1.5 三角函数的应用 北师大版数学九年级下册课件

三角函数的应用九年级下册数学北师大版1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；（重点）2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角的问题.(难点)学习目标

我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.

那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？

如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行.

你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?

请与同伴交流你是怎么想的?怎么去做?ABCD北东与方向角有关的实际问题

解：要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险，只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D，如果AD>10海里，则无触礁的危险.

根据题意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC=20海里.设AD=x海里.ABCD北东┌55°25°

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．

如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为600，那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).要解决这问题，我们仍需将其数学化.请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?现在你能完成这个任务吗?与仰角、俯角相关的测量与计算

某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). 1.现在你能完成这个任务吗? 2.请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?ABCD┌可以将实际问题转化成数学问题，再解决.利用倾斜角解决实际问题

某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).

转化后的问题：如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.求(1)AB-BD的长.(2)AD的长.ABCD┌4m35°40°

如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.求：(1)AB-BD的长.ABCD┌4m35°40°

如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.求：(2)

AD的长.ABCD┌4m35°40°

用三角函数知识解决实际问题的一般步骤：（1）通过读题把已知转化为数学图形；（2）找出直角三角形和已知、未知元素；（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；（4）解题.1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.100图1图2BCBC巩固练习3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于

（根号保留）．4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为

（根号保留）．图3图45.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________.解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，∴AD=OA=2km．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴BD=AD=2km，∴AB=AD=km．即该船航行的距离为km．6.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AD＋BD＝AB，∴在Rt△BCD中，∴AC＋BC＝

在Rt△ACD中，750－600≈150(km)．答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了150km.【方法总结】求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．(km).7.如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米（结果保留根号）．解：在Rt△ABO中，

∵tan∠BOA==tan60°=

∴AB=BO•tan60°=4×

=4（米）答：这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是4米.8.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度为1∶3，斜坡CD的坡度为1∶2.5，求：（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m）;（2）斜坡CD的坡角α（精确到1°）.EFADBC1:2.5236α解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F,由题意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.EFADBC1:2.5236α在Rt△ABE中在Rt△DCF中，同理可得=69+6+57.5=132.5m在Rt△ABE中，由勾股定理可得(2)斜坡CD的坡度为tanα=1：2.5=0.4，由计算器可算得

答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约为22°.通过本节课你学到了什么？课堂总结三角函数的应用1.用三角函数知