适用于新教材2025版高中数学重难点突破练四新人教A版必修第二册

PAGE重难点突破练(四)重难点一空间中直线、平面的位置关系1.已知两平面α,β平行,且a⊂α,下列三个命题:①a与β内的全部直线平行;②a与β内多数条直线平行;③a与β无公共点.其中正确命题的个数是 ()A.1 B.2 C.3 D.02.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是 ()A.α内的全部直线都与直线a异面B.α内不存在于a平行的直线C.α内的直线都与a相交D.直线a与平面α有公共点3.给出以下结论:(1)直线a∥平面α,直线b⊂α,则a∥b;(2)若a⊂α,b⊄α,则a,b无公共点;(3)若a⊄α,则a∥α或a与α相交;(4)若a∩α=A,则a⊄α.正确的有 ()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.若三个平面两两相交,且三条交线相互平行,则这三个平面把空间分成部分.

5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.

6.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正方体,在图中,E,F分别是D1C1,B1B的中点,画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线,并给出证明.7.如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点,E,F是棱AB,BC的中点,试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.(1)过点G及AC;(2)过三点E,F,D1.重难点二空间中直线、平面的平行1.平面α截一个三棱锥,假如截面是梯形,那么平面α必定和这个三棱锥的 ()A.一个侧面平行B.底面平行C.仅一条棱平行D.某两条相对的棱都平行2.有下列四个条件:①a⊄β,b⊂β,a∥b;②b⊂β,a∥b;③a∥b∥c,b⊂β,c⊂β;④a,b是异面直线,a∥c,b⊂β,c⊂β.其中能保证直线a∥平面β的条件是 ()A.①② B.①③ C.①④ D.②④3.(多选题)如图,若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHC1B1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于A1,B1的点,F为线段BB1上异于B,B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中正确的是()A.EH∥FG B.EF∥HGC.Ω是棱柱 D.Ω是棱台3题图5题图4.在三棱锥P-ABC中,PB=6,AC=3,G为△PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB和AC,则截面的周长为.

5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,若MN∥平面B1BDD1,则点M的轨迹是6.如图所示的一块四棱柱木料ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是梯形,且CD∥AB.(1)要经过面A1B1C1D1内的一点P和侧棱DD1将木料锯开,应怎样画线?(2)所画的线之间有什么位置关系?7.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=12AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②求证:在四棱锥P-ABCD中,AP∥平面EFG.重难点三空间直线、平面的垂直1.已知空间中三条不同的直线l,m,n和两个不同的平面α,β,下列四个命题中正确的是 ()A.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥βD.若l⊥m,m⊥α,则l∥α2.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为π4和π6.过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A',B',则AB∶A'B'等于 (A.2∶1 B.3∶1 C.3∶2 D.4∶33.已知直线l∩平面α=O,A∈l,B∈l,A∉α,B∉α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD=()A.2 B.1 C.32 D.4.(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,C为圆上异于A,B的随意一点,AE⊥PC垂足为E,点F是PB上一点,则下列推断中正确的是 ()A.BC⊥平面PACB.AE⊥EFC.AC⊥PB D.平面AEF⊥平面PBC4题图6题图5.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD与平面ABC所成的角的大小为.

6.在三棱锥S-ABC中,AC⊥平面SBC,已知SC=a,BC=3a,SB=2a,则二面角S-AC-B的大小为.

7.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为AD的中点.(1)证明:BE⊥平面PAD;(2)若PA=AB=2,求四棱锥P-ABCD的侧面积.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADB=∠PDC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,M是棱PC上的点.(1)证明:PD⊥底面ABCD;(2)若三棱锥A-BDM的体积是四棱锥P-ABCD体积的14,设PM=tMC,试确定t的值9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC且BC1⊥A1C.(1)求证:平面ABC1⊥平面A1ACC1;(2)点D在边A1C1上且C1D=13C1A1,证明在线段BB1上存在点E,使DE∥平面ABC1,并求此时BEB重难点突破练(四)重难点一1.B①中a不能与β内的全部直线平行而是与多数条直线平行,有一些是异面直线;②正确;③依据定义a与β无公共点,正确.2.D直线a不平行于平面α,则a与平面α相交或a⊂α.3.B结合直线与平面的位置关系可知,(1)(2)错误,(3)(4)正确.4.【解析】如图所示,可以将空间划分为7部分.答案:75.【解析】由异面直线的定义,知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.答案:66.【解析】如图①所示,过点E作EN平行于BB1交CD于N,连接NB并延长交EF的延长线于M,连接AM,则直线AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.如图②所示,延长DC,过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M,连接BM,则直线BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线.证明如下:在图①中,因为直线EN∥BF,所以B,N,E,F四点共面,因此EF与NB相交,交点为M.因为M∈EF,且M∈NB,而EF⊂平面AEF,NB⊂平面ABCD,所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点.又因为点A是平面ABCD与平面AEF的公共点,故直线AM为两平面的交线.在图②中,C1M在平面CDD1C1内,因此与DC的延长线相交,交点为M,则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点,又点B也是这两个平面的公共点,因此直线BM是两平面的交线.7.【解析】(1)画法:连接GA交A1D1于点M,连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示.(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示.重难点二1.C当平面α∥平面ABC时,如图(1)所示,截面是三角形,不是梯形,所以A,B不正确;当平面α∥SA时,如图(2)所示,此时截面是四边形DEFG.又SA⊂平面SAB,平面SAB∩α=DG,所以SA∥DG.同理SA∥EF,所以EF∥DG.同理,当平面α∥BC时,GF∥DE,但是截面是梯形,则四边形DEFG中仅有一组对边平行,所以平面α仅与一条棱平行.所以D不正确,C正确.2.C①若a⊄β,b⊂β,a∥b,则直线a∥平面β,故符合题意;②若b⊂β,a∥b时,则a⊂β或直线a∥平面β,故不符合题意;③若a∥b∥c,b⊂β,c⊂β时,则a⊂β或直线a∥平面β,故不符合题意;④a,b是异面直线,a∥c,b⊂β,c⊂β,则直线a∥平面β,故符合题意.综上所述,符合题意的条件是①④.3.ABC因为EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,所以EH∥B1C1,又EH⊄平面BCC1B1,B1C1⊂平面BCC1B1,所以EH∥平面BCC1B1,又EH⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面BCC1B1=FG,所以EH∥FG,故EH∥FG∥B1C1,所以选项A,C正确,D错误;因为平面ABB1A1∩平面EFGH=EF,平面CDD1C1∩平面EFGH=GH,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,所以EF∥GH,故B正确.4.【解析】如图,过点G作EF∥AC,分别交PA,PC于点E,F,过E,F分别作EN∥PB,FM∥PB,分别交AB,BC于点N,M,连接MN,则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面),且EF=MN=23AC=2,FM=EN=13PB答案:85.【解析】连接HN,FH,FN.因为FH∥BB1,HN∥BD,FH∩HN=H,所以平面FHN∥平面B1BDD1,又平面FHN∩平面EFGH=FH,所以当M∈FH时,MN⊂平面FHN,所以MN∥平面B1BDD1.答案:线段FH6.【解析】(1)如图所示,连接D1P并延长交A1B1于E,过E作EF∥AA1交AB于F,连接DF,则D1E,EF,FD就是应画的线.(2)因为DD1∥AA1,EF∥AA1,所以D1D∥EF.所以D1D与EF确定一个平面α.又因为平面AC∥平面A1C1,α∩平面AC=DF,α∩平面A1C1=D1E,所以D1E∥DF.明显DF,D1E都与EF相交.7.【证明】在四棱锥P-ABCD中,E,F分别为PC,PD的中点,所以EF∥CD.因为AB∥CD,所以EF∥AB.因为EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,EF⊂平面EFG,EG⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面PAB.因为AP⊂平面PAB,所以AP∥平面EFG.重难点三1.B对于A,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m与n平行或异面,故A错误;对于B,若l⊥α,l⊥β,则α∥β,故B正确;对于C,如图,α⊥β,α∩β=m,l⊥m,l⊂β,故C错误;对于D,如图,l⊥m,m⊥α,l⊂α,故D错误.2.A由已知条件可知∠BAB'=π4,∠ABA'=π6,设AB=2a,则BB'=2asinπ4=2a,A'B=2acosπ6所以在Rt△BB'A'中,得A'B'=a,所以AB∶A'B'=2∶1.3.A因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.如图所示,连接OD,则OAOB=AC因为OA=AB,所以OAOB=1因为AC=1,所以BD=2.4.ABD在A中,因为C为圆上异于A,B的随意一点,所以BC⊥AC,因为PA⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,故A正确;在B中,因为BC⊥平面PAC,AE⊂平面PAC,所以BC⊥AE,因为AE⊥PC,PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC,因为EF⊂平面PBC,所以AE⊥EF,故B正确;在C中,若AC⊥PB,则AC⊥平面PBC,则AC⊥PC,与AC⊥PA冲突,故AC与PB不垂直,故C错误;在D中,因为AE⊥平面PBC,AE⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC,故D正确.5.【解析】底面积不变,在折叠过程中,高是先增加后减小.设AC的中点为O,当DO⊥平面ABC时,DO即为高,此时高最大.此时△DOB为等腰直角三角形,直线BD与平面ABC所成角为45°.答案:45°6.【解析】因为AC⊥平面SBC,SC,BC⊂平面SBC,所以AC⊥SC,AC⊥BC,所以二面角S-AC-B的平面角为∠SCB.又SC=a,BC=3a,SB=2a,所以SB2=SC2+BC2,故△SCB为直角三角形,所以∠SCB=90°.答案:90°7.【解析】(1)如图,连接BD,因为底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,所以△ABD是正三角形.因为E为AD的中点,所以BE⊥AD.①又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以BE⊥PA.②又因为AD∩PA=A,③由①②③知:BE⊥平面PAD.(2)连接AC,易得AC=23,在Rt△PAB中,PB=22,因为PA=2,AC=23,PA⊥AC,所以PC=4,在△PBC中,由余弦定理得cos∠PBC=-24所以sin∠PBC=144从而S△PCB=12PB·BC·sin∠PBC=12×22×2×144又因为S△PAD=12·PA·AD=1由对称性知:S△PAD=S△PAB,S△PCD=S△PCB,所以四棱锥P-ABCD的侧面积S=2S△PAD+2S△PCB=4+27.8.【解析】(1)因为∠ADB=90°,平面PAD⊥底面ABCD,所以AD⊥BD,平面PAD∩底面ABCD=AD,BD⊂底面ABCD,所以BD⊥平面PAD,PD⊂平面PAD,所以BD⊥PD,又∠PDC=90°,所以PD⊥DC,BD∩DC=D,所以PD⊥底面ABCD;(2)设PD=h,M究竟面ABCD的距离为h',因为三棱锥A-BDM的体积是四棱锥P-ABCD体积的14所以VA-BDM=VM-ABD=14VP-ABCD,又VM-ABD=13S△ABD·h',VP-ABCD=13S▱ABCD·h,