)D．eq\f(8,27)【解析】选A.青蛙跳三次要回到A只有两条途径：第一条：按A→B→C→A，P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27).其次条，按A→C→B→A，P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).所以跳三次之后停在A叶上的概率为P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).4.有一个电路，如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，若其闭合的概率都是eq\f(1,2)，且每个开关闭合与否是相互独立的，则灯亮的概率是()A．eq\f(1,64)B．eq\f(55,64)C．eq\f(1,8)D．eq\f(1,16)【解析】选B.设事务T为开关A，B中至少有一个不闭合，事务R为开关E，F中至少有一个不闭合，则P(T)＝P(R)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4).设事务M，N分别为开关C，D不闭合，则P(M)＝P(N)＝eq\f(1,2).所以灯不亮的概率为eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(9,64).所以灯亮的概率为1－eq\f(9,64)＝eq\f(55,64).二、填空题(每小题5分，共20分)5．甲、乙、丙三位射击手命中目标的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，现在三人同时射击，目标被击中的概率等于______．【解析】目标没有被击中的概率就是甲、乙、丙三位射手都没有击中的概率，为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4).故目标被击中的概率是1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)6．某自助银行共有A，B，C三台ATM机，在某段时间内，这三台ATM机被占用的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)若一位顾客到自助银行运用ATM机，则其不须要等待的概率为________．【解析】设事务A，B，C分别为“ATM机A，B，C被占用”，则P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,5).记事务D：“顾客不须要等待”，则eq\x\to(D)为“顾客须要等待”，由已知得eq\x\to(D)＝ABC，所以P(eq\x\to(D))＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,60)，于是P(D)＝1－P(eq\x\to(D))＝1－eq\f(1,60)＝eq\f(59,60).答案：eq\f(59,60)7．某学校团委在2024年春节前夕举办老师“学习强国”学问答题赛，其中高一年级的甲、乙两名老师组队参与答题赛，竞赛共分两轮，每轮竞赛甲、乙两人各答一题．已知甲答对每个题的概率为eq\f(2,3)，乙答对每个题的概率为eq\f(1,2).假定甲、乙两人答题正确与否互不影响，则竞赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为________．【解析】甲、乙两人共答对三个题的基本领件有{甲答对2个乙答对1个，甲答对1个乙答对2个}，而甲答对每个题的概率为eq\f(2,3)，乙答对每个题的概率为eq\f(1,2).所以甲答对2个乙答对1个的概率为P1＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,9)，甲答对1个乙答对2个的概率为P2＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,9)，所以甲、乙两人共答对三个题的概率为P1＋P2＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，两人租车时间都不会超过四小时．则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________．【解析】由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事务A，则P(A)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16).所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为eq\f(5,16).答案：eq\f(5,16)三、解答题(每小题10分，共20分)9．在一个选拔项目中，每个选手都须要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为eq\f(5,6)，eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．【解析】记事务Ai(i＝1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知得P(A1)＝eq\f(5,6)，P(A2)＝eq\f(4,5)，P(A3)＝eq\f(3,4)，P(A4)＝eq\f(1,3).(1)记事务B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P(B)＝P(A1A2eq\x\to(A)3)＝P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A)3)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,6).(2)记事务C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P(C)＝P(eq\x\to(A)1∪A1eq\x\to(A)2∪A1A2eq\x\to(A)3)＝P(eq\x\to(A)1)＋P(A1eq\x\to(A)2)＋P(A1A2eq\x\to(A)3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(5,6)×eq\f(1,5)＋eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,2).10．已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3).求：(1)3人都通过体能测试的概率；(2)只有2人通过体能测试的概率；(3)只有1人通过体能测试的概率．【解析】设事务A＝“甲通过体能测试”，事务B＝“乙通过体能测试”，事务C＝“丙通过体能测试”，由题意有：P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).(1)设事务M1＝“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即事务M1＝ABC，由事务A，B，C相互独立可得P(M1)＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)设事务M2＝“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则M2＝ABeq\x\to(C)＋Aeq\x\to(B)C＋eq\x\to(A)BC，由于事务A，B，C，eq\x\to(A)，eq\x\to(B)，eq\x\to(C)均相互独立，并且事务ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C，eq\x\to(A)BC两两互斥，因此P(M2)＝P(A)·P(B